弹性力学基础：弹性势能：弹性力学的解析解法

弹性力学基础：弹性势能：弹性力学的解析解法1弹性力学概述1.1弹性力学的基本概念弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，即材料可以被视为连续的、无间隙的介质，其内部的物理量（如应力、应变）可以连续变化。弹性力学的核心在于建立和求解描述弹性体行为的微分方程，这些方程通常包括平衡方程、几何方程和物理方程。1.1.1平衡方程平衡方程描述了弹性体内部的力平衡条件，即在任意体积内，作用力的总和为零。在三维空间中，平衡方程可以表示为：∂∂∂其中，σx,σy,σz1.1.2几何方程几何方程描述了变形与位移之间的关系。在小变形假设下，几何方程可以简化为：ϵϵϵγγγ其中，ϵx,ϵy,ϵz1.1.3物理方程物理方程，也称为本构方程，描述了应力与应变之间的关系。对于线性弹性材料，物理方程遵循胡克定律：σ其中，σij是应力张量，ϵklσσστττ其中，E是弹性模量，G是剪切模量。1.2弹性体的应力与应变在弹性力学中，应力和应变是两个基本的物理量，它们描述了材料在受力时的响应。1.2.1应力应力是单位面积上的内力，可以分为正应力和剪应力。正应力是垂直于材料表面的应力，而剪应力是平行于材料表面的应力。在弹性力学中，应力通常用张量表示，以考虑三维空间中所有方向的应力。1.2.2应变应变是材料变形的度量，可以分为线应变和剪应变。线应变描述了材料在某一方向上的伸长或缩短，而剪应变描述了材料在某一平面上的剪切变形。应变也是用张量表示，以全面描述材料的变形状态。1.2.3应力应变关系应力和应变之间的关系由材料的本构方程决定。对于线性弹性材料，应力和应变之间存在线性关系，即胡克定律。在复杂的加载条件下，应力和应变的关系可能需要通过更复杂的本构模型来描述，如非线性弹性模型或塑性模型。1.2.4应力应变分析应力应变分析是弹性力学中的核心内容，它涉及到求解弹性体在给定载荷下的应力和应变分布。分析方法可以分为解析解法和数值解法。解析解法通常适用于简单几何形状和载荷条件下的问题，而数值解法（如有限元方法）则适用于更复杂的情况。1.2.5示例：一维弹性杆的应力应变分析假设有一根长度为L的弹性杆，两端受到轴向力F的作用，杆的截面积为A，弹性模量为E。我们可以使用解析解法来求解杆内的应力和应变。平衡方程在轴向方向上，平衡方程简化为：∂这意味着轴向应力σx几何方程线应变ϵxϵ其中，u是轴向位移。物理方程根据胡克定律，应力和应变之间的关系为：σ解析解将平衡方程和物理方程结合，可以得到：σϵ这意味着杆内的应力和应变是均匀的，并且与外力、截面积和弹性模量有关。1.2.6代码示例下面是一个使用Python计算一维弹性杆应力和应变的简单示例：#定义参数

F=1000#外力，单位：N

A=0.01#截面积，单位：m^2

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

#计算应力和应变

sigma_x=F/A

epsilon_x=sigma_x/E

#输出结果

print(f"轴向应力：{sigma_x}Pa")

print(f"轴向应变：{epsilon_x}")运行上述代码，将得到弹性杆内的轴向应力和轴向应变的计算结果，这有助于理解和验证弹性力学的基本原理。通过上述内容，我们对弹性力学的基本概念和应力应变分析有了初步的了解。在实际应用中，弹性力学的理论和方法被广泛用于结构设计、材料科学、地震工程等领域，以确保结构的安全性和可靠性。2弹性势能原理2.1弹性势能的定义与计算弹性势能是物体在弹性变形时储存的能量。当外力作用于弹性体，使其发生形变，物体内部会产生恢复力，试图回到原始状态。这个过程中，外力所做的功被转换为弹性势能，储存在物体内部。弹性势能的计算通常基于胡克定律，即弹性体的应力与应变成正比。2.1.1胡克定律与弹性势能胡克定律表达式为：σ其中，σ是应力，ϵ是应变，E是弹性模量。弹性势能U可以通过应力和应变的关系计算，公式为：U这里，dV2.1.2示例计算假设一个长为L，截面积为A的均匀杆，两端受到轴向力F的作用，导致杆的长度变化了ΔL。根据胡克定律，应力σ=FA，应变ϵ弹性势能U可以通过以下公式计算：UPython代码示例#定义变量

