2024-2025学年高中数学 第1章 三角函数 4 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（教师用书）教案 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第1章三角函数44.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式（教师用书）教案北师大版必修4课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析本节课的主要教学内容是北师大版高中数学必修4第1章三角函数4.3节“单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质”以及4.4节“单位圆的对称性与诱导公式”。其中，4.3节内容涵盖了单位圆的定义、正弦函数和余弦函数的定义及其在单位圆上的应用；4.4节内容则主要包括单位圆的对称性以及诱导公式的推导和应用。

教学内容与学生已有知识的联系：学生在之前的学习中已经掌握了函数的基本概念和性质，对三角函数也有了一定的了解。本节课的内容是在此基础上，进一步深入研究三角函数的性质和应用，通过单位圆的引入，使学生更好地理解正弦函数和余弦函数的周期性、对称性等基本性质，并为后续学习更复杂的三角函数公式和应用打下基础。二、核心素养目标本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学建模和直观想象。通过引入单位圆的概念，让学生能够运用逻辑推理能力理解和推导出正弦函数和余弦函数的基本性质，培养学生的数学建模素养，使其能够运用这些性质解决实际问题。同时，通过观察单位圆的对称性和诱导公式的推导，培养学生的直观想象能力，使其能够更好地理解和运用三角函数的知识。三、学情分析本节课的授课对象为高中二年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了函数的基本概念和性质，对三角函数也有了一定的了解。学生在知识层面上，已经具备了函数知识的基础，能够理解并运用基本的三角函数公式。在能力层面上，学生具备一定的逻辑推理和数学建模能力，能够通过已有的知识结构来理解和消化新知识。

然而，学生在理解和应用较复杂的三角函数公式和性质时，可能会遇到困难。因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生提供适当的教学支持和引导。此外，学生的直观想象能力也有待提高，需要通过生动的举例和实际操作，引导学生建立清晰的数学形象，从而更好地理解和运用三角函数的知识。

在行为习惯方面，学生可能存在对新知识的抵触情绪或者害怕困难的心态。因此，在教学过程中，教师需要注重激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极面对挑战，培养他们坚持和克服困难的精神。同时，教师应注重培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作交流，提高学生之间的互动和合作能力。四、教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、白板、黑板、粉笔、三角板、直尺、圆规、单位圆模型等。

2.课程平台：北师大版高中数学必修4教材、教师用书、PPT课件、教学视频、在线习题库等。

3.信息化资源：互联网资源、数学软件（如GeoGebra）、数学教育平台（如洋葱学院）、数学博客和论坛等。

4.教学手段：讲解法、引导发现法、案例分析法、小组讨论法、实践操作法、问题驱动法等。五、教学过程1.导入新课

同学们，我们今天要学习的是关于单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质以及单位圆的对称性与诱导公式。这些内容对于理解三角函数的深层含义和应用具有重要意义。希望通过本节课的学习，大家能够对这些概念有更清晰的认识。

2.知识梳理

首先，我们来回顾一下之前学过的函数知识。同学们，能告诉我函数的定义是什么吗？很好，函数是两个非空数集之间的对应关系。那么，我们再来看一下三角函数。谁能简单地描述一下正弦函数和余弦函数的定义？很好，正弦函数和余弦函数都是基于直角三角形的边长比值定义的。那么，你们知道单位圆与正弦函数、余弦函数有什么关系吗？

3.探究单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

现在，让我们来看一下单位圆。同学们，能描述一下单位圆的特点吗？很好，单位圆是半径为1的圆。那么，你们能找出单位圆上的一个点P，使得sin(π/3)等于这个点P的纵坐标吗？好的，请同学们在自己的练习本上画出单位圆，并标出点P。现在，我们来研究一下点P的坐标与角度之间的关系。请大家观察一下，当角度从0增加到π/3时，点P的坐标发生了什么变化？

4.讲解单位圆的对称性与诱导公式

接下来，我们来看一下单位圆的对称性。同学们，能说出单位圆的对称性有哪些吗？很好，单位圆关于x轴、y轴和原点都是对称的。那么，我们可以根据单位圆的对称性推导出诱导公式。现在，让我们来一起推导一下诱导公式。请大家观察一下，当角度从π/3增加到5π/3时，点P的坐标发生了什么变化？

