2023年高考数学一轮复习（全国版理） 第4章 §45 三角函数的图象与性质

【考试要求】1.能画出三角函数的图象2了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值.3.借助

图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2元]卜,F切函数在（一去9卜的性质.

【知识梳理】

1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图

（I）在正弦函数y=sinx,x£[0,2柯的图象中，五个关键点是：（0,0）,（三，1）（兀，0），（苧，-1），

（2兀，0）.

⑵在余弦函数产cosx,x£[0,2可的图象中，五个关键点是：（0,1）,&0）,（兀,7）,年,0），

（2%，1）.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中&・Z）

函数j=sinxy=cosxy=tanx

图象

定义域RR

值域LL11LI,11R

周期性27r27c

奇偶性奇函数偶函数奇函数

递增区间2ht]

递减区间[21-,21TC+JC]

对称中心(kn,0)

对称轴方程,,71

【常用结论】

1.对称性与周期性

⑴正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是3个周期，相邻的对称

中心与对称轴之间的距离是1个周期.

⑵正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

2.奇偶性

若/to=4sin（（yx+e）（A，3KO），则

（1小）为偶函数的充要条件是8=]+E（kZ）.

（2次外为奇函数的充要条件是s=E（A£Z）.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）正切函数y=tanx在定义域内是增函数.（X）

（2）已知.丫=依出工+1,x£R,则），的最大值为k+L（X）

（3）y=sin|x|是偶函数.（J）

（4）若非零实数7是函数人r）的周期，则是非零整数）也是函数人x）的周期.（

【教材改编题】

1.若函数y=2sin2x—1的最小正周期为7,最大值为A,则（）

A.T=it,A=\B.7,=2TT,A=1

C.T=R,A=2D.T=2n,A=2

答案A

2.函数兀r）=-2ian（2x+g的定义域是（）

A.*£RM)

J71

B.jxGRxW一五

C*£RxWE+*£Z);

D.{x£R।

答案D

解析由2r+/及7t+5，&£Z,

得x好+率k^Z.

3.函数y=3cos(2r一的单调递减区间是.

答案［依幻1+第，kcz

解析因为y=3cos(2x一5，

令2EW2x-1W2&7t+7t,kSZ,

求得尿+^WxWE+专，kQZ,

可得函数的单调递减区间为E+*&兀+号］kRZ.

题型一三角函数的定义域和值域

例1(1)函数［的定义域为.

【anAi

答案〉,云：+&兀，&GZ|

解析要使函数有意义，

tanx—l^O,

贝/n

xW/+E,kGZ,

kRZ,

&£Z.

故函数的定义域为

1x卜工£+而，且kez).

(2)函数y=sinx—cosx+sinxcosx的值域为.

答案［一甲，；

、1-/2

解析设f=sin4—cosx,则^usiMx+cosNx—2sin¥cosx,sinxcosx=~5~~,

且一巾WfW巾.

»211

，y=_2+，+］=~2^~1)2+1,

W［f,例.

当t=\时，ymax=l；

当f=-陋时，)'min=-1+；啦.

J函数的值域为［—殁立，1.

【教师备选】

1.函数y=/sinx—cosx的定义域为.

-《一

答案|_2E+£,2E+引gZ)

解析要使函数有意义，必须使sinx-cosxNO.利用图象，在同一坐标系中画出［0,2兀］上y=

sinx和y=cosx的图象，

如图所示.

在[0,2兀]内，满足sinx=cosx的）为:，于，再结合正弦、余弦函数的周期是2兀，所以原函

数的定义域为卜|2E+gxW2E+季k《Z}.

2.函数y（x）=sin2x+，5cosx—H£[o,中的最大值是.

答案1

解析由题意可得

Vxe0,5，

:.cosxG[0,1].

，当cosx=坐，即时，危）艰最大值为1.

思维升华（1）三角函数定义域的求法

求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数的图象来求解.

（2）三角函数值域的不同求法

①把所给的三角函数式变换成y=Asin（®r+9）的形式求值域.

②把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.

③利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.

