2022-2023学年人教版八年级数学上学期期末复习通关练第十三章 轴对称(提高卷)(含详解)

2022-2023学年人教版八年级上册期末真题单元冲关测卷（提高卷）

第十三章轴对称

试卷满分：100分考试时间：120分钟

姓名：班级：学号：

题号—•二三总分

得分

第I卷（选择题）

评卷人得分

选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）

1.（2分）（2020春•广饶县期末）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点处，在A、

3、C铺设光缆，四种方案中光缆最短的是（）

2.（2分）（2019秋•琼山区校级期末）如图，在A4SC中，点A、B、C的坐标分别为（皿0）、（0,1）和（3,2）,

则当A45c的周长最小时，的值为（）

A.0B.1C.2D.3

3.（2分）（2019秋•海伦市期末）如图，分别以AABC的边43,AC所在直线为对称轴作AABC的对称图

形AA皮）和AACE,ZfiAC=150°,线段3。与CE相交于点O,连接BE、ED、DC、OA,有如下结论:

①N£AD=90。；②ZBOE=60°;③。4平分ZBOC；其中正确的结论个数是（）

4.（2分）（2020春•黄陂区期末）如图，在平面直角坐标系中，点4（1,5）,8（4,1）,,D（m-3,-m+4）,

当四边形ABCD的周长最小时，则机的值为（）

A.y/2B.-C.2D.3

2

5.（2分）（2019秋•吴兴区期末）线段45上有一动点C（不与A,3重合），分别以AC,3c为边向上作

等边A4cM和等边ABC7V,点。是MN的中点，连结BD,在点C的运动过程中，有下列结论：①

△48。可能为直角三角形；②A43D可能为等腰三角形；③△CM7V可能为等边三角形；④若48=6,则

AQ+%）的最小值为3".其中正确的是（）

C.①③④D.②③④

6.（2分）（2018秋•槐荫区期末）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点例、N,使N/W8V=30。.若

AM=m,MN=x,CN=n,则以x,m,"为边长的三角形的形状为（

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.随x,加，〃的值而定

7.（2分）（2018春•沙坪坝区校级期末）如图，NABC=30。，点。、E分别在射线8C、54上，且瓦）=2,

BE=4,点、M、N分别是射线84、8c上的动点，当+MV+NE最小时，（ZW+MN+NE）?的值

A.20B.26C.32D.36

第n卷（非选择题）

评卷人得分

填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）

8.（2019秋•拱墅区校级期末）如图，AD,8E是等边A48C的两条高线，AD,BE交于点O,则N4O8=

9.（2020春•渭滨区期末）如图，四边形/W8中，ZB=ZD=90°,ZC=50°,在8C、8边上分别找到

点、M、N,当AAMN周长最小时，NAMN+N/VW的度数为.

10.（2020春•包头期末）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边4?为边作等边AMD,连接8,以DC为

边作等边

△DCE,B,E在C£＞的同侧，若AB=4员,庞:的长为.

11.（2020春•郸都区期末）如图，在AABC中，AB=AC,BC=6cm,AO是AABC的中线，且相＞=5。??,

则MBC的面积为

BD

12.(2018秋•越秀区期末)如图，在边长为2的等边AAfiC中，。是的中点，点E在线段AO上，连结

BE,在BE的下方作等边AfiEF,连结£)F.当AZ®尸的周长最小时，的度数是.

13.(2016秋•罗湖区校级期末)如图，己知平面直角坐标系中，A,3两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-l).

(1)若。是x轴上的一个动点，则AftW的最小周长为—;

(2)若C(a,0),。(〃+3,0)是x轴上的两个动点，则当。=时，四边形A3OC的周长最小.

14.(2016春•金堂县期末)如图，在五边形中，已知Nfi4E=120。，Zfi=Z£=90°,AB=BC=2,

AE=DE=4,在BC、DE上分别找一点M、N,则AAAW的最小周长为.

15.(2020春•武昌区期末)如图，在等边AA8c和等边AZ)所中，AD在直线4c上，BC=3DE=3,连接

BD,BE,则比＞+BE的最小值是.

DE

16.（2020春•成华区期末）如图，AD,3E在43的同侧，4）=2,BE=2,AB=4,点C为4?的中点,

若ZDCE=120。，则DE的最大值是.

