2023-2024学年天津中学高二（上）第一次月考数学试卷

一、填空题（共25小题，每道题3分，共75分）13分）经过点A(﹣3，1）和点B（42）的直线l的斜率是.23分）直线x+y+2023＝0的倾斜角的大小为.43分）两直线3x+y﹣3＝0与6x+my﹣1＝0平行，则它们之间的距离为.53分）已知直线l1a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：x+ay+3＝0垂直，则a等于.63分）过点P(﹣35且斜率为2的直线的一般式方程为.83分）过点A（31）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是.93分）已知三角形三个顶点A(﹣5，0B（33C（0，2则BC边上中线所在直线方程113分）不论m为何数，直线（m﹣1）x+（2m﹣3）y+m＝0恒过定点.123分）已知直线l1：ax+y+3＝0与l2：2x+（a﹣1）y+a+1＝0平行，则a=.133分）点P（1，2）到直线3x+4y﹣6＝0的距离为.143分）点（01）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为.173分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A（23）、B(﹣25则圆C的一般方程为.183分）经过点（0，00，43，3）的圆的方程为.193分）若点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是.203分）在平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+1＝0，该圆的周长为.213分）已知实数x，y满足3x﹣y﹣13＝0，那么的最小值为.233分）当点P在圆x2+y2＝1上运动时，连接点P与定点Q（4，0则线段PQ的中点M的轨迹方程243分）圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0关于直线2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）对称，则+的最小值为.253分）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数f（xf（x）的最小值为.二、解答题（共5小题，每道题15分，共75分）2615分）在三棱台ABC﹣A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，M，N分别为BC，AB中点.（1）求证：A1N∥平面C1MA；（2）求平面C1MA与平面ABB1A1所成角的余弦值；（3）求点B1到平面C1MA的距离；（4）求点B1到直线C1M的距离.2715分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点.（1）求证：EF∥平面C1DB1；（2）求直线BC与平面CC1D的正弦值；（3）求点B到平面CC1D的距离；（4）求平面A1CD与平面ABC夹角的余弦值.2815分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.（1）求证：BE⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣EF﹣C的正弦值；（3）求点C到直线AF的距离；（4）设H为线段AF上的点，如果直线BH和平面CEF所成角的正弦值为，求AH的长度.2915分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1=2，AD＝CD=√5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点.（1）求证：MN∥平面ABC；（2）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（3）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长.3015分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD=1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点.（1）证明：B1C1⊥平面CC1E；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值；（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.一、填空题（共25小题，每道题3分，共75分）13分）经过点A(﹣3，1）和点B（42）的直线l的斜率是.【分析】由两点斜率公式即可求解.【解答】解：由两点斜率公式可得.故答案为：.【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题.23分）直线x+y+2023＝0的倾斜角的大小为.【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得.【解答】解：直线x+FY+2023=0的斜率，设直线的倾斜角为α,则，所以α=150°.