江苏专用2024年秋季高三数学开学摸底考试卷01含解析

2024年秋季高三数学开学摸底考试卷一、单选题1．设集合，，，则A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}【答案】D【分析】先求，再求．【详解】因为，所以.故选D．【点睛】集合的运算问题，一般要先探讨集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时留意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2．设复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得，依据复数的乘法运算即可求解.【详解】复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则，所以.故选：A3．已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为，，，，则该球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，，，求出，再求出外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积.【详解】∵三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，，，∴，∴∵，∴.设外接圆的半径为R，则，∴.∴外接球的半径为，∴球的表面积等于.故选：C.【点睛】本小题主要考查依据柱体体积求棱长，考查几何体外接球有关计算，属于基础题.4．函数的图象的一条对称轴为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化简得，令，求出对称轴即可推断.【详解】，令，，解得，，则可得是的一条对称轴.故选：A.5．椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则等于（）A．2 B．4 C．6 D．1.5【答案】B【分析】设椭圆另一焦点为,依据椭圆定义，故，再结合中位线定理即可得答案.【详解】设椭圆另一焦点为,依据椭圆定义，故，中,是的中点，是的中点，故是中位线，.故选：B.6．已知，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角公式化简得到再利用同角的平方关系求解.【详解】由题得所以因为，所以因为，所以.故选：D【点睛】方法点睛：三角函数求值常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角、变名、变式）.7．若，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，利用导数得出，构造函数，利用导数证明，从而得出.【详解】令，则当时，，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，由图象易知，令，则由于函数在上单调递减，，则在上有唯一解，故在上有唯一解即当时，，则函数在上单调递减即，即故选：C【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，利用导数得出函数的单调性，进而得出函数值的大小关系.8．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期运用算筹的基础上独创的，是中国古代一项宏大的、重要的独创，在阿拉伯数字出现前是全世界广为运用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被3整除的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，利用列举法列出整数共有32个，其中能够被3整除的整数有16个，进而依据古典概型的概率计算公式可解．【详解】解：从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，得到的整数共有32个，分别为：11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，2，20，200，2000，6，60，600，6000，其中算盘表示的整数能够被3整除的整数有16个，分别为：15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100，6，60，600，6000，则算盘表示的整数能够被3整除的概率为．故选：．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是利用列举法把从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠所得到的整数列举出来.二、多选题9．已知在数学测验中，某校学生的成果听从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量听从正态分布，则）（）A．该校学生成果的期望为 B．该校学生成果的标准差为C．该校学生成果的标准差为 D．该校学生成果及格率超过【答案】ABD【分析】依据正态分布的数字特征可推断ABC选项的正误，计算出，可推断D选项的正误.【详解】因为该校学生的成果听从正态分布，则，方差为，标准差为，，.所以，该校学生成果的期望为，该校学生成果的标准差为，该校学生成果及格率超过.所以，ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD.10．中，为边上的一点，且满意，若为边上的一点，且满意，则下列结论正确的是（）A． B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BD【分析】依据平面对量共线定理可知A错误；依据，利用基本不等式可求得最大值，知B正确；由，利用基本不等式可求得最小值，知C错误；利用基本不等式可得，知D正确.【详解】对于A，，三点共线，，A错误；对于B，，（当且仅当时取等号），B正确；对于C，（当且仅当，即时取等号），C错误；对于D，（当且仅当时取等号），D正确.