特训02 相交线 平行线 压轴题（八大题型归纳）（解析版）

特训02相交线平行线压轴题（八大题型归纳）目录：题型1：添加辅助线构造平行题型2：角平分线在平行线中的应用题型3：动直线、动射线、动三角形的旋转问题及其应用题型4：动点问题题型5：一副三角板及其在平行线中的应用题型6：单个三角板在平行线中的应用题型7：折叠问题题型8：定值问题题型1：添加辅助线构造平行1．【阅读探究】（1）如图1，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，所以______，因为，所以，所以______，因为，所以．（2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系为________．【方法应用】（3）如图2，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．【应用拓展】（4）如图3，分别是上的点，点在两平行线之间，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）．【答案】（1），（2）（3）（4）【分析】本题考查平行公理的应用，涉及平行线的判定与性质，角平分线的性质，是重要考点，正确作出辅助线是解题关键．（1）根据题干的推理信息可得答案；（2）过点作，由平行线的性质得到，，继而证明；（3）过点作，则，由平行线的性质得到，结合等式的性质解答即可；（4）由角平分线的性质解得，，过点作，接着由平行线的性质得到，，再根据，整理解答即可．【解析】解：（1）过点作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴．（2）过点作，∴，∵，∴，

∴，∴，∴；（3）过点作，如图2所示：∴，∵，∴，∴，∴，即∵，，∴．（4）∵、分别是和的平分线，∴，，过点作，如图3所示：∵，∴，∴，，∴，同理可得：，∴，∴，∴．2．已知，直线，点P为平面上一点，连接与．(1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数．(2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点P落在外．①直接写出、、的数量关系为______．②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)①；②【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用：（1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可；（2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；（3）①过P作，根据，可得，，进而得到；②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到．【解析】（1）解：如图1，过P作，，，，，；（2）解：，理由如下：如图2，过作，，，，，，过P作，同理可得，，与的角平分线相交于点K，，；（3）解：①如图3，过P作，，，，，，故答案为：；②如图3，过K作，，，，，，由①知，，与的角平分线相交于点K，，．3．课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．

解：过点作，所以，，又因为，所以．

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图1，已知，求的度数；(3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、．①如图2，已知，，请直接写出的度数；②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)；(2)(3)①；②，理由见解析【分析】（1）根据两直线平行内错角相等即可得出结论；（2）过点作，根据两直线平行同旁内角互补得出，，即可得到最后结论；（3）①的度数为，过点作，根据平行线性质求得，，即可求得的度数；②，过点作，根据平行线性质得到，，即可退出最后结论．【解析】（1）解：过点作，，，又因为，所以；

（2）解：如图，过点作，

，，，，，，；（3）解：①的度数为；

理由：过点作，，，，，，，；②，

理由：过点作，，，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质进行推理．4．（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数；（2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由；（3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；（2）过点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解；（3）过点作．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解．【解析】解：（1）如图1，过点作，∵，∴，∵，∴．，而，∴，，（2），理由：如图2，过点作，∵，，∴，，，，∵，，；（3）如图3，过点作．∵，，∴，，，又的平分线和的平分线交于点，，，由（2）得，，∵，，．【点睛】本题主要考查平行公理的推论，平行线的性质，角平分线的定义，角的和差运算灵活运用平行线的性质是解题的关键．题型2：角平分线在平行线中的应用5．如图，已知，平分交于点C，点P、Q分别在射线、上运动（点Q不与点B、C重合），且满足，连结．(1)与平行吗？请说明理由；(2)设，．①当点Q在线段上，求的度数；（用含，的代数式表示）②当点Q在射线上，的平分线交射线于点F，连结，若，，试探索与的数量关系．【答案】(1)，理由见解析(2)①，②【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练的利用平行线的判定与性质进行证明或求解角的度数是解本题的关键．（1）先证明，等量代换可得，从而可得结论；（2）①证明，，，表示，表示，再利用角的和差关系可得答案；②如图，证明，，，，，表示，，可得，，从而可得答案．【解析】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）①∵，，∴，，，∵平分交于点C，∴，∴，∵，，∴，∴；②如图，∵，，，，∴，，，，，∵∵平分交于点C，∴，，∵平分，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．6．已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．

(1)在如图1所示的情形下，若，求的度数；(2)在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数；(3)如图3，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有α，β的代数式表示的补角．【答案】(1)(2)(3)的补角为【分析】（1）过点E作，证明，可得，，，可得；（2）过点F作，证明，可得，，，求解，，从而可得答案；（3）如图，过点F作，证明，可得，，可得，证明，，从而可得答案．【解析】（1）解：过点E作，