故答案为：150°【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题.33分）已知直线l斜率的取值范围是，则l的倾斜角的取值范围是[0∪(,【分析】根据直线l斜率的取值范围得出倾斜角正切值取值范围，由此求出倾斜角θ的取值范围.【解答】解：直线l斜率的取值范围是，﹣＜【点评】本题考查了直线方程的倾斜角与斜率问题，是基础题.43分）两直线3x+y﹣3＝0与6x+my﹣1＝0平行，则它们之间的距离为【分析】直接利用平行线间的距离公式求出结果.【解答】解：两直线3x+y﹣3＝0与6x+my﹣1＝0平行，所以6x+2y﹣1＝0转换为3x+y﹣=0，所以d=.故答案为：.【点评】本题考查的知识要点：平行线间的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.53分）已知直线l1a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：x+ay+3＝0垂直，则a等于.【分析】若直线A1x+B1y+C＝0与直线A2x+B2y+D＝0垂直，则A1A2+B1B2＝0，进而求解.【解答】解：∵直线l1a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：x+ay+3＝0垂直，所以（a﹣1）+2a＝0，【点评】.63分）过点P(﹣35且斜率为2的直线的一般式方程为2x﹣y+1＝0.【分析】由点斜式写出直线方程，再化为一般形式即可.【解答】解：因为直线过点P(﹣35且斜率为2，所以直线的点斜式方程为y+5＝2（x+3所以直线的一般方程为2x﹣y+1＝0.故答案为：2x﹣y+1＝0.【点评】本题主要考了直线的一般方程，属于基础题.73分）直线l过点P（1，3且它的一个方向向量为（2，1则直线l的一般式方程为x﹣2y+5=【分析】由直线l的方向向量求出其斜率，再由点斜式即可求出直线l的方程，再化为一般方程即可.【解答】解：∵直线l的一个方向向量为（2，1∴直线l的斜率k=,又∵直线l过点P（1，3∴直线l的方程为y﹣3x﹣1即x﹣2y+5＝0，故答案为：x﹣2y+5＝0.【点评】本题主要考查了直线的方向向量，考查了直线的一般方程，属于基础题.83分）过点A（31）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+3y＝0，或x+y﹣2＝0.【分析】分类讨论，用待定系数法求得要求的直线的方程.【解答】解：当过点A（31）且在x轴和y轴上的截距相等的直线经过原点时，它的斜率为=﹣,它的方程是y=﹣x，即x+3y＝0.当过点A（3，﹣1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线不经过原点时，设它方程为x+y＝k，把点A代入，可得3﹣1＝k，求得k＝2，它的方程是x+y﹣2＝0.综上，所求的直线的方程为x+3y＝0，或x+y﹣2＝0，故答案为：x+3y＝0，或x+y﹣2＝0.【点评】本题主要考查用待定系数法求直线的方程，属于基础题.93分）已知三角形三个顶点A(﹣5，0B（33C（0，2则BC边上中线所在直线方程是x+13y+5=0.【分析】先求出BC的中点坐标为(,﹣),由此能求出BC边上中线所在直线方程.【解答】解：三角形三个顶点A(﹣5，0B（33C（0，2∴BC边上中线所在直线方程是：=,整理得：x+13y+5＝0.故答案为：x+13y+5＝0.【点评】本题考查直线的方程的求法，考查中点坐标公式、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.103分）经过点P（2，3并且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是3x﹣2y＝0或x+2y﹣8＝0.【分析】当直线经过原点时，直线方程为：y＝x，当直线不经过原点时，设直线方程为：+＝1，把点P（2，3）代入解得a即可得出.【解答】解：当直线经过原点时，直线方程为：y＝x，当直线不经过原点时，设直线方程为：+＝1，把点P（2，3）代入+＝1，解得a＝4，∴直线方程为x+2y＝8，综上可得直线方程为：3x﹣2y＝0或x+2y﹣8＝0，故答案为：3x﹣2y＝0或x+2y﹣8＝0.【点评】本题考查了直线的截距式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题.113分）不论m为何数，直线（m﹣1）x+（2m﹣3）y+m＝0恒过定点(﹣3，1）.【分析】将直线方程化为m（x+2y+1）+(﹣x﹣3y）＝0，解方程组，可得所求定点.【解答】解：直线（m﹣1）x+（2m﹣3）y+m＝0即为m（x+2y+1）+(﹣x﹣3y）＝0，可得x+2y+1＝0，且﹣x﹣3y＝0，解得x=﹣3，y＝1，【点评】本题考查直线恒过定点的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题.123分）已知直线l1：ax+y+3＝0与l2：2x+（a﹣1）y+a+1＝0平行，则a=﹣1.【分析】由已知结合直线平行的条件可建立关于a的方程，可求.【解答】解：因为直线l1：ax+y+3＝0与l2：2x+（a﹣1）y+a+1＝0平行，）﹣解得a＝2或a=﹣1，当a＝2时，直线l1：2x+y+3＝0与l2：2x+y+3＝0重合，不符合题意，故a=﹣1.故答案为：﹣1.【点评】本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础题.133分）点P（1，2）到直线3x+4y﹣6＝0的距离为1.【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得.