（特效提高）高考数学一轮复习 28 函数与方程题库 理

2.8函数与方程

、选择题

1.“水一2”是“函数f(x)=ax+3在区间上存在零点两”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件I).既不充分也不必要条件

解析：当水一2时，函数f(x)=ax+3在区间［―1,2］上单调递减，此时F(—1)=3—a>0,

A2)=3+2X0,所以函数/V)=ax+3在区间，［—1,2］上存在零点厢当函数F(x)=ax+3

在区间［-1,2］上存在零点8时，

有1)F(2)<0,即2,一3a—9〉0,

3

解得a>3或a<—~

答案：A

2.下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()

解析：能用二分法求零点的函数必须在含零点的区间(a,A)内连续，并且有F(a)-F(b)V

0.A、B、D中函数不符合.

答案：C

3.函数f(x)=--+log2x的一个零点落在下列哪个区间()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

»tlfVf(l)=-l+log2l=-l<0,

f(2)=--+lo.g22=—>0,

22

Afd)•f(2)<0,故选B.

答案：B

4.若函数f(x)=V+m>+l有两个不同的零点，则实数加的取值范围是

()

A.(-1,1)B.(-2,2)

C.(一8,-2)U(2,+~)D.(一8,-1)u(1,-Foo)

解析：由题意知，一元二次方程/+z»x+l=0有两不等实根，可得△>0,即序一4>0,解

得加>2或成一2.

答案：C

5.函数f(x)=2'+3x的零点所在的一个区间是().

A.(—2*—1)3.(—1,-0)

C.(0,1)D.(1,2)

解析F(x)=2*+3x在R上为增函数，且/'(—1)=2一|-3=—5,F(0)=l,则f(x)=2'+3x

在(一1,0)上有唯一的一个零点.

答案B

6.方程寸+/万-1=0的解可视为函数y=x+/的图象与函数旷=1的图象交点的横坐标，

若x'+ax-4=0的各个实根汨，E，…，所对应的点(M，，)(/=1,2,…，公均在

直线尸x的同侧，则实数a的取值范围是().

A.RB.0

C.(—6,6).D.(—8,—6)u(6,+°°)

4

解析(转化法)方程的根显然xHO,原方程等价于原方程的实根是曲线y=?

X

4

十&与曲线y=-的交点的横坐标；而曲线尸f+a是由曲线尸f向上或向下平移㈤个单

X

位而得到的.

若交点(必，g(f=i,2,…，公均在直线尸才的同侧,

4

因直线尸x与y=［交点为：(一2,—2),(2,2)；

a>0,%V0,

所以结合图象可得：<x+a>~2,或・x+&V2,

.x2一2,.启2,

naW(—8,—6)U(6,4-0°)；选D.

答案D

【点评】转化法能够在一定程度上简化解题过程.

7.已知函数r(*)=xe'-ax-l,则关于〃X)零点叙述正确的提().

A.当a=0时，函数F(x)有两个零点

B.函数〃力必有一个零点是正数

C.当aVO时，函数f(x)有两个零点

D.当&>0时，函数F5)只有一个零点

解析f(x)=0<=>e'=a+-

x

在同一坐标系中作出尸e二与尸;的图象，

可观察出A、C、D选项错误，选项B正确.

答案B

二、填空题

8.用二分法研究函数，(*)=，+3*—1的零点时，第一次经计算/XOkO,F(0.5)>0可得其

中一个零点*后____,第二次应计算________.

解析：Vf(x)=x+3x-l是R上的连续函数，且AOXO,A0.5)>0,则〃*)在xW(0,0.5)

上存在零点，且第二次验证时需验证A0.25)的符号.

答案：(0,0.5)A0.25)

2X—1/o

9.已知函数F(力=2：'-八若函数&(»=&*)—勿有3个零点，则实数小的

-x—2x

取值范围是

解析：画出图象，令g(x)=F(x)—0=0,即/'(x)与尸m的图象的交点

有3个,・・・0＜欣1.

答案：(0,1)

x2-2|x|H—,xW0

10.函数f(x)=112的零点个.数为_______.

|lgx|-l,x>0

解析作出函数f(x)的图象，从匿象中可知函数f(x)的零点有4个.

答案：4

11.若函数/U)=财+执收0)有一个零点是2,那么函数g(x)=加一ax的零点是

解析由已知条件2a+b=0,即6=-24

g(x)=-2ax-ax=—

则g(x)的零点是x=0,X=-1.

答案0,

12.已知函数f(x)=e'—2x+a有零点，则a的取值范围是________.

解析由原函数有零点，可将问题转.化为方程e'—2x+a=0有解问题，即方程a=2x—/

有解.令函数g(x)=2x—e',则g'(x)=2—e',令g'(x)=0,得x=ln2,所以g(x)在(一

8,In2)上是增函数，在(In2,+s)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln2)=21n

2-2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a£(—8,21n2—2].

答案(一8,21n2-2]

三、解答题

13.若方程用(-9+3万一加=18(3—才)在彳£(0,3)内有唯一零点，求实数勿的取值范围.

解析：原方程可化为一(入-2)2+1=0(0<k3),

设％=—(*—2)2+1(0<^<3),y?=m,J产弋之尸”

在同一坐标系中画出它们的图像(如图所示).37——

由原方程在(0,3)内有唯一解，知必与刑的图像只有一个公共点，

可见m的取值范围是一3⑦W0或力=/.

14.对于函数/Xx),若存在胸£上使F(照)=照成立，则称照为FG)的不动点，已知函数

f(x)=aV+(b+1)x+b—1(aWO)

(1)当8=1,力=—2时，求f(x)的不动点；

(2)若对任意实数4函数Ax)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.

解析(1)当a=l，6=—2时，f(x)=x-x-Z,

由题意可知x=f—x—3,得小=—1,E=3

故当a=l,b=-2时，/(动的不动点是一1,3.

⑵Vx)=/+(Z?+l)x+b—1(aWO)恒有两个不动点，x=ax+(Z?+1)Z?—1,

即ax-\-bx-\-b—1=0恒有两相异实根，

，4=彦一49+4a>0(代R)恒成立.

于是=(4a)2—16a<0解得0<aVl,

故当力£R,打*)恒有两个相异的不动点时,OV/VL

15.已知函数〃*)=4'+/-2'+1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点.

思路分析由题意可知，方程4'+勿・2'+1=0仅有一个实根，再利用换元法求解.

解析•・・F(X)=4*+R-2,+1有且仅有一个零点，

即方程(292+0・2"+1=0仅有一个实根.

设2'=£(方>0),则#+加2+1=0.

当4=0时，即病一4=0,

工勿=-2时，1=1；加=2时，£=.—1(不合题意，舍去)，

2*=1,x=0符合题意.

当4>0时，即加>2或Z-2时，

-+.〃"+1=0有两正或两负根，

即/、(》有两个零点或没有零点.

，这种情况不符合题意.

综上可知：勿=一2时，F(x)有唯一零点，该零点为x=0.

【点评】方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方

程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转•化为方程根的问题.

2

1G.已知函数/'(x)=—/十2ex十〃/—I,g{x)=A+—(A>0).

(1)若g(>)=加有零点，求勿的取值范围；

(2)确定勿的取值范围，使得g(x)—f(x)=O有两个相异实根.

2

解析：(1)法一：:2(才)=才+522，最=26,

等号成立的条件是*=e,

故