17.（2017秋•江北区期末）如图，ZAOB=45°,点N在边04上，OM=x,QV=x+4,点P是边

03上的点，若使点P,M,N构成等腰三角形的点尸恰好有两个，则x的值是—.

评卷人得分

三.解答题（共10小题，满分56分）

18.（4分）（2020春•宁德期末）如图，已知等腰AABC中，AB=AC,ZA<90。，CZ）是AABC的高，BE

是AABC的角平分线，CD与BE交于点P.当NA的大小变化时，ASPC的形状也随之改变.

（1）当/4=44。时，求NBPD的度数；

（2）设NA=x°,NEPC=y。,求变量y与x的关系式；

（3）当AEPC是等腰三角形时，请直接写出N4的度数.

E

Dt

19.(4分)(2020春•竞秀区期末)如图，点2在44。3的内部，点C和点P关于Q4对称，点P关于。8

对称点是。，连接C£＞交。4于交OB于N.

(1)①若Z4OB=60°,则ZCOD=°；

②若ZAOB=a,求NCOO的度数.

(2)若CD=4,则APMN的周长为___.

B

20.(4分)(2020春•叙州区期末)如图，在AABC中，ZABC=ZACB,E为BC边上一点,以E为顶点作

ZAEF,NAEF的一边交AC于点尸，使=

(1)如果44BC=40。，则NBAC=；

(2)判断NS4E与NCM的大小关系，并说明理由；

(3)当AAEF为直角三角形时，求Z4ER与N/ME的数量关系.

21.(5分)(2019秋•建水县期末)如图，已知A(—2,4),8(4,2),C(2,-l)

(1)作AABC关于x轴的对称图形△A/Ci，写出点C关于x轴的对称点G的坐标；

(2)P为x轴上一点，请在图中找出使的周长最小时的点P并直接写出此时点尸的坐标(保留作图

22.（6分）（2019秋•清江浦区期末）如图，A4BC中，AB=AC=5,43的垂直平分线交43、%（7于

E、D.

（1）若凶8的周长为8,求3c的长;

（2）若NA=40。，求NO8C的度数.

23.（6分）（2019秋•博白县期末）如图，A48c中，ZACfi=90°,AO平分N8AC,

（1）若NB4C=50。，求NE2M的度数；

（2）求证：直线4）是线段CE的垂直平分线.

E.

BD

24.（6分）（2018春•内乡县期末）已知如图，点P在NAQB内，请按要求完成以下问题.

（1）分别作P关于。4、的对称点M、N,连结MN分别交OA、OB于E、F；

（2）若APEF的周长为20,求MN的长.

25.（6分）（2018春•黄岛区期末）已知：如图，在AA8C中，AB=AC^4cm,将AABC沿C4方向平

移4c机得到AEEA,连接BE,BF；BE与A/7交于点G

（1）判断仍与Ab的位置关系，并说明理由；

（2）若/BEC=15°,求四边形BC砂的面积.

26.（7分）（2017秋•西华县期末）如图，己知AABC是边长为3c〃?的等边三角形，动点尸、Q同时从A、

6两点出发，分别沿A3、方向匀速移动，它们的速度都是lan/s,当点尸到达点6时，P、Q

两点停止运动，设点P的运动时间为f（s）,则

（1）BP=cm,BQ=cm.（用含f的代数式表示）

（2）当f为何值时，APBQ是直角三角形？

27.（8分）（2016秋•邹平县期末）已知：如图，AABC是边长为3cm的等边三角形，动点、P、。同时从A、

8两点出发，分别沿口、方向匀速移动，它们的速度都是k僧/s,当点P到达点3时，P、。两点

停止运动，设点尸的运动时间r（s）,当/为何值时，APBQ是直角三角形?

2022-2023学年人教版八年级上册期末真题单元冲关测卷（提高卷）

第十三章轴对称

选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）

1.（2分）（2020春•广饶县期末）己知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点处，在A、

B.C铺设光缆，四种方案中光缆最短的是（）

/\，爽、

C.B^~----°---D.