【解答】解：点P（1，2）到直线3x+4y﹣6＝0的距离.故答案为：1.【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.143分）点（01）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为.【分析】直线y＝k（x+1）恒过点(﹣1，0则点（01）到直线y＝k（x+1）的距离的最大值为点(﹣1，0）到（0，﹣1）的距离.【解答】解：直线y＝k（x+1）恒过点(﹣1，0则点（01）到直线y＝k（x+1）的距离的最大值为点(﹣1，0）到（01）的距离，∴点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为：d==.故答案为：.【点评】本题考查点到直线的最大距离的求法，考查直线性质、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题.153分）已知直线l1：mx+y+2m﹣3＝0，l2：mx+y﹣m+1＝0，则直线l1与l2之间的距离最大值为【分析】分别求出直线l1，l2过的定点A，B，当AB与两直线垂直时距离最大，且最大值为|AB|，由此即可求解.【解答】解：直线l1：mx+y+2m﹣3＝0化简为：m（x+2）+y﹣3＝0，令x+2＝0且y﹣3＝0，解得x=﹣2，y＝3，所以直线l1过定点A(﹣2，3直线l2：mx+y﹣m+1＝0化简为：m（x﹣1）+y+1＝0，令x﹣1＝0且y+1＝0，解得x＝1，y=﹣1，当AB与直线l1，l2垂直时，直线l1，l2的距离最大，且最大值为|AB|5，故答案为：5.【点评】本题考查了平行线间的距离最大值的求解，涉及到直线过定点问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.163分）已知圆的一条直径的端点分别是A(﹣1，0B（34则该圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）【分析】求出圆心和半径，即得答案.【解答】解：由题意可得该圆的圆心为AB的中点，即（12半径为，故该圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝8.故答案为x﹣1）2+（y+2）2＝8.【点评】本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题.173分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A（23）、B(﹣25则圆C的一般方程为x2+y2+2x+4y﹣5＝0.【分析】先求出线段AB的中垂线所在直线的方程，再将其与已知直线联立求得圆心C的坐标，及圆C的半径|AC|，然后写出圆的标准方程，并化成一般方程，即可.【解答】解：因为点A（23）、B(﹣25所以AB的中点坐标为D（04直线AB的斜率为k==﹣2，由垂径定理知，直线=﹣2，=,所以直线CD的方程为y+4=﹣2x，即2x+y+4＝0，联立，解得x=﹣1，y=﹣2，即C(﹣12所以圆的半径为|AC|==,所以圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2＝10，化成一般方程为x2+y2+2x+4y﹣5＝0.故答案为：x2+y2+2x+4y﹣5＝0.【点评】本题考查圆的一般方程的求法，熟练掌握两条直线的垂直关系，圆的标准方程是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.183分）经过点（0，00，43，3）的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5.【分析】由已知求得圆心坐标，进一步求解圆的半径，则圆的方程可求.【解答】解：设O（0，0A（0，4B（3，3则线段OA的垂直平分线方程为y＝2，OB的中点坐标为kOB＝1，则线段OB的垂直平分线方程为y﹣=﹣1×（x﹣),即x+y﹣3＝0.联立，解得，即所求圆的圆心坐标为（1，2半径为.则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5.故答案为x﹣1）2+（y﹣2）2＝5.【点评】本题考查圆的方程的求法，是基础题.193分）若点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是(﹣1，1）.【分析】直接由点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，得到（1﹣a）2+（1+a）2＜4，求解关于a的一元二次不等式得答案.【解答】解：∵点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，∴（1﹣a）2+（1+a）2＜4.即a2＜1.解得：﹣1＜a＜1.【点评】本题考查了点与圆的位置关系，考查了数学转化思想方法，是基础的计算题.203分）在平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+1＝0，该圆的周长为6π.【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出半径，可得该圆的周长.