F=1000#轴向力，单位：牛顿

A=0.01#截面积，单位：平方米

L=1#杆的原始长度，单位：米

Delta_L=0.001#杆的长度变化，单位：米

E=2e11#弹性模量，单位：帕斯卡

#计算弹性势能

U=0.5*F*Delta_L

print("弹性势能U=",U,"焦耳")2.2能量守恒与弹性势能能量守恒定律在弹性力学中扮演着重要角色。当外力作用于弹性体时，外力所做的功转化为弹性势能。如果系统没有能量损失，那么外力撤除后，弹性体将通过释放弹性势能恢复到原始状态，这个过程中，弹性势能再次转化为外力所做的功。2.2.1弹性势能与动能的转换在弹性体振动或运动过程中，弹性势能与动能之间会发生转换。例如，弹簧振子系统中，当弹簧被压缩或拉伸时，弹性势能达到最大，而动能为零；当弹簧恢复到自然长度时，弹性势能为零，动能达到最大。2.2.2示例分析考虑一个质量为m的物体，通过一个弹簧与固定点相连，弹簧的弹性系数为k。假设物体从静止开始，被拉伸了x的距离，然后释放。物体将开始振动，其动能和弹性势能将周期性地转换。弹性势能与动能的计算弹性势能U为：U动能T为：T其中，v是物体的速度。Python代码示例importmath

#定义变量

m=0.5#物体质量，单位：千克

k=100#弹簧弹性系数，单位：牛顿/米

x=0.1#物体被拉伸的距离，单位：米

v=math.sqrt(k/m)*x#根据能量守恒计算物体速度

#计算弹性势能和动能

U=0.5*k*x**2

T=0.5*m*v**2

print("弹性势能U=",U,"焦耳")

print("动能T=",T,"焦耳")通过以上分析和示例，我们理解了弹性势能的定义、计算方法以及它与能量守恒定律的关系。在实际工程问题中，这些原理和计算方法是解决弹性力学问题的基础。3弹性力学的解析解法3.1解析解法的适用条件解析解法在弹性力学中是一种基于数学分析的方法，用于求解弹性体在各种载荷作用下的应力、应变和位移。这种方法的适用条件主要包括：几何形状简单：解析解法通常适用于具有简单几何形状的弹性体，如圆柱、球体、平板等，因为这些形状的边界条件和载荷分布可以被数学公式精确描述。材料性质均匀：材料的弹性模量、泊松比等物理性质在整个弹性体中保持不变，这使得解析解法能够有效地应用。线性弹性范围：弹性体的变形在材料的线性弹性范围内，即应力与应变成正比关系，遵循胡克定律。边界条件明确：边界条件，如固定边界、自由边界、应力边界或位移边界，必须能够用数学表达式准确描述。载荷分布规则：载荷分布，如均匀分布、线性分布或点载荷，也应能够用数学函数表示。当这些条件满足时，解析解法能够提供精确的解，而无需进行数值近似。3.2经典弹性力学问题的解析解3.2.1平面应力问题在平面应力问题中，弹性体的厚度远小于其平面尺寸，且载荷仅作用于平面内。这类问题的解析解可以通过求解平面应力方程得到，方程如下：σσσ其中，σxx、σyy和σxy分别是x和y方向的正应力和剪应力；ϵxx、3.2.2平面应变问题平面应变问题与平面应力问题类似，但适用于厚度方向的应变可以忽略的情况。平面应变方程如下：σσσ3.2.3维弹性问题三维弹性问题的解析解通常更为复杂，需要求解三维弹性方程组。在直角坐标系中，三维弹性方程组包括三个平衡方程和六个本构方程，描述了应力、应变和位移之间的关系。3.3圣维南原理与边界条件3.3.1圣维南原理圣维南原理是弹性力学中的一个重要概念，它指出在弹性体的局部区域，如果边界上的载荷分布发生改变，但其静力等效（即总力和总力矩相同），则远离边界区域的应力和应变分布将几乎不受影响。这一原理在简化边界条件和载荷分布时非常有用。3.3.2边界条件边界条件在解析解法中至关重要，它们描述了弹性体与外界的相互作用。边界条件可以分为三类：位移边界条件：指定弹性体边界上的位移或位移的导数。应力边界条件：指定弹性体边界上的应力或应力的导数。混合边界条件：同时指定位移和应力的边界条件。在求解弹性力学问题时，正确设定边界条件是获得准确解析解的关键。3.3.3示例：平面应力问题的解析解假设有一个无限长的平板，厚度为t，宽度为w，在x方向受到均匀分布的拉力P。平板的材料属性为弹性模量E=200GPa解析步骤确定适用条件：此问题满足平面应力问题的条件，因为载荷仅在平面内，且材料性质均匀。设定边界条件：平板的两侧为自由边界，即σxy=0；底部和顶部为应力边界，即σy求解应力分布：根据平面应力方程，可以得到σxx=Pt，因为σyyPython代码示例#定义材料属性和载荷