跟踪训练1（1）（2021•北京）函数"t）=cosx—cos2r,试判断函数的奇儡性及最大值（）

A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2

C.奇函数，最大值为?D.偶函数，最大值为与

OO

答案D

解析由题意,

J(—x)=cos(—x)—cos(~2x)

=cosx—cos2x=J(x)t

所以该函数为偶函数，

又/(X)=COSA—cos2x=—2COS2X+COSX+1=­2(cosX-

19

所以当COSX=W时，7U）取最大值R

(2)函数,y=lg(sin2x)+d9一4的定义域为

答案［-3,-Ju(0,f)

解析,・•函数y=lg(sin2x)+为9-f,

sin2A>0,

・••应满足，

9-r^O,

It.

f十攵兀，

解得，2其中A£Z,

.-3WxW3,

:.—3Wx<—E或Ow专

・••函数的定义域为［-3,一热（0,

题型二三角函数的周期性、奇偶性、对称性

例2（1）（2019・全国II）下列函数中，以方为周期且在区间与3上单调递增的是（）

A.y（x）=|cos2x|B.J（x）=|sinZv|

C.y（x）=cos|x|D./(x)=sinW

答案A

解析A中，函数於）=|cos2x|的周期为去当正保号时，"（”），函数段）单调递增,

故A正确；B中，函数加:）=|sin2x|的周期为1当住，时，2x^（今五），函数贝幻单调

递减，故B不正确；C中，函数咒T）=COS|A1=COSX的周期为2兀，故C不正确；D中，兀到=

sinxyx20,

sinW=.由正弦函数图象知，在x20和x<0时，/（x）塔以2兀为周期，但在整

—sinx,x<0,

个定义域上力r）不是周期函数，故D不正确.

（2）函数共幻=3$足3一弓+力+1,gO,兀），且加:）为偶函数，则8=，9图象的

对称中心为.

答案?（:+-I0

解析若y（x）=3sin（2x-1+夕）+1为偶函数，则一1+。=&兀+5&GZ,

即9=^+E,k0L,

又,.,伊金⑴，兀）,

.5兀

・・勿=不.

••fix)=3sinf2x++l=3cos2x+1,

由2r=方+hr,4£Z得x=：+苧，ZrGZ,

・g)图象的对称中心为仔+亨，1),Z£Z.

【教师备选】

1.下列函数中，是周期函数的为()

A.y=sin|x|B.y=cos|x|

C.y=tan|x|D.y=(x—1)°

答案B

解析•・.cos|x|=cosx,・“=85|》是周期函数.其余函数均不是周期函数.

2.函数风丫）=3§皿3—力+夕），3七（0，兀），若人动为奇函数，则9=.

答案f

解析若危）=3sin（2x-为奇函数，

则一]+3=E,左£Z,

即9=1+E，keZ,

又:伊七①，7t）,

_冗

・・・—•

思维升华（1）奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y=4sinsx或y=Atanajx

的形式，而偶函数一般可化为.y=Acoss的形式.

（2）周期的计算方法：利用函数尸Asin（tox+9）,y=Acos（s+9）（5>0）的周期为金，函数y=

Atan（3r+3）（s>0）的周期为看求解.

跟踪训练2（1）（2021•全国乙卷）函数段）=sin芯+cos镰小正周期和最大值分别是（）

A.3冗和节B.37r和2

C.6兀和小D.6冗和2

答案C

解析因为函数兀v）=sin与+cos]

=&sing+"

所以函数1x)的最小正周期丁=竿=6兀，最大值为啦.

3

⑵已知40=ACOS(GX+3)(A>0,00,0<8<兀)是定义域为氏的奇函数，且当x=3时，y(x)取得

最小值一3,当侬取得最小正数时，贝1)+大2)+43)+…土«2022)的值为()

A.^B.—6—3小

C.1D.-1

答案B

解析,・7。)=Acos(ou+p)(AX),tu>0,。〈小兀)是定义域为R的奇函数，

.•・8=5+E,k《Z,则伊=看

则/W=—Asin(i)x.

当x=3时，«x)取得最小值一3,

故A=3,sin3(y=1,

，3/=]+2E，&£Z.

"的最小正数为亲

^•flx)=—3sin会，

.\ZU)的周期为⑵

・・・川)+«2)+火3)+・・・+川2)=0,

・7/U)+/(2)+y(3)+…七«2022)

=168X0+犬1)+42)+…+负6)

=-6—3巾.