5.应用练习

现在，让我们来做一些应用练习。请大家解答以下题目：已知cos(θ)=1/2，求sin(θ)的值。好的，请同学们在自己的练习本上解答这道题目。现在，我们来看一下这道题目的解答过程。同学们，你们知道如何求解这道题目吗？好的，让我们一起来解答一下。

6.课堂小结

同学们，通过本节课的学习，我们了解了单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质以及单位圆的对称性与诱导公式。这些知识对于理解三角函数的深层含义和应用具有重要意义。希望大家能够在课后对这些内容进行深入思考，并做好复习。

7.作业布置

请大家回去完成课后习题的第1-5题，并准备下一节课的内容。六、拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

为了帮助同学们更深入地理解单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质以及单位圆的对称性与诱导公式，我为大家推荐以下拓展阅读材料：

《数学分析与应用》：这本书详细介绍了三角函数的定义、性质以及应用，可以帮助同学们进一步了解三角函数的背景和意义。

《数学探究》：这本书提供了一系列的数学探究题目，同学们可以通过解答这些题目，提高自己的数学思维能力和解决问题的能力。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

同学们在课后可以利用网络资源，如数学博客、论坛和在线教育平台，查找与本节课内容相关的知识点和案例，加深对单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质以及单位圆的对称性与诱导公式的理解。此外，同学们还可以尝试利用数学软件，如GeoGebra，绘制单位圆和正弦函数、余弦函数的图像，观察不同角度下的函数值变化，从而更好地理解这些函数的性质。

此外，同学们还可以进行一些实际的操作和实践，例如测量一些物体的尺寸，并计算其正弦值和余弦值，从而将所学的知识应用到实际生活中。同时，同学们还可以尝试解决一些与三角函数相关的数学问题，如三角形的面积计算、角度测量等，提高自己的数学应用能力。七、板书设计1.单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

-单位圆的定义：半径为1的圆

-正弦函数的定义：单位圆上某点的纵坐标

-余弦函数的定义：单位圆上某点的横坐标

-周期性：sin(θ+2π)=sin(θ),cos(θ+2π)=cos(θ)

-奇偶性：sin(-θ)=-sin(θ),cos(-θ)=cos(θ)

2.单位圆的对称性与诱导公式

-对称性：单位圆关于x轴、y轴和原点对称

-诱导公式：sin(π/2-θ)=cos(θ),cos(π/2-θ)=sin(θ)

-应用：sin(θ)=cos(π/2-θ),cos(θ)=sin(π/2-θ)

3.实际应用

-测量问题：利用三角函数计算物体的尺寸

-几何问题：利用三角函数解决三角形的角度和面积问题

-工程问题：利用三角函数计算结构的稳定性和平衡性

板书设计要求简洁明了，重点突出，通过关键词和句子的组合，使得学生能够快速理解和记忆。同时，为了增加趣味性和艺术性，可以适当使用图形、颜色和符号，使得板书更加吸引学生的注意力，激发他们的学习兴趣和主动性。八、反思改进措施（一）教学特色创新

1.情境教学：通过引入实际问题情境，让学生能够将所学的三角函数知识应用到实际生活中，提高学生的学习兴趣和积极性。

2.互动式教学：鼓励学生积极参与课堂讨论和问题解答，增加学生之间的互动交流，培养学生的团队合作能力和解决问题的能力。

3.多元化的教学手段：结合多媒体投影、数学软件和实物模型等多种教学手段，提供丰富的学习资源，增强学生对知识的理解和记忆。

（二）存在主要问题

1.学生理解困难：在讲解单位圆的对称性和诱导公式时，部分学生可能会感到难以理解。需要找到更直观的教学方法，帮助学生更好地理解这些概念。

2.课堂参与度不高：在课堂讨论和小组活动中，部分学生可能表现出较低的参与度，影响课堂效果。需要进一步激发学生的学习兴趣，提高他们的课堂参与度。

3.练习机会不足：学生在课堂上的练习机会有限，可能导致他们对知识的掌握不扎实。需要增加课堂上的练习环节，让学生有更多机会巩固所学知识。

（三）改进措施

1.直观教学：在讲解单位圆的对称性和诱导公式时，可以利用实物模型和几何图形来说明，让学生更直观地理解这些概念。同时，可以通过数学软件绘制单位圆和函数图像，帮助学生更好地观察和理解函数的性质。