∵，∴，∴，，∴，∵，∴；（2）如图，过点F作，

∵，∴，∴，，∴，∵平分，平分，，，∴，，∴；（3）如图，过点F作，

∵，∴，∴，，∴，∵平分，平分，，，∴，，∴，∴的补角．【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质求角的度数是解本题的关键．7．已知：直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，(1)连接，，平分，平分，且，所在直线交于点．①如图1，若，，则的度数为；②如图2，设，，则的度数为（用含有α，β的式子表示）．(2)如图3，平分，平分，，则和的数量关系是．(3)如图4，若，，且平分，平分，猜想的结果并且证明你的结论；【答案】(1)①；②(2)(3)，证明见解析【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义及等式的性质，添加辅助线是解题的关键．（1）①如图1所示，过点作，根据，，由平行线性质及角平分线定义即可求出的度数；②如图2所示，过点作，，，由平行线性质及角平分线定义即可求出的度数．（2）根据（1）的结论，再利用角平分线的定义求解；（3）根据（1）的结论，再利用等式的性质求解求解．【解析】（1）解：①过点作，如图1所示：

，，∴，，，即，平分，平分，，，，，；故答案为：；②过点作，如图2所示：

，，，∴，，，即，平分，平分，，，，，．故答案为：；（2）解：∵平分，平分，∴，∵，∴，由（1）中的结论得：，∴，故答案为：；（3）解：∵平分，平分，∴，，由（1）的结论得：①，②，得：．题型3：动直线、动射线、动三角形的旋转问题及其应用8．如图，直线，直线与直线，分别交于点，，点在射线上运动（点不与点，重合），是直线上的一个定点，连接，过点作直线，在直线上取一点，使得．

(1)若直线，则的度数是______；(2)若直线l与a相交于点D，完成以下问题：①当时，猜想与之间有怎样的数量关系，并写出证明过程；②当时，判断①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出它们之间的数量关系．【答案】(1)(2)①，证明见解析；②不成立，【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而利用等腰直角三角形的性质解答；（2）①过作，根据两直线平行，内错角相等和三角形内角和定理解答即可；②过作，根据两直线平行，内错角相等和三角形内角和定理解答即可．【解析】（1）解：直线，

，直线，，，，，，故答案为：；（2）解：①，理由如下：过作，

直线，，，，，，，，，，，，，即；②，理由如下：过作，

直线，，，，，，，，，，即．【点睛】本题是几何综合题，此题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．9．长江汛期即将来临，江阴防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，且a、b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．

(1)求a、b的值；(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次与垂直之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达之前．若射出的光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【答案】(1)，；(2)当秒或85秒时，两灯的光束互相平行；(3)不变，．【分析】（1）根据非负数的性质列方程组求解即可；（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况：①在灯射线到达之前；②在灯射线到达之后，分别列出方程求解即可；（3）设灯转动时间为秒，则，，过点作，则，得出，，即可得出结果．【解析】（1），，解得：，故，；（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，①在灯射线到达之前，由题意得：，解得：，②在灯射线到达之后，由题意得：，解得：，综上所述，灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；（3）与的数量关系不发生变化，；理由：设灯转动时间为秒，则，，，如图2，过点作，则，

，，，，，，．【点睛】本题考查了非负数的性质、解二元一次方程组、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，连结，且．灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．

(1)若两灯同时转动，在灯射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点．①如图，当两灯光线同时转动秒时，求的度数．②如图，当两灯光线同时转动秒时，过作交于点，求与的比值．(2)若灯射线先转动秒，灯射线才开始转动，在灯射线第一次转到之前，灯转动几秒，两灯的光线互相平行？【答案】(1)①；②(2)灯转动秒或秒时，两灯的光束互相平行【分析】（1）①当转动秒时，有，即有，根据，即可得解；②过点作，，，，即有，，根据，可得，再根据，可得，即问题得解；（）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，灯先转动秒，则转到还需要（秒）即，①当射线第一次垂直时，用时（秒），此时射线共计运动秒，即，即在灯射线到达之前，先证明，即有：，即可求解；②在灯射线到达之后，回到前，根据①中，同理有：，即有：，即可求解；③在灯射线回到后，第二次到前，由题意得：，即可求解，即问题得解．【解析】（1）两灯速度为：灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．①当转动秒时，，∴，∴，故答案为：；②比值为：，理由如下，如图2，过点作，

∵，∴，两灯光线同时转动秒时，则，，∴，，∴，即，又∵，即，而，∴∴．即比值为：；（2）两灯速度为：灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．设灯转动秒，两灯的光束互相平行，灯先转动秒，则转到还需要（秒）即，①当射线第一次垂直时，用时（秒），此时射线共计运动秒，即，即在灯射线到达之前，如图所示，