故选：BD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要留意其必需满意的三个条件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各项必需为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必需把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必需验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最简单发生错误的地方.11．古希腊闻名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发觉：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满意．设点P的轨迹为C，下列结论正确的是，（）A．C的方程为（x+4）2+y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|【答案】BC【分析】设P（x，y），运用两点的距离公式，化简可得P的轨迹方程，可推断A；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得，设出D，E的坐标，求得轨迹方程，比照P的轨迹方程可得D，E，可推断B；当A，B，P三点不共线时，由，由角平分线定理的逆定理，可推断C；若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y），运用两点的距离公式，可得M的轨迹方程，联立P的轨迹方程，即可推断D．【详解】在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满意，设P（x，y），则，化简可得（x+4）2+y2＝16，故A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得，可设D（m，0），E（n，0），可得2，化简可得3x2+3y2﹣（8m﹣2n）x+4m2﹣n2＝0，由P的轨迹方程为x2+y2+8x＝0，可得8m﹣2n＝﹣24，4m2﹣n2＝0，解得m＝﹣6，n＝﹣12或m＝﹣2，n＝4（舍去），即存在D（﹣6，0），E（﹣12，0），故B正确；当A，B，P三点不共线时，由，可得射线PO是∠APB的平分线，故C正确；若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y），即有2，化简可得x2+y2x0，联立x2+y2+8x＝0，可得方程组无解，故不存在M，故D错误．故选：BC．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查圆方程的求法和运用，以及两点距离公式的运用，考查化简运算实力，属于中档题．12．如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（）A．与所成角的余弦值为B．过三点、、的正方体的截面面积为C．四面体的内切球的表面积为D．正方体中，点在底面（所在的平面）上运动并且使，那么点的轨迹是椭圆【答案】AB【分析】构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角为与所成角的余弦值推断A的正误；同样设结合向量夹角的坐标表示，且由等角的余弦值相等可得，进而推断P的轨迹知D的正误；由立方体的截面为梯形，分别求，进而得到梯形的高即可求面积，推断B的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r，进而求内切球表面积，推断C的正误.【详解】A：构建如下图所示的空间直角坐标系：则有：，∴，，故正确.B：若N为的中点，连接MN，则有，如下图示，∴梯形AMND’为过三点、、的正方体的截面，而，可得梯形的高为，∴梯形的面积为，故正确.C：如下图知：四面体的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，∴，而四面体的棱长都为，有表面积为，∴若其内切圆半径为，则有，即，所以内切球的表面积为.故错误.D：正方体中，点在底面（所在的平面）上运动且，即的轨迹为面截以AM、AP为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线，构建如下空间直角坐标系，，若，则，∴，，即，整理得，即轨迹为双曲线的一支，故错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.三、填空题13．已知是定义在上的周期为3的奇函数，且，则___________.【答案】1【分析】利用函数的周期性得，由已知条件可知，即可求值.【详解】由题意知：，而，∴，即，∴，故.故答案为：114．已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线交抛物线与、两点，若线段中点的纵坐标为，则抛物线的方程是________.【答案】【分析】本题首先可设、，则、，然后两式相减，可得，再然后依据、两点在斜率为的直线上得出，最终依据线段中点的纵坐标为即可求出结果.【详解】设，，则，，两式相减得，即，因为、两点在斜率为的直线上，所以，即，因为线段中点的纵坐标为，所以，则，，抛物线的方程是，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相交的相关问题的求解，考查中点坐标的相关性质，考查直线斜率的应用，考查计算实力，是中档题.15．已知函数，，若，，则的最小值为___________.【答案】【分析】先证明据，结合，求出，令，依据函数的单调性求出代数式的最小值即可．【详解】，即，①，，②，又在，上单调递增，故由①②得，故，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，故，故答案为：．【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；其次步：解；第三步：比较方程的根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较区间端点的函数值与极值的大小．16．格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”（如：，则点到原点的格点距离为）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半径有______条（用数字作答）.【答案】252【分析】由题设，易知格点圆上的格点都在上，其中每个象限有5个，且相互关于x、y轴或原点对称，分析可得每个格点半径条数为，进而可求全部格点的半径条数.