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

nu=0.3#泊松比

P=100e3#均匀拉力，单位：N/m

t=0.01#平板厚度，单位：m

#计算应力

sigma_xx=P/t

#输出结果

print(f"在x方向上的应力分布为：{sigma_xx}Pa")此代码示例计算了无限长平板在x方向上的应力分布，假设平板在y和z方向上的尺寸远大于其厚度，且材料性质均匀，满足平面应力问题的条件。通过上述解析解法的原理和示例，我们可以看到，在满足特定条件的情况下，解析解法能够提供精确的应力、应变和位移解，为工程设计和分析提供了重要的理论基础。4弹性力学中的位移解法4.1位移解法的基本方程在弹性力学中，位移解法是一种基于位移场的解析方法，它通过求解位移分量来间接获得应力和应变。位移解法的基本方程是平衡方程和几何方程的结合，通常表示为：∇ϵ其中，σ是应力张量，f是体积力向量，ϵ是应变张量，u是位移向量。在弹性材料中，应力和应变之间的关系由胡克定律给出：σ这里，C是弹性常数张量。将上述方程结合，可以得到位移解法的基本方程，即位移控制下的平衡方程：∇4.2位移解法的求解步骤4.2.1步骤1：建立位移场假设首先，需要假设一个位移场ux4.2.2步骤2：计算应变根据位移场，利用几何方程计算应变场ϵx4.2.3步骤3：计算应力利用胡克定律，将应变场转换为应力场σx4.2.4步骤4：求解平衡方程将应力场代入平衡方程，求解位移场ux4.2.5步骤5：验证解检查解是否满足所有边界条件和连续性条件。4.3位移解法的实例分析假设我们有一个简单的二维弹性问题，一个长方形板在两端受到拉力。板的尺寸为L×H，材料的弹性模量为E，泊松比为ν。两端的拉力为4.3.1步骤1：建立位移场假设我们假设位移场为线性分布，即：uv其中，u和v分别是x和y方向的位移，a,b4.3.2步骤2：计算应变利用几何方程，计算应变：ϵϵγ4.3.3步骤3：计算应力利用胡克定律，计算应力：σστ4.3.4步骤4：求解平衡方程在二维问题中，平衡方程简化为：∂∂由于τxy=0∂∂将应力表达式代入，得到：∂∂由于应力是常数，这意味着a和c也是常数。4.3.5步骤5：应用边界条件在x=0和x=L处，位移u分别为0和P/EH。在y=0和y=H处，位移vac4.3.6步骤6：验证解将a和c的值代入位移场假设，得到位移解：uv这表明在x方向上有均匀的位移，而在y方向上没有位移，符合直觉和边界条件。4.3.7代码示例以下是一个使用Python和NumPy求解上述问题的简单示例：importnumpyasnp

#材料参数

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

nu=0.3#泊松比

P=1000#拉力，单位：N

L=1#板的长度，单位：m

H=0.1#板的高度，单位：m

#计算位移系数

a=P/(E*H*L)

#定义位移场

defdisplacement_field(x,y):

u=a*x

v=0

returnu,v

#创建网格

x=np.linspace(0,L,100)

y=np.linspace(0,H,100)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

#计算位移

U,V=displacement_field(X,Y)

#打印位移场

print("位移场u(x,y):")

print(U)

print("位移场v(x,y):")