（3）（2022.郑州模拟）设函数J（x）=2sin（2x—§+土，则下列叙述正确的是（

A.1工）的最小正周期为2几

B.危）的图象关于直线广盍对称

C.加）在他［上的最小值为七

D.於）的图象关于点管，0）对称

答案C

解析对于A,©的最小正周期为:=储

故A错误；

对于B,・.・sin（2X专一§=-gw±l,

故B错误；

对于C,当1Ji时，2x—y,y,

353

2+----

si44+■4

工於）在冬兀］上的最小值为一土，故C正确;

33

27-C十-=-

3-44

・7/（x）的图象关于点停，g对称，故D错误.

题型三三角函数的单调性

命题点i求三角函数的单调区间

例3函数式x）=sin（-2x+W）的单调递减区间为

答案［桁一盍，E+招（AWZ）

解析7W=sin（—Zr+鼻）

=sin[-（2x-f）]

=-sin（2x-f）,

由2foc—,W2x—‘W2E+.kGZ,

得H-令簿2£Z.

故所求函数的单调递减区间为

n,.5九~|八„

E一行，女兀+五（女WZ）.

延伸探究y（x）=sin（—Zr+三）在［0,兀］上的单调递减区间为.

答案［。闱和［晋"］

解析令4=-kit—7C既+5尚苑一，kRZ,

B=［0,7c］,

.•.AC8=［o,哥U［普,冗］,

••孙）在［0,用上的单调递减区间为［o,用和［卷4

命题点2根据单调性求参数

例4（1）若函数加）=sins（M>0）在区间［o,上单调递增，在区间^上单调递减，则编

3

答案-

2

，

原点

＞0）过

sx（3

=sin

:/（幻

解析

，

GJXW

当OW

增；

单调递

ins

y=s

J时，

XWW

即OW

茎

口后

当畀

.

递减

单调

tox

sin

，y=

普时

WxW

即白

,

1a）

1a）

递增.

卜单调

J

在0.

〃）＞0）

〃）丫（

=4n

由小）

总代

，知

递减

单调

外上

在K，

3

.

2.

..69=

是

值范围

口的取

减，则

单调递

）上

停冗

+g在

（sx

sin

用O=

,函数

＞0

知公

（2）已

L

1

5

-

答案-

I

4

2*

J

G»0,

由菱

解析

.It

.It

.It

（DTt

+4,

4<«?兀

cox+

+4〈

付"2

j

］,k

+当

2E

+看

为2E

区间

递减

单调

nx的

尸si

因为

.

7C._

.7T_

①兀

，

+2反

4避

彳+

,

kGZ

,

冗.c,

.兀）3

兀，

+2攵

1W5

s兀十

{

L

kG

+3,

★22

£/公

42+

解得

又由必+£—(2攵+3石0,&EZ,

5

-eZ

4

解得2=0,

2*fl

所以①仁

【教师备选】

考)已知函数段)=sin(cwx+3)((co>0,l9l<3,工=一千为/(x)的零点，x

(2022•定远县育才学校月

=今为y=/(x)图象的对称轴，且_/(x)在焦，韵上单调，则①的最大值为()

A.11B.9C.7D.1

答案B

解析因为工=一牙为次>)的零点,

尸今为了=段)图象的对称轴,

所以7=云〃GN）,

加2〃+127r7t

即［―石=E（〃WN）,

所以①=2〃+1(〃£N),即①为正奇数.

因为段)在偌,§)

上单调,

则m言多

即巧吟

解得①W12.

当①=11时，一丁+@=E,女WZ,

1T

因为取专,

所以3=一/,此时阿=5皿（1以一壬）.

当词S,豺时，

11A4136'36Z

所以“V）在信，器）上不单调，不满足题意；

当①=9时，一半+e=E,%£Z,

Jr

因为MW》

所以9=；，

此时人V）=sin（9x+：）

当送儒，19时，

9*+铝停T）>

此时Hx）在儒，题上单调递减，符合题意.

故CW的最大值为9.

思维升华（1）已知三角函数解析式求单调区间

求形如.y=Asin（cox+/）或y=Acos@x+9）a中①>0）的单调区间时，要视“（ox+s”为一个整

体，通过解不等式求解.但如果”<0,可借助诱导公式将①化为正数，防止把单调性弄错.

（2）已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.