【详解】设格点为，格点半径为6，则，∴对应格点圆图象如下，每条边上有(不含端点)5个格点，以第一象限为例，格点有，其中的半径有6条，的半径有15条，的半径有20条，的半径有15条，的半径有6条，∴共有62条，即对于随意格点，其半径条数有条，∴由上，四个象限共有条半径，另外数轴上有四个点，半径共有条，综上，格点半径为6时，格点圆的半径有条.故答案为：.【点睛】关键点点睛：画出格点圆的图象，确定各象限中格点坐标，分析格点半径条数与坐标值之间的关系，应用对称性求格点圆半径总条数即可.四、解答题17．已知等差数列的首项为2，前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的首项为1，且满意，前n项和为a3＝2b2，S5＝b2＋b4．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设，求数列{cn}的前26项和．【答案】（1），；（2）328.【分析】（1）依据题设可得关于公差和公比的方程组，求出其解后可得两个数列的通项公式.（2）利用裂项相消法和分组求和可求的前项和.【详解】（1）由题意得：即，∴，∵是正项等比数列，∴，则，∴，.（2），则∴的前26项和为：.【点睛】思路点睛：数列求和关键看通项的结构形式，假如通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；假如通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；假如通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；假如通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18．潍坊市为切实保障疫情防控期间全市食品质量平安，实行食品平安监督抽检和第三方托管快检室相结合的方式，全面加强食品平安检验检测据了解，滩坊市市场监管部门组织开展对全市部分生产企业、农贸市场、大型商超、餐饮服务场所生产经营的小麦粉、大米、食用油、调味品、肉制品、乳制品等与人民群众日常生活关系亲密且消费量大的食品进行监督抽检组织抽检400批次，抽检种类涵盖8大类31个品种全市各快检室快检60209批次，其中不合格53批次．某快检室在对乳制品进行抽检中，发觉某品牌乳制品质量不合格，现随机抽取其5个批次的乳制品进行质量检测，已知其中有1个批次的乳制品质量不合格下面有两种检测方案：方案甲：逐批次进行检测，直到确定质量不合格乳制品的批次；方案乙：先任取3个批次的乳制品，将他们混合在一起检测．若结果不合格，则表明不合格批次就在这3个批次中，然后再逐个检测，直到能确定不合格乳制品的批次；若结果合格，则在另外2批次中，再任取l个批次检测．（1）方案乙中，任取3个批次检测，求其中含有不合格乳制品批次的概率；（2）求方案甲检测次数X的分布列；（3）推断哪一种方案的效率更高，并说明理由．【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）方案乙的效率更高．理由见解析.【分析】（1）由题意即可求解；（2）先求出的可能取值，然后求出对应的概率，进而可以求解；（3）设方案乙的检测次数为，求出的可能取值，然后求出对应的概率，再求出方案甲和乙的数学期望，比较大小即可求解．【详解】解：（1）由方案乙可知含有不合格乳制品批次的概率，（2）依题意知检测次数的可能取值为1，2，3，4，，，，，故方案甲检测次数的分布列为：1234（3）设方案乙检测次数为，则的可能取值为2，3．当时的状况为先检测3个批次为不合格，再从中逐一检测时，恰好1次检测出，或先检测3个批次为合格，再从其他2个批次中取出1个批次检测．则，所以．故方案乙检测次数的分布列为：23，则，因为，所以方案乙的效率更高．19．已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．【答案】（1）；（2）6．【分析】（1）依据，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式得到，又，由求解；（2）依据，的面积为，由面积公式得到，再结合余弦定理求得即可.【详解】（1）因为所以，所以，因为，所以，因为，所以．因为，所以．（2）因为，的面积为，所以，解得，由余弦定理，得，所以，所以．所以的周长为6．【点睛】方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，假如式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；假如遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中留意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．20．如图，四棱锥中，底面是菱形，，是棱上的点，是中点，且底面，.

（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)由底面是菱形，，可得为等边三角形，再加上点是中点可证，进而可得，再由底面，可得，结合线面垂直的判定定理及性质定理，即可求证所求证；(2)由题意及(1)可以，以点为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法即可求解.【详解】证明：在菱形中，，为等边三角形.又为的中点，.//，.底面，平面，.，平面，平面.是棱上的点，平面..（2）解：底面，，建立如图所示空间直角坐标系，设，则.，，，，，.由，得.设是平面的法向量，由，得令，则，则.又平面的法向量为，.由题知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明及空间向量法求二面角，考查考生的逻辑推理实力、空间想象实力、运算求解实力及方程思想，属于中档题.21．已知等轴双曲线C：(a>0，b>0)经过点(，).（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知点B(0，1).①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；②点A是C上肯定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，为定值，求点A的坐标及实数的值.【答案】（1）；（2）①；②或者.【分析】（1）由题意，代入已知点建立方程，解之可得双曲线的标准方程.（2）①由对称性可设，且，运用向量数量积的坐标运算表示，