【解答】解：平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+1＝0，即（x+1）2+（y+3）2＝9，故该圆的半径为3，故该圆的周长为2π×3＝6π,故答案为：6π.【点评】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于基础题.213分）已知实数x，y满足3x﹣y﹣13＝0，那么的最小值为.【分析】法（i）根据给定条件，结合式子的几何意义，利用点到直线的距离公式计算作答.法（ii）设P的坐标，用x表示y，代入中，再由二次函数的最值的求法，可得它的最小值.【解答】解：法（i）方程3x﹣y﹣13＝0表示直线，表示该直线上的点与定点（1，0）的距离，所以的最小值是点（1，0）到直线3x﹣y﹣13＝0的距离.法（ii）由3x﹣y﹣13＝0可得y＝3x﹣13，可得===≥,当x=4时取等号，故答案为：.【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，属于基础题.223分）方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m＝0所表示的曲线是圆C，则实数m的取值范围是（4，+∞)∪ 【分析】由题意，把圆的一般方程化为标准方程，根据半径的平方为正数，求得m的范围.【解答】解：∵方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m＝0，即（x﹣m）2+（y﹣2）2＝m2+4﹣5m，所表示的曲线是∴m2+4﹣5m＞0，∴m＞4，或m＜1，【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题.233分）当点P在圆x2+y2＝1上运动时，连接点P与定点Q（4，0则线段PQ的中点M的轨迹方程为【分析】设线段PQ的中点M（x，y再根据“相关点“法，即可求解.【解答】解：设线段PQ的中点M（x，y又Q（4，0∴P（2x﹣4，2y又点P在圆x2+y2＝1上，∴（2x﹣4）2+（2y）2＝1，∴线段PQ的中点M的轨迹方程为，故答案为：.【点评】本题考查利用“相关点“法求曲线方程，属基础题.243分）圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0关于直线2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）对称，则+的最小值为9.【分析】由已知得该直线经过圆心(﹣1，2把圆心(﹣1，2）代入直线2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0得a+b＝1，a＞0，b＞0，由此利用均值定理能求出+的最小值.【解答】解：∵圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0关于直线2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）对称，把圆心(﹣1，2）代入直线2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0得：∴++的a+b）=4+++1当且仅当，即a＝2b时取得最小值9.故答案为：9.【点评】本题考查代数和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和均值定理的合理运用.253分）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数f（xf（x）的最小值为2.【分析】根据题意，f（x）的解析式变形可得f（x）＝+，分析其结合意义，进而结合对称性分析可得答案.【解答】解：根据题意，函数f（x）==+，其几何意义为x轴上的点到点(﹣11）和（11）的距离之和，必有f（x）＝+≥2，即f（x）的最小值为2，故答案为：2.【点评】本题考查函数的最值，注意理解题干中的方法，属于基础题.二、解答题（共5小题，每道题15分，共75分）2615分）在三棱台ABC﹣A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，M，N分别为BC，AB中点.（1）求证：A1N∥平面C1MA；（2）求平面C1MA与平面ABB1A1所成角的余弦值；（3）求点B1到平面C1MA的距离；（4）求点B1到直线C1M的距离.【分析】（1）先证明四边形MNA1C1是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解.（4）根据三角函数，即可求解.【解答】解1）证明：连接MN，C1A.由M，N分别是BC，BA的中点，根据中位线性质，MN∥AC，且，由棱台性质，A1C1∥AC，于是MN∥A1C1，由MN＝A1C1＝1，可知四边形MNA1C1是平行四边形，则A1N∥MC1，又A1N⊄平面C1MA，MC1C平面C1MA，于是A1N∥平面C1MA.（2）过M作ME⊥AC，垂足为E，过E作EF⊥AC1，垂足为F，连接MF，C1E.由MEC面ABC，A1A⊥面ABC，故AA1⊥ME，又ME⊥AC，AC∩AA1＝A，AC，AA1C平面ACC1A1，则ME⊥平面ACC1A1.由AC1C平面ACC1A1，故ME⊥AC1，又EF⊥AC1，ME∩EF＝E，ME，EFC平面MEF，于是AC1⊥平面MEF，由MFC平面MEF，故AC1⊥MF．于是平面C1MA与平面ACC1A1所成角即∠MFE.