print(V)在这个例子中，我们首先定义了材料参数和外力，然后计算了位移系数a。接着，我们定义了一个位移场函数，该函数根据x和y的坐标返回位移分量u和v。最后，我们创建了一个网格，并在网格上的每个点计算了位移，验证了我们的解析解。通过上述分析和示例，我们可以看到位移解法在弹性力学问题中的应用。这种方法通过直接求解位移，可以简化问题的求解过程，特别是在处理边界条件时。然而，它也要求位移场的假设足够准确，以确保解的正确性。5弹性力学中的应力解法5.1应力解法的基本方程在弹性力学中，应力解法主要关注于结构内部的应力分布。基本方程由平衡方程、相容方程和边界条件组成。平衡方程描述了在弹性体内部，应力分量必须满足的静力平衡条件。相容方程则确保了在没有外力作用下，应变分量之间的关系满足连续性。边界条件包括应力边界条件和位移边界条件，它们定义了结构在边界上的行为。5.1.1平衡方程平衡方程在直角坐标系下可以表示为：∂∂∂其中，σx,σy,σz5.1.2相容方程相容方程在直角坐标系下可以表示为：∂∂∂其中，εx,εy,5.1.3边界条件应力边界条件通常表示为：σ位移边界条件表示为：u其中，σn是法向应力，n是边界上的外法线向量，Tn是给定的法向应力，u是位移向量，u5.2应力解法的求解步骤应力解法的求解步骤通常包括以下几步：确定问题的类型：是平面应力问题、平面应变问题还是三维问题。建立应力函数：根据问题的类型，选择合适的应力函数形式。求解应力函数：利用基本方程和边界条件，求解应力函数。计算应力和应变：通过应力函数，计算出应力和应变分量。验证解的正确性：检查解是否满足所有边界条件和基本方程。5.2.1示例：平面应力问题的应力解法假设我们有一个平面应力问题，其中应力函数为：σστ边界条件为：σστ我们可以使用以下Python代码来求解这个平面应力问题：importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_bvp

defstress_function(x,y,psi):

#应力函数与流函数ψ的关系

sigma_x=psi_yy(y)

sigma_y=psi_xx(x)

tau_xy=psi_xy(x,y)

returnsigma_x,sigma_y,tau_xy

defpsi_xx(x):

#流函数ψ关于x的二阶导数

return-x**2+2*x

defpsi_yy(y):

#流函数ψ关于y的二阶导数

returny**2-2*y

defpsi_xy(x,y):

#流函数ψ关于x和y的混合导数

returnx*y

defboundary_conditions(ya,ya_prime,yb,yb_prime):

#边界条件

return[ya[0],yb[0],ya[1],yb[1],ya[2],yb[2]]

#定义网格点

x=np.linspace(0,L,100)

y=np.linspace(0,L,100)

#初始化解向量

psi=np.zeros((3,x.size,y.size))

#求解边界值问题

sol=solve_bvp(stress_function,boundary_conditions,x,y,psi)

#计算应力和应变

sigma_x,sigma_y,tau_xy=stress_function(x,y,sol.sol)

#输出结果

print("Stressandstraincomponentscalculated.")在这个例子中，我们使用了流函数ψ来表示应力函数，然后通过边界值问题求解器（solve_bvp）来求解边界条件。最后，我们通过应力函数计算出应力和应变分量。5.3应力解法的实例分析5.3.1实例：圆柱形压力容器的应力分析考虑一个圆柱形压力容器，其内径为Ri，外径为Ro，承受内压基本方程在圆柱坐标系下，平衡方程简化为：∂∂∂边界条件应力边界条件为：σσ位移边界条件通常不直接使用，但在某些情况下，如需要计算容器的膨胀，可能会用到。求解过程对于圆柱形压力容器，我们可以假设应力和应变只与半径r有关，从而简化问题。通过求解上述方程和边界条件，我们可以得到容器壁内的应力分布。5.3.2Python代码示例假设我们使用Python来求解上述圆柱形压力容器的应力分布，代码如下：importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_bvp

defstress_function(r,psi):

#应力函数与流函数ψ的关系

sigma_r=psi_rr(r)

sigma_theta=psi_r(r)+psi(r)

sigma_z=0#假设轴向应力为0

returnsigma_r,sigma_theta,sigma_z

defpsi_rr(r):

#流函数ψ关于r的二阶导数

return-p_i/r

defpsi_r(r):

#流函数ψ关于r的一阶导数

returnp_i*np.log(r)

defpsi(r):

#流函数ψ

returnp_i*(np.log(r)-1)

defboundary_conditions(ri,ri_prime,ro,ro_prime):

#边界条件

return[ri[0]+p_i,ro[0],ri[1]-ri[0]-p_i,ro[1]-ro[0]]

#定义网格点

r=np.linspace(R_i,R_o,100)

#初始化解向量

psi=np.zeros((2,r.size))

#求解边界值问题

sol=solve_bvp(stress_function,boundary_conditions,r,psi)

#计算应力

sigma_r,sigma_theta,sigma_z=stress_function(r,sol.sol)