2.激发学生兴趣：通过引入实际问题情境和案例，让学生认识到三角函数在实际生活中的应用，激发他们的学习兴趣和主动性。同时，鼓励学生参与课堂讨论和问题解答，给予他们充分的发言机会，提高他们的课堂参与度。

3.增加练习机会：在课堂上增加练习环节，让学生在实际操作中巩固所学知识。可以设置一些互动性问题，引导学生进行思考和讨论，并提供及时的反馈和指导。此外，鼓励学生在课后自主学习和探究，通过解决实际问题来提高自己的数学能力。课堂小结，当堂检测1.课堂小结

本节课我们学习了单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质以及单位圆的对称性与诱导公式。通过引入单位圆的概念，我们揭示了正弦函数和余弦函数的周期性、奇偶性等基本性质，并学会了如何运用这些性质解决实际问题。同时，我们探讨了单位圆的对称性，并利用诱导公式推导出了正弦函数和余弦函数的诱导公式。这些知识对于理解三角函数的深层含义和应用具有重要意义。希望同学们能够在课后对这些内容进行深入思考，并做好复习。

2.当堂检测

下面我们来进行当堂检测，以巩固本节课所学的知识。请同学们认真思考，尽量独立完成。

题目1：已知cos(θ)=1/2，求sin(θ)的值。

题目2：判断下列函数是否为奇函数或偶函数：f(x)=cos(x)。

题目3：单位圆上一点P的坐标为(1,2)，求点P关于x轴、y轴和原点的对称点坐标。

题目4：已知sin(α)=3/5，cos(β)=4/5，求sin(α+β)的值。

题目5：计算三角形的面积，已知底边长为6，高为4sin(θ)。

请同学们在规定时间内完成上述题目，我们将对大家的答题情况进行及时反馈和讲解。课后作业1.请同学们利用本节课所学的知识，计算以下三角函数的值：

-sin(π/6)

-cos(π/4)

-tan(π/3)

-csc(π/4)

-sec(π/3)

2.请同学们利用单位圆的性质，求解以下三角方程：

-sin(θ)=1/2

-cos(θ)=-1/2

-tan(θ)=√3

3.请同学们根据诱导公式，求解以下三角函数的和与差：

-sin(α+β)

-cos(α-β)

-tan(α+β)

-cot(α-β)

-sin(α-β)

4.请同学们利用正弦函数和余弦函数的性质，计算以下三角形的面积：

-已知底边长为8，高为3sin(θ)，求三角形面积。

-已知底边长为10，高为5cos(θ)，求三角形面积。

5.请同学们利用正弦函数和余弦函数的性质，求解以下角度：

-已知三角形的一条边长为12，对边长为8，求∠A的大小。

-已知三角形的一条边长为15，邻边长为10，求∠B的大小。

例题补充和说明：

例题1：已知sin(θ)=1/2，求cos(θ)的值。

解答：由于sin(θ)=1/2，根据正弦函数的性质，可以得出cos(θ)=√(1-sin²(θ))。将sin(θ)的值代入，得到cos(θ)=√(1-(1/2)²)=√(1-1/4)=√(3/4)=√3/2。

例题2：已知cos(θ)=-1/2，求sin(θ)的值。

解答：由于cos(θ)=-1/2，根据余弦函数的性质，可以得出sin(θ)=√(1-cos²(θ))。将cos(θ)的值代入，得到sin(θ)=√(1-(-1/2)²)=√(1-1/4)=√(3/4)=√3/2。

例题3：已知tan(θ)=√3，求sin(θ)和cos(θ)的值。

解答：由于tan(θ)=√3，可以得出sin(θ)=tan(θ)*cos(θ)。将tan(θ)的值代入，得到sin(θ)=√3*cos(θ)。由于cos(θ)的值未知，可以利用三角恒等式sin²(θ)+cos²(θ)=1，将sin(θ)的值代入，解出cos(θ)的值。然后代入sin(θ)=tan(θ)*cos(θ)，求出sin(θ)的值。

例题4：已知sin(α)=3/5，cos(β)=4/5，求sin(α+β)的值。

解答：利用诱导公式sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)。将sin(α)和co