【解答】解：设等边三角形ABC的边长为“，

A、铺设的电缆长为a+a=〃；

C、如图为等边三角形，ADA.BC,

为3c的中点，

:.BD=DC=-BC=-a,

22

在RtAABD中，根据勾股定理得：AD=-JAB2-BD2=^a2-a）2若

则铺设的电缆长为a+且。=马芭a；

22

8、由垂线段最短得：方案5中光缆比方案C中长；

D、如图2所示，:AABC为等边二角形，且O为二角形三条高的交点,

.•.设OO=x,贝l」3O=2x,BD=~,

2

故犬2+（殳2=（2幻2,

解得：x=-^-a,则8。='^〃，

63

则铺设的电缆长为AO+O3+OC=3X1〃=G。，

3

/T2+x/3c

,/\J3a<-------a<2a,

2

.••方案。中光缆最短；

故选：D.

A

//、、

多,

B__13-c

D

图2

2.（2分）（2019秋•琼山区校级期末）如图，在A4BC中，点A、B、C的坐标分别为（加,0）、（0,1）和（3,2）,

则当AABC的周长最小时，加的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：如图所示，做出区关于X轴对称点为夕，连接8C,交x轴于点4,此时AA8C周长最小

过点。作CH，x轴，过点8,作B'HLy轴，交CH于”,

・・・3(0,1),

・・・C(3⑵，

；.CH=BH=3,

:.ZCB'H=45°,

.-.ZBB'A=45°,

ZOffA'=ZOA'ff=45°,

.-.OB'=OA'=l,

则此时4坐标为（1,0）.

m的值为1.

故选：B.

3.（2分）（2019秋•海伦市期末）如图，分别以AABC的边43,AC所在直线为对称轴作AABC的对称图

形A4BD和AACE,Zfi4C=150°,线段与CE相交于点O,连接BE、ED、DC、OA,有如下结论：

①NE4O=90。；②NBOE=60°；③。4平分N8OC；其中正确的结论个数是（）

【解答】解：和AACE是A4BC的轴对称图形，

/.ABAD=ZCAE=ABAC,AB=AE,AC=AD,

.•.ZEW=3ZfiAC-360°=3x1500-360°=90°,故①正确.

ZBAE=ZCAD=-(360°-90°-l50°)=60°，

2

山翻折的性质得，ZAEC=ZABD=ZABC,

又•.•ZEPO=NBPA,

ABOE=ZBAE=60°,故②正确.

•.•/IB平分NO8C，AC平分N8CO,

平分N3OC，故③正确.

故选：B.

D

4.（2分）（2020春•黄陂区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（l,5）,8（4,1）,,D（in-3,-m+4）,

当四边形AfiCZ）的周长最小时，则机的值为（）

【解答】解：•.•A(l,5),8(4,1),,D(m-3,-m+4),

AB=>/32+42=5,CD=7[(/n-3)-mf+[(-m+4)-(-w)]2=5,

AB=CD=5，

•.•点8向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A,点C向左平移3个单位，再向上平移4个单位得

到。，

:,ABMCD，AB=CD,

四边形ABC。是平行四边形，

:.BC=AD,

.•.当8C_LC0时,，8c的值最小，

•点C在直线y=-x上运动，3cl,直线y=-x,

/.直线BC的解析式为y=x-3,

3

X=—

2

由仁A解得3

33

•••eg,一万），

3

"7二一，

2

5.（2分）（2019秋•吴兴区期末）线段他上有一动点C（不与4,8重合），分别以AC,3c为边向上作

等边AACM和等边ABCV,点。是MN的中点，连结4）,BD,在点C的运动过程中，有下列结论：①

zVLBD可能为直角三角形；②可能为等腰三角形；③△CWN可能为等边三角形；④若4}=6,则

4）+8。的最小值为3币.其中正确的是（）

A.②③B.①②③④C.①③④D.②③④

【解答】解：当C为的中点时，如图，设AD,CM交于E,BD,CN交于尸，连接EF,

•/AACM和ABC7V是等边.三角形,

:.AM=AC=MC=BC=NB<

•.•点。是MN的中点，

.-.MD=ND,

vZMGV=60°,

ZCMN=NCNM=60°.

.-.ACMN是等边三角形,故③正确;

•・•ZAMD=ABND=120。，

:2MD三bBND(SAS),

；,AD=BD,

.•.A4BD是等腰二角形，故②正确；

当点。为A5的中点时，4>+班>的值最小,

・・•点。是MN的中点，

:.CD为MN的垂直平分线，

4

\-AB=6,

3

:.MD=—,

・.AD=BD，

过M作于P，过。作。£_L4?丁石，过N作NQ_LA8「Q,

:.PM//DE//NQ,

・.・MD=DN,

:.PE=EQ,

设AP=PC=a,BQ=CQ=b,

:.PM=氐,NQ=®,

.PE=QE=3,

22

a-\-b3a+ba-\-2b

AE=。+BE=

222

.协=(34+与2+3(a+b)2BD?=5+36)2+通+次

44'-44

Afi2=(2a+2b)2,

AD2+B»丰AB2,

r.AABZ）不是直角三角形，故①错误;

故选：D.