#输出结果

print("Stresscomponentscalculatedforthecylindricalpressurevessel.")在这个例子中，我们假设轴向应力σz为0，因此问题简化为平面应力问题。我们使用流函数ψ来表示应力函数，然后通过边界值问题求解器（solve_bvp通过上述分析和示例，我们可以看到应力解法在弹性力学中的应用，以及如何使用数值方法来求解复杂的应力分布问题。6弹性力学的变分原理6.1哈密顿原理与弹性力学哈密顿原理是经典力学中的一种变分原理，它指出一个物理系统的实际运动路径是使作用在系统上的作用量（即拉格朗日量对时间的积分）在所有可能的路径中取极值的路径。在弹性力学中，这一原理可以被用来寻找结构在给定载荷下的平衡状态。6.1.1原理描述考虑一个弹性体在时间t1到t2之间的运动，其拉格朗日量L定义为动能T减去势能V。哈密顿原理表明，实际的运动路径ut是使作用量SS对于静力学问题，动能T为零，因此哈密顿原理简化为最小势能原理。6.1.2示例假设一个简单的弹性杆，其长度为L，截面积为A，弹性模量为E，受到轴向力P的作用。杆的位移ux可以表示为x的函数。杆的势能VV应用哈密顿原理，我们寻找使V取极值的ux6.2瑞利-里茨法的应用瑞利-里茨法是一种近似求解弹性力学问题的方法，它基于最小势能原理。该方法通过选择一组适当的试函数来逼近实际的位移场，然后通过最小化总势能来确定这些试函数的系数。6.2.1方法步骤选择试函数：选择一组函数{f构建位移场：位移uxu计算势能：将位移场代入势能表达式中，得到势能V关于系数ci最小化势能：对V关于ci求导，并令导数为零，解得c6.2.2示例考虑一个两端固定的梁，长度为L，受到均匀分布的载荷q。梁的位移ux可以表示为xf构建位移场：u势能V可以表示为：V将ux代入V中，得到V关于c1的函数。对V关于c16.3最小势能原理最小势能原理是弹性力学中的一种重要原理，它指出在静力学平衡状态下，系统的总势能取最小值。这一原理可以被用来求解弹性体在给定载荷下的平衡位移。6.3.1原理描述对于一个弹性体，其总势能V定义为内部应变能U和外部载荷功W之和：V内部应变能U表示为：U其中，σij是应力张量，外部载荷功W表示为：W其中，b是体积力，t是表面力，u是位移。6.3.2示例考虑一个简单的弹性杆，其长度为L，截面积为A，弹性模量为E，受到轴向力P的作用。杆的位移ux可以表示为x的函数。杆的总势能VV应用最小势能原理，我们寻找使V取最小值的ux6.3.3欧拉-拉格朗日方程对于上述的弹性杆问题，欧拉-拉格朗日方程可以表示为：d解这个方程，可以得到杆的平衡位移ux以上就是关于弹性力学的变分原理，包括哈密顿原理、瑞利-里茨法和最小势能原理的详细内容和示例。这些原理和方法在求解弹性力学问题中起着至关重要的作用。7弹性力学的特殊解法7.1半逆解法的原理与应用7.1.1原理半逆解法是弹性力学中一种结合了直接求解和假设解的混合解法。在半逆解法中，我们首先假设应力分量或位移分量的函数形式，然后根据平衡方程、相容方程和边界条件来确定这些假设函数中的未知参数。这种方法特别适用于具有对称性或特定几何形状的弹性体问题，可以简化解析过程，避免复杂的积分运算。7.1.2应用半逆解法广泛应用于解决平面应力和平面应变问题，尤其是在处理圆盘、圆环、半无限体等具有简单几何形状的弹性体时。例如，对于一个承受均匀外压的圆盘，我们可以假设应力分量为某些关于半径和角度的函数，然后通过平衡方程和边界条件来确定这些函数的具体形式和参数。7.1.3实例分析假设我们有一个半径为R的圆盘，承受均匀外压p。我们采用半逆解法来求解圆盘内的应力分布。假设应力函数我们假设圆盘内的径向应力σr和切向应力σσσ其中，Ai和Bi是待定的系数，平衡方程对于平面应力问题，平衡方程可以简化为：∂∂将假设的应力函数代入平衡方程，可以得到一系列关于Ai和B边界条件在圆盘的外边界r=R处，应力σrσσ通过边界条件，可以进一步确定Ai和B解析解最终，通过解上述方程组，我们可以得到圆盘内应力分布的解析解。例如，对于径向应力σr和切向应力σσσ这些解析解提供了圆盘内应力分布的精确描述，对于设计和分析具有重要意义。7.2逆解法的原理与应用7.2.1原理逆解法是弹性力学中另一种特殊解法，它从给定的位移边界条件出发，通过相容方程和平衡方程来反推应力和应变分布。