∵，，∴，，∴，∴，即有：，解得：（秒）；②如图4，在灯射线到达之后，回到前，

根据①中，同理有：∵即有：，解得：．③如图5，在灯射线回到后，第二次到前，

由题意得：，解得：（舍去）．综上所述，灯转动秒或秒时，两灯的光束互相平行．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系，厘清角度之间的关系并注意分类讨论是解答本题的关键．题型4：动点问题11．已知，，点在直线上，为上一点，为上一点．

(1)如图，当点在线段上运动时，连接，求的值；(2)如图，当点在的延长线上运动时，连接，求的值；(3)如图，当点在的延长线上运动时，连接，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（）过点作，得到，利用平行线的性质即可求解；（）过点作，得到，利用平行线的性质即可求解；（）过点作，得到，利用平行线的性质即可求解；本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，根据图形，正确作出辅助线是解题的关键．【解析】（1）解：如图所示，过点作，

∵，∴，∴，，∴；（2）解：如图所示，过点作，

∵，∴，∴，，∴；（3）解：如图所示，过点作，

∵，∴，∴，，∵，∴，∴．12．问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．

(1)按小明的思路，易求得的度数为______度；（直接写出答案）(2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；(3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)当在延长线上时，；当在延长线上时，．【分析】（1）过点作，通过平行线性质求即可；（2）过点作，交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；（3）分两种情况：在延长线上时，在延长线上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出，即可得出答案．【解析】（1）解：过点作，，，，，，，，，．故答案为：；（2），理由：如图，过点作，交于，

，，，，；（3）当在延长线上时，如图所示，

由（2）可知，，，当在延长线上时，如图所示，

由（2）可知，，，【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．题型5：一副三角板及其在平行线中的应用13．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中）

(1)将三角尺如图1所示叠放在一起．①与大小关系是________；②与的数量关系是________．(2)小亮固定其中一块三角尺不变，绕点顺时针转动另一块三角尺，从图2的与重合开始，到图3的与在一条直线上时结束，探索的一边与的一边平行的情况．①求当时，如图4所示，的大小；②直接写出的其余所有可能值．【答案】(1)①相等；②(2)①；②或或或【分析】（1）①利用同角的余角相等，即可得到答案；②根据，，即可得到；（2）①过点O作则AB∥CD∥OE，即可得到30°，45°即可得到答案；②分情况讨论：当时；当时，当时，当时，分别根据平行线的性质进行计算即可．【解析】（1）解：①与大小关系是相等；∵，，∴，故答案为：相等；②与的数量关系是：；∵，，∴；（2）解：①过点O作，

∵，∴，∴，，∴；②当时，如图，则；

当时，如图，则；

当时，如图，则，∴；

当时，则，∴；

∴综上所述：的其余可能值为或或或．【点睛】本题考查了同角的余角相等，角的和差计算，平行线的判定和性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质，正确分类讨论．14．如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．

(1)求的度数．(2)如图②，若将三角形绕点以每秒度的速度逆时针方向旋转（的对应点分别为，），设旋转时间为（s）（）；①在旋转过程中，若边，求的值；②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒度的速度顺时针方向旋转（的对应点为，）请求出当边时的值．【答案】(1)；(2)①；②或．【分析】利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．首先证明，由此构建方程即可解决问题．分两种情形：如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题．如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题．【解析】（1）解：如图中，

，，平分，，，，，；（2）解：如图中，

，，，，，，在旋转过程中，若边，的值为；如图中，当时，延长交于，

，，，，，；如图中，当时，延长交于，

，，，，，综上所述，满足条件的的值为或．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键．15．在数学活动课中，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，，且）开展数学活动．

操作发现：(1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，我们会发现，推理的根据是：________；(2)将这副三角板如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，点A与点F重合，求的度数；(3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形能点C旋转一周，当时，请判断直线和直线b是否垂直，并说明理由．【答案】(1)同位角相等，两直线平行(2)(3)垂直，见解析【分析】（1）由平行线的判定方法或平移的性质可得答案；（2）过A作直线，交于G，而，则，可得，，再利用角的和差关系可得答案；（3）如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H，可得，证明，而，可得，即旋转角位，可得，从而可得结论．【解析】（1）解：同位角相等，两直线平行或平移前后的对应线段平行；（2）过A作直线，交于G，而，∴，

，同理，．（3）垂直，理由如下如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H

，而，，即旋转角位，，．【点睛】本题考查的是平移的性质，平行线的判定与性质，平行公理的应用，旋转的性质，熟练的利用旋转的性质进行证明是解本题的关键．题型6：单个三角板在平行线中的应用16．在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．

(1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数；(2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数；(3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，；，；，【分析】（1）先求出，再利用两直线平行同旁内角互补求出的度数，根据即可得出结果；（2）利用平行线性质得到，，，平分，平分，得到，根据，即可得到最后结果；（3）根据四边形的内角和及平行线的性质得出关于和的关系式，根据题意得出的范围，在范围内找到和都是正整数的所有可能的情况．【解析】（1）解：，，，，；（2）如图，过点作，