6.（2分）（2018秋•槐荫区期末）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点用、N,使ZMBN=30°.若

AM=m>MN=x，CN=n»则以x,m,"为边长的三角形的形状为（）

B.直角三角形

C.钝角三角形D.随X,“7,”的值而定

［解答］解：将MBM绕点3顺时针旋转60°得到ACBH.连接HN.

一T

H

・・・AABC是等边二角形,

:.ZABC=ZACB=ZA=6O°,

,;AMBN=3（f,

••.ZABM+NCHN=30。，

・•.ZNBH=/CBH+4CBN=30°，

:./NBM=4NBH，

・・•BM=BH,BN=BN,

:.MBM三MBH,

:.MN=NH=x,

・・・ZBC7/=ZA=60。，CH=AM=n,

:.ZNCH=120°，

.0.x,tn,〃为边长的二:角形A/VC7/是钝角三角形，

故选：C.

7.（2分）（2018春•沙坪坝区校级期末）如图，ZABC=30°,点。、石分别在射线3。、84上，且9=2,

BE=4,点M、N分别是射线B4、8C上的动点，当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值

A.20B.26C.32D.36

【解答】解：如图，作点。关于3A的对称点G,作点E关于3C的对称点H,连接G"交有"，交BC

有N,连接DW、EN,此时DW+MV+NE的值最小.

根据对称的性质可知：BD=BG=2,BE=BH=4,DM=GM,EN=NH,

.-.DM+MN+NE的最小值为线段GH的长,

ZABC=NGBM=AHBC=30°，

;.ZHBG=90。,

GH2=BG2+BH2=20,

.•.当ZW+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为20,

故选：A.

填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）

8.（2019秋•拱墅区校级期末）如图，AD,BE是等边AAfiC的两条高线，AD.BE交于点O1则ZAOB=

120度.

【解答】解：•.•A4BC是等边三角形，

/.AB=AC=BC，ZC4B=Z4BC=6O°,

-.AD,3E是等边AABC的两条高线，

:"BAD」NBAC=30°,ZABE=-ZABC=30°,

22

/.ZAOB=180°-ABAD-ZABE=180°-30°-30°=l20°,

故答案为：120.

9.（2020春•渭滨区期末）如图，四边形A8C。中，Zfi=ZD=90°,ZC=50°,在8C、8边上分别找到

点、M、N,当A/WW周长最小时，NAAW+NAMW的度数为__100。_.

【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点W,关于CD的对称点A”,

连接AA”与3C、CD的交点即为所求的点M、N,

•/ZC=50°,ZB=ZD=9O0■

ZBAD=\30°

.・.ZA，+ZA，，=180。-130。=50°,

由轴对称的性质得：ZA=ZAAM,NA〃=ZA〃A/V,

・..ZAMN+ZANM=2(ZA'+ZA〃)=2x50°=100°.

故答案为100。.

10.（2020春•包头期末）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边A4B。，连接。C,以DC为

边作等边

△DCE,B,E在C£＞的同侧，若AB=4应,8E的长为4.

【解答】解：•/A/LBD和ADCE是等边二角形,

:.BD=AD,ED=CD,

・.・AABC是等腰直角三角形，

AC=BC=—AB=4

29

AC=BC

在A4CD和ABC。中，\AD=BD,

CD=CD

:.MCD=KBCD(SSS)，

ZADC=ZBDC=30°，

ZBr)E=60°-30°=30°，

BD=AD

在AB£Z>和AACO中，\ZBDE=ZADC,

ED=CD

.\ABED=AACD(SAS),

.,.BE=AC=4,

故答案为：4.

11.(2020春•郸都区期末)如图，在AABC中，AB=AC,BC=6an,AD是AABC的中线，且4)=5c优，

则AABC的面积为—15cm2

【解答】解：・・•在AABC中，AB=AC,BC=6cm,AD是AABC1的中线，

二AD±BC,

.•.AABC的面积=L8C・AO=Lx6x5=15a/,

22

故答案为：15c/.