于是，所以平面C1MA与平面ACC1A1所成夹角的余弦值为；（3）方法一几何法）过C1作C1P⊥AC，垂足为P，作C1Q⊥AM，垂足为Q，连接PQ，PM，过P作PR⊥C1Q，垂足为R.,根据勾股定理，,由C1P⊥平面AMC，AM⊂平面AMC，则C1P⊥AM，又C1Q⊥AM，C1Q∩C1P＝C1，C1Q，C1P⊂平面C1PQ，于是AM⊥平面C1PQ.又PR⊂平面C1PQ，则PR⊥AM，又PR⊥C1Q，C1Q∩AM＝Q，C1Q，AM⊂平面C1MA，故PR⊥平面C1MA.,又CA＝2PA，故点C到平面C1MA的距离是P到平面C1MA的距离的两倍，即点C到平面C1MA的距离是.方法二等体积法）辅助线同方法一.设点C到平面C1MA的距离为h.,.所以点C到平面C1MA的距离是.（4）因为BB1BCB1C1=因为cos∠B1BC===,又M为BC中点，所以BB1∥MC1，所以点B1到直线C1M的距离为BM×cos∠B1BC==.【点评】本题考查线面平行的判定和平面与平面所成角、点到平面的距离，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.2715分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点.（1）求证：EF∥平面C1DB1；（2）求直线BC与平面CC1D的正弦值；（3）求点B到平面CC1D的距离；（4）求平面A1CD与平面ABC夹角的余弦值.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可；（2）利用向量法求线面角即可；（3）利用向量法求点到平面的距离即可；（4）利用向量法求二面角即可.【解答】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，所以A1A，A1B1，A1C1两两垂直，故以A1为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B（2，2，0C（2，0，2D（0，1，0C1（0，所以01易知，平面C1DB1的一个法向量为1，0，0所以•可＝0，即⊥可，因为EF⊄平面C1DB1，（2）解：配02，2=(﹣2，0，0=(﹣2，12设平面CC1D的法向量为x，y，z则，即，设直线BE与平面CC1D的夹角为θ,则sinθ=|cos＜配|＝||=,故直线BC与平面CC1D的正弦值为.（3）解：点B到平面CC1D的距离为==.（4）解：由题意知2，0，20，1，0令a＝1，则b＝0，c=﹣1，所以而-(1,0,-1)，易知，平面ABC的一个法向量为1，0，0设平面A1CD与平面ABC的夹角为阝，则cos阝＝|cos|===,故平面A1CD与平面ABC夹角的余弦值为.【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用向量法证明线面平行，求线面角、二面角以及点到平面的距离是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.2815分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.（1）求证：BE⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣EF﹣C的正弦值；（3）求点C到直线AF的距离；（4）设H为线段AF上的点，如果直线BH和平面CEF所成角的正弦值为，求AH的长度.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，即可得证；（2）先说明OC，OD，OF两两垂直，再以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解；（3）利用向量法求点到直线的距离即可；（4）设，λ∈[0，1]，利用向量法求线面角，可得关于λ的方程，解之即可.【解答】（1）证明：因为四边形OBEF为矩形，所以BE⊥OB，又平面OBEF⊥平面ABCD，平面OBEF∩平面ABCD＝OB，BE⊂平面OBEF，所以BE⊥平面ABCD.（2）解：由（1）知BE⊥平面ABCD，因为OF∥BE，所以OF⊥平面ABCD，又OC⊥OD，所以OC，OD，OF两两垂直，故以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(﹣,0，0B(0,-V区,0),CN区,0,0),E(0,-区,2),F(0,0,2)，所以丽=(0,√反,0),丽=(-区,0,2)0，2设平面CEF的法向量为，则，即，令z＝1，则y＝0所以，设平面AEF的法向量为x1，y1，z1则，即，所以cos;＞===﹣,故二面角A﹣EF﹣C的正弦值为=.（3）解：由（2）知2，0，00，2所以点C到直线AF的距离为==.由（2）知平面CEF的法向量为，因为直线BH和平面CEF所成角的正弦值为，所以＝|cos＜丽|==,整理得，165λ2﹣165λ+40＝0，即（5λ﹣233λ﹣200，解得λ=或λ=,所以||＝或.【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握面面垂直的性质定理，利用向量法求点到线的距离，线面角与二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.2915分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1=2，AD＝CD=√5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点.（1）求