，，，，，平分，平分，，，，，；（3），，，，，，，，，，，，，又，是正整数，存在符合要求的正整数和，分别为：当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意；当时，，不是整数不符合题意，舍去；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．【点睛】本题考查平行线的性质，利用平行线的性质、角平分线的定义、四边形的内角和等知识把问题解决，其中作平行线、分类讨论是解决本题的关键．题型7：折叠问题17．

如图1，现有一张纸条，，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处，交于点G．

(1)①若，则______；②若，则______；(2)如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处，已知，，求证：；(3)如图3，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点落在处，点落在处，，设，求的度数．（用含x的式子表示）【答案】(1)①；②(2)证明见解析(3)【分析】（1）①②根据折叠的性质和等于，根据平角的定义求出，再根据平行线的性质即可得解；（2）根据折叠的性质和等于，进一步求出，根据平行线的性质即可求出，根据折叠可得，即可得到，再根据平行线的判定定理证明即可；（3）根据折叠的性质和，即可得到，根据平行线的性质求出，进一步得到和，根据平角的定义求出，根据折叠得到，再利用角的和差可得答案．【解析】（1）解：①由折叠可得：，∴，∵，∴，故答案为：；②由折叠可得：，∴，∵，∴，故答案为：；（2）证明：由折叠可得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：由折叠可得：，∵，∴，∵，∴，∴，由折叠可得：，∴，由折叠可得：，∴．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，角的和差，有一定难度，解题的难点在于读懂图形，找准折叠前后的对应角．18．在直角三角形ABC中，，点D，E分别在上，将沿翻折，得到．(1)如图①，若，则______；

(2)如图②，的平分线交线段于点G.若，求证．

(3)已知，的平分线交直线于点G.当的其中一条边与平行时，直接写出的度数（可用含的式表示）．

【答案】(1)40；(2)见解析；(3)或或或【分析】（1）先求出，再利用翻折即可得出答案；（2）根据角平分线的定义得出，设，则，根据翻折得出，再求出，即可得出结论；（3）分情况：①当，②当，③当，④当时，在的下方，⑤当时，在的下方，分别求解即可．【解析】（1）解：∵，∴，∵翻折，∴，∴，故答案为：40；（2）解：∵的平分线交线段于点G，∴，∵，设，∴，∵翻折，∴，∴，∴，∵，∴；

（3）解：①当，如图①所示：

∴，∵，∴，∵翻折，∴，∴，∵的平分线交线段于点G，∴，∵，∴；②当，如图②所示：

∴，∴，∴，∵的平分线交线段于点G，∴，∵，∴；③当，如图③所示：

∴，∵翻折，，∴，∴，∵的平分线交线段于点G，∴，∵，∴；④当时，在的下方，如图④所示：

∴，∵的平分线交线段于点G，∴，∴；⑤当时，在的下方，如图⑤所示：

∴，∵翻折，，∴，∵的平分线交线段于点G，∴，∴；综上所述，或或或．【点睛】本题考查平行线的性质，翻折，三角形内角和定理，角的平分线的定义，注意分情况讨论是解（3）题的关键．19．如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．

(1)观察发现：如图①所示：，，则______．(2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明；(3)迁移应用：如图③，点落在边的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)不成立，数量关系应为：，证明见解析【分析】（1）根据已知条件，结合平行线的性质，算出，再结合折叠、四边形内角和，算出，最后根据计算即可；（2）过点作，交于点，交于点，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到，再结合折叠的性质可得数量关系；（3）过点作，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到得，再结合折叠的性质可得数量关系．【解析】（1）解：，沿折叠，点落在点的位置，，，，（两直线平行，同旁内角互补），，，（四边形内角和为），故答案为：（2）解：如下图，过点作，交于点，交于点

则，，，，，由折叠的性质得，，（全等三角形对应角相等）（3）解：如下图，过点作，则，

，，，由折叠的性质得，，（全等三角形对应角相等），即【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．题型8：定值问题20．综合与实践问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点，分别为点，，线段与交于点（说明：折叠后纸带的边始终成立）

操作探究：(1)如图，若，则的度数为______°．(2)如图，改变折痕的位置，其余条件不变，小彬发现图中始终成立，请说明理由；(3)改变折痕的位置，使点恰好落在线段上，然后继续沿折痕折叠纸带，点，分别在线段和上．①如图，点的对应点与点重合，点的对应点为点若，直接写出的度数．②如图，点，的对应点分别为点，，点，均在上方，若，，当时，直接写出与之间的数量关系．【答案】(1)45(2)说明理由见解析(3)①；②【分析】（1）由，证明，由折叠知，，可得，结合，从而可得答案；（2）由，可得，由，可得，从而可得答案；（3）①：由折叠得出，同理得出，即可