12.（2018秋•越秀区期末）如图，在边长为2的等边A4BC中，。是的中点，点石在线段49上，连结

BE,在BE•的下方作等边Afi£F,连结小.当的周长最小时，N/出厂的度数是_30。_.

【解答】解：如图，连接C尸，

,/AABC、AB£F都是等边三角形，

;.AB=BC=AC,BE=EF=BF,ZBAC=ZABC=ZACB=ZEBF=ZBEF=ZBFE=60°,

/.ZABC-AEBD=ZEBF-4EBD,

.\ZABE=ZCBF,

在ARAE和ABC/中,

AB=BC

,ZABE=ZCBF,

BE=BF

:.ABAE=ABCF(SAS),

:.ZBCF=ZBAD=30°^

如图，作点。关于CF的对称点G,连接CG,DG,则F£>=FG,

.•.当8,F,G在同一直线上时，。尸+M的最小值等于线段3G长，且8G_LCG时，下的周长最小,

由轴对称的性质，可得NDCG=2N3Cr=60。，CD=CG,

AZ)CG是等边三角形，

・.DG=DC=DB，

/DBG=ZDGB=-ZCDG=30°,

2

故答案为：30°.

13.(2016秋•罗湖区校级期末)如图,已知平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-l).

(1)若。是x轴上的一个动点，则的最小周长为_+2&-

(2)若C(a,0),。(〃+3,0)是x轴上的两个动点，则当。=时，四边形ABDC的周长最小.

【解答】解:(1)如图1,先作出5关于x轴的对称点方,连接交x轴于点尸,则就点坐标为(4』)，

4(2,-3),8(4,-1),

/.AB=7(2-4)2+(-3+1)2=272,AB1=7(2-4)2+(-3-1)2=2加；

由两点之间线段最短可知，AB'的长即为\PAB的最短周长，

设过AB'两点的-一次函数解析式为y=H+仇4*0),

_.{^k+b=\

则《，解得&=2,h=-l,

[2k+b=-3

故此一次函数的解析式为y=2x-7,

当y=0时，2x-7=0.解得x=3.5.

故当x=3.5时，AE45的周长最短，此时P(3.5,0),

，凶4B的周长的最小值=A4+P8+A8=2行+2及.

故答案为26+2夜.

(2)作点A关于x轴的对称点则次的坐标为(2,3),把4响右平移3个单位得到点"(5,3),连接即,

与x轴交于点。，如图，

/.CA'=CA,

又•.•C(a,0),£>(a+3,0),

.-.CD=3,

.-.AH'//CD,

四边形A310c为平行四边形，

CK=DB,

：.CA=DB'，

:.AC+BD=BB,此时AC+B£＞最小,

而8与A3的长一定，

此时四边形ABDC的周长最短.

设直线的解析式为y=kx+h,

把B（4,-1）,*（5,3）分别代入得，

4k+b=—\»54+Z?=3,

解得％=4,6=-17,

/.直线BR的解析式为），=4x-17,

令y=0,贝i]4x—17=0,

解得X=1Z,.・.0点坐标为（?，0）,

c17

「.〃+3=—，

4

5

/.u=­•

4

故答案为3.

14.（2016春•金堂县期末）如图，在五边形A8CDE中，已知NS4E=120。，ZB=ZE=90°,AB=BC=2,

AE=DE=4,在BC、£织上分别找一点M、N,则AAAW的最小周长为_4/

（解答］解：作A关于BC和ED的对称点A,A",连接A'A"，交BC卜M，交EDFN,则AA”即为AAAW

的周长最小值.

过4作E4延长线的垂线，垂足为“，

,/AB=BC=2，AE=DE=4,

,\AA=2BA=4,A4"=2A£=8,

则中，•.•NE4B=120。，

:.ZHAA=60°,

:.ZAAH=30°,

:.AH=-AA'=2<

2

AH=a2-2,=2瓜

A,,W=2+8=10,

A/“=y/A'H2+A"H2=477.

故答案为4近.

15.（2020春•武昌区期末）如图，在等边AA3C和等边ADEF中，AD在直线AC上，BC=3DE=3,连接

BD,BE,则%）+3E的最小值是_炳_.