跟踪训练3（1）（2021・新高考全国I）下列区间中，函数凡r）=7sin（x-g的单调递增区间是

（）

A.（0,号B《,兀）

。（心为D・爵,2九）

答案A

解析令一为+2EWx—/Wa+2E,kGZ,得一号+2EWxW,+2E,A£Z.取k=0,则一名

WxW争因为（0,f）[一?y],所以区间（0,号是函数段）的单调递增区间.

（2）（2022•开封模拟）己知函数y=sin（cox+§

（①>0）在区间（一/§上单调递增，则①的取值范围是（）

A.（0,1B.1

答案A

解析当一*时，

neo.n,nneo.it

-不+铲①吗

当x=0时，cor+尹/

因为函数尸，3+纵》0）在区间（一去§上单调递增,

解得“w*

因为①>0,所以⑦的取值范围是（0,1

课时精练

1.y=|cos月的一个单调递增区间是（）

A.[—9JB.[0,河

D.修,2冗]

T

答案D

解析将y=cosx的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方（或x轴上）的

图象不变，即得y=|cosx|的图象（如图）.

故选D.

2.函数的定义域为（）

学同（女

A心+4E,+4£Z）

B&+软，|+42伏WZ)

C居+4版,4+4EC「Z)

D1'+4匕房+4后(ZWZ)

答案B

解析由题意，得2sinjx—120,

全£5+2E系+2%兀卜0,

则g+软，1+4^ez).

3.函数贝x)=sin(x+尚COS(L总是(

)

A.最小正周期为兀的奇函数

B.最小正周期为兀的偶函数

C.最小正周期为2兀的非奇非偶函数

D.最小正周期为兀的非奇非偶函数

答案D

解析由题意可得

./(x)=sinKMT)

=sin

•,-^)=2-2COSI

故人外的最小正周期丁=:=电由函数奇偶性的定义易知，人外为非奇非偶函数.

sinX+Y

4.函数/U)=M4■口在［一九，河的图象大致为()

答案D

物用占4Xsin(-x)+(-.y)

解析由犬_的_8式_])+(_刈2

—sinx—x

A得於)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A；

cosx+x2-,A),

11

又电24+2兀

>1,

.*兀）=_］［冗2>0,排除B,C.

5.关于函数Wx）=sin2x-cos2x,下列命题中为假命题的是（）

A.函数y="r）的周期为冗

B.直线x=今是y=/（x）图象的一条对称轴

C.点你0）是产心）图象的一个对称中心

D.），=/5）的最大值为吸

答案B

解析因为/（A）=sin2xcos2x

=V5sin（2x-£）,

所以凡6的最大值为加，故D为真命题；

因为s=2,故7=竽=兀，故A为真命题；

当尸:时，2r-j=f,终边不在）:轴上，故直线尸:不是尸危）图象的一条对称轴，

故B为假命题；

当尸与时，2A-2=0,终边落在k轴上，

o4

故点/，°）是y=yu）图象的一个对称中心，故C为真命题.

6.（2022.广州市培正中学月考）关于函数启）=sinkl+|sinx|,下列叙述正确的是（）

A.是奇函数

B.府）在区间&［上单调递增

c.“丫）的最大值为2

D.兀0在［一兀，河上有4个零点

答案C

解析x)=sin|—x|+|sin(—x)|

=sinU1+|sinx\=fl\),

«x)是偶函数,A错误；

当兀)时，y(x)=sinx+sinK=2sinx,

单调递减，B错误；

,/(x)=sin|x|+|sinx|W1+1=2,

且，e)=2,c正确；

在［一冗，兀］上，当一冗〈工<0时，

fix)=sin(—x)+(—sinx)=_2sinx>0,

当0<r<7r时，/(x)=sinx+sinx=2sinx>0,

y(x)的零点只有兀，o,一兀共三个，D错误.

7.写出一个周期为兀的偶函数/(»=.(答案不唯一)

答案cos2x

8.(2022•上外浦东附中检测)若在0,内有两个不同的实数值满足等式cos2H■由sin2r=k

+1,则实数2的取值范围是.

答案0WN1

解析函数Kr)=cos2x+，§sin

=2sin(2A,+§,

当0,”才，

fix)=2sin(2t+*)单调递增；

।「兀7c]J.

当X电,小时，

4%)=2sin(2x+专)单调递减，

,A0)=2sin1=1,

/©=2sin2=2'

/©)=2sin普=-1,

所以在[。，f内有两个不同的实数值满足等式cos2t+小sin2x="+