这种方法适用于位移边界条件已知，而应力边界条件未知的情况。逆解法的关键在于找到满足相容方程的位移函数，然后通过应力-应变关系来确定应力分布。7.2.2应用逆解法在解决弹性力学问题时，特别适用于那些位移边界条件明确，而应力边界条件难以直接确定的情况。例如，在处理弹性梁的弯曲问题时，梁的端部位移通常已知，而梁内部的应力分布则需要通过逆解法来求解。7.2.3实例分析考虑一个两端固定的弹性梁，长度为L，承受均匀分布的垂直载荷q。我们采用逆解法来求解梁内的应力分布。假设位移函数我们假设梁的垂直位移w可以表示为：w其中，E是弹性模量，I是截面惯性矩，x是梁上的坐标。相容方程对于梁的弯曲问题，相容方程可以简化为：d其中，Mx平衡方程平衡方程给出了弯矩和载荷之间的关系：d通过积分，可以得到弯矩的表达式。解析解最终，通过解上述方程，我们可以得到梁内应力分布的解析解。例如，对于梁的弯矩MxM然后，通过应力-应变关系，可以进一步确定梁内的应力分布。7.3特殊解法的实例分析7.3.1实例：圆环的扭转问题问题描述考虑一个圆环，内外半径分别为R1和R2，承受均匀的扭矩假设应力函数我们假设圆环内的扭转应力τrτ平衡方程和边界条件对于圆环的扭转问题，平衡方程和边界条件可以简化为：∂在内边界r=R解析解通过解上述方程，我们可以得到圆环内扭转应力的解析解。例如，对于扭转应力τrτ这个解析解提供了圆环内扭转应力分布的精确描述，对于设计和分析圆环结构具有重要意义。通过上述实例分析，我们可以看到，弹性力学的特殊解法，如半逆解法和逆解法，为解决特定类型的弹性力学问题提供了有效的途径。这些方法不仅简化了求解过程，还能够得到精确的解析解，对于工程设计和结构分析具有不可替代的价值。8弹性力学的数值解法简介8.1有限元法的基本概念有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一种广泛应用于工程分析和科学计算的数值解法，尤其在解决弹性力学问题中表现出色。它将连续的结构或物体离散成有限数量的单元，每个单元用简单的函数（如多项式）来近似描述其行为，从而将偏微分方程转化为代数方程组，便于计算机求解。8.1.1原理有限元法的核心在于将复杂结构的连续域分解为多个小的、简单的子域，即有限元。每个子域内的物理量（如位移、应力、应变）用节点上的未知数来表示，通过在每个单元内应用变分原理或加权残值法，可以得到单元的平衡方程。将所有单元的平衡方程组合起来，形成整个结构的平衡方程组，通过求解这个方程组，可以得到结构在给定载荷下的响应。8.1.2示例假设我们有一个简单的梁，需要使用有限元法来计算其在载荷作用下的位移。我们可以将梁离散成多个线性单元，每个单元用两个节点表示，节点上有位移未知数。#有限元法计算梁的位移示例

importnumpyasnp

#定义梁的属性

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=0.05#惯性矩，单位：m^4

L=1.0#单元长度，单位：m

F=-1000#载荷，单位：N

#定义单元刚度矩阵

k=(E*I/L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

#定义全局刚度矩阵

#假设梁由两个单元组成

K=np.zeros((4,4))

K[:2,:2]=k

K[:2,2:]=-k[:2,:2]

K[2:,:2]=-k[:2,:2]

K[2:,2:]=k

#定义载荷向量

F=np.array([0,F,0,0])

#定义边界条件

#假设梁的两端固定

bc=np.array([1,0,1,0])

#应用边界条件

K=K[np.ix_(bc==0,bc==0)]

F=F[bc==0]

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F)

print("位移向量：",U)8.1.3解释上述代码中，我们首先定义了梁的物理属性，包括弹性模量、惯性矩、单元长度和载荷。接着，我们构建了单元刚度矩阵，这是一个4x4的矩阵，用于描述单个单元在载荷作用下的力学行为。然后，我们构建了全局刚度矩阵，通过组合两个单元的刚度矩阵来描述整个梁的力学行为。载荷向量定义了作用在梁上的力，