DE

【解答】解：如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点5关了直线AC的对•称点W,连接7W,

DW,过点W作WK_L3c交BC的延长线于K.

-,-AABC,ADE"都是等边三角形，BC=3DE=3,

.-.BC=AB=3,DE=\,ZACB=ZEDF=O)°,

:.DE//TC,

.DE=BT=\,

：.四边形DEBT是平行四边形，

；.BE=DT，

:.BD+BE=BD+AD,

<B,£关于直线AC对称，

.-.C8=CW=3,ZACW=ZACB=60°,DB=DW.

NWCK=60。，

\-WKLCK,

.•.NK=90。，ZCW^=30°,

:.CK=-CW=-,WK=>/3CK=—,

222

311

/.7X=l+3+-=—,

22

:.DB+BE=DB+DT=DW+DT..TW,

BD+BE..J37,

.・.BD+BE的最小值为由.

故答案为历.

16.（2020春•成华区期末）如图，AD,仍在的同侧，AD=2,BE=2,AB=4,点C为他的中点,

若NDCE=120。，则DE的最大值是6.

【解答】解：如图，作点A关于直线CD的对称点作点6关于直线CE的对称点N,连接DW,CM,

ZACD=ZADC,ZBCE=ZBEC,

・・・ZDC£=120。，

ZACD+ZBCE=60°,

\ZDCA=ZDCM,ZBCE=ZECN,

/.ZACM+ZBCN=120°,

/.ZA7C7V=6O°,

・；CM=CN=2,

「.△CMN是等边三角形，

:.MN=2,

・.・D&,DM+MN+EN,

DE„6,

.•.当O,M,N,E共线时，DE的值最大，最大值为6,

故答案为：6.

17.（2017秋•江北区期末）如图，NAOB=45。，点M,N在边OA上，OM=x,QV=x+4,点P是边

OB上的点，若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则丈的值是_4g-4<%,4或x=4&

或x=2>/3—2_.

【解答】解：如图1中，当是等边三角形时满足条件，作2H_1_。4于H.

在中，P?H=£NH=20,

NO=NH与O=45°,

OH=HP,=2y/3,

,-.x=OM=OH-MH=2y/3-2.

如图2中，当G)M与08相切于6，M«=MN=4时，x=OM=4近,此时满足条件;

图2

如图3中，如图当O”经过点O时，x=O"=4,此时满足条件的点P有3个.

图4

观察图3和图4可知：当4夜-4<%,4时，满足条件，

综上所述，满足条件的x的值为：40-4<%,4或x=4五或x=20—2,

故答案为4亚-4<*,4或》=40或》=26-2.

三.解答题（共10小题，满分56分）

18.（4分）（2020春•宁德期末）如图，已知等腰AABC中，AB=AC,Z4<90°,。£>是4钻。的高，BE

是A48c的角平分线，CD与BE交于点、P.当NA的大小变化时，AEPC的形状也随之改变.

（1）当24=44。时，求N3PD的度数；

（2）设44=H,ZEPC=y°,求变量y与x的关系式；

（3）当A£PC是等腰三角形时，请直接写出Z4的度数.

【解答】解：(1)-,-AB=AC,Z4=44°,

ZABC=ZACB=(180-44)°+2=68°,

■.CD±AB,

NBDC=90。,

•.•BE平分NABC，

/.ZABE=ZCBE=34°,

/.ZBPD=90°-34°=56°；

(2)­.■ZA=x0,

x

.・.ZABC=(180-l)。+2=(90--)°,

1y

由(1)可得：ZABP=-ZABC=(45--)°.ZBDC=9Q0，

xx

・•.ZEPC=y°=/BPD=90°-(45一一)0=(45+—)°,

44

即y与x的关系式为y=45+2，

(3)设ZA=%。，ZEPC=y°,

①若EP=EC,

则ZECP=ZEPC=y°,

v

而ZA3C=ZL4c8=(90-2)。，ZABC+ZBCD=90°,

则有：(90-^)°+(90--y)°=90°,又)>=45+(,代入，

xxx

.-.(90--)°+(90--)°-(45+—)°=90°，

224

解得：％=36；

②若PC=PE,

则NPCE=APEC=(180-y)。+2=(90-乡。,

由①得：ZABC+ZBCD=90P,

(90--)0+[(90--)°-(90-2)。]=90°,

222

Xy=45+-,代入，

4

解得：》=型^:

7

③若CP=CE,

则NEPC=NPEC=y°,NPCE=180°-2y°,

由①得：ZABC+ZBCD=90P,

(90-1)°+(90-^)°-(180-2y)0=90°，又y=45+(,代入，

解得：x=0,不符合，

综上：当AEPC是等腰三角形时，Z4的度数为36。或(岸)。.

19.(4分)(2020春•竞秀区期末)如图，点P在NAO8的内部，点C和点尸关于。4对称，点尸关于08

对称点是。，连接CD交。4于M,交08于N.

(1)①若ZAO8=60。，则NC8=120。:

②若NAO3=a,求NC8的度数.

(2)若CD=4,则APMV的周长为

D

C/\//\

/P\

/5

【解答】解：(1)①•.•点C和点P关于。4对称，

..ZAOC=ZAOP.

•.•点P关于对称点是O，

:.ZBOD=ZBOP,

NCOD=ZAOC+ZAOP+NBOP+NBOD=2(NAOP+NBOP)=2ZAOB=2x60°=120°,

故答案为：120。.

②•.•点C和点P关于OA对称.

.-.ZAOC=ZAOP，

,dP关于OB对称点是£),

:.ABOD=ZBOP，

NCOD=ZAOC+ZAOP+NBOP+ZBOD=2(ZAOP+NBOP)=2ZAOB=2a.

(2)根据轴对称的性质，可知CM=PM,DN=PN,

所以APMN的周长为：PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD=4,

故答案为：4

20.(4分)(2020春•叙州区期末)如图，在AABC中，ZABC=ZACB,E为BC边上一点、,以E为顶点作

ZAEF,44EF的一边交AC于点尸，使ZAEF=NB.

(1)如果NABC=40。，则/54。=_100。_；

(2)判断〃场与NCE尸的大小关系，并说明理由；

(3)当为直角三角形时，求/4£F与NS4E的数量关系.

A

【解答】解：(1)・・,在AABC中，ZABC=ZACB,ZABC=40%

:.ZACB=40°,

ABAC=180。-40。-40。=100。，

故答案为：100。.

(2)ZBAE=/FEC；

理由如下：

­.ZB^-ZBAE=ZAEC,ZAEF=ZB，

：.ZBAE=ZFEC：

(3)如图1,当NA抬=90。时，

•,ZB+ZBAE=ZAEF+ZCEF，

ZB=ZAEF=NC,

..ZBAE=NCEF，

•.­ZC+ZCEF=90°,

ZBAE+ZAEF=90°.

即Z4£尸与NR4石的数量关系是互余；

如图2,当NE4/=90。时，

・・・ZB+ZBAE=ZAEF+4，

NB=NAEF=NC,

:.ZBAE=Z\,

•/ZC+Z1+ZAEF=90°,

.-.2ZA£F+Z1=9O°,

即2NAEF与NBAE的数量关系是互余.

2

/2X1

BE图2

已知4一2,4),8(4,2),C(2,-l)

(1)作AA8C关于x轴的对称图形△44G，写出点C关于x轴的对称点C的坐标;

(2)P为x轴上一点，请在图中找出使A7%3的周长最小时的点P并直接写出此时点P的坐标(保留作图

【解答】解：(1)如图1所示，△ASG即为所求;

(2)如图所示，连接交x轴于点P，点P的坐标为(2,0).

22.（6分）（2019秋•清江浦区期末）如图，AABC中，AB=AC=5,/W的垂直平分线。石交回、AC于

E、D.

（1）若的周长为8,求的长;

（2）若NA=40。，求N£>8C的度数.

【解答】解：（1）・・・£＞在碓直平分线上，

.,.AD=BD,

・.・&?C£）的周长为8,

:.BC+CD+BD=8,

.•.AD+DC+BC=8,

AC+8C=8,

\AB=AC=5f

/.BC=8-5=3:

（2）・.・ZA=4O。，AB=AC,

/.ZABC=ZACB=70°,

又・・•£＞石垂直平分AB,

:.DB=AD

/.ZABD=ZA=40°,

.\ZDBC=ZABC-ZABD=10P-400=3（T.

23.（6分）（2019秋•博白县期末）如图，A48C中，ZACB=90°,4）平分N84C,于石.

（1）若440=50。，求NEZM的度数；

（2）求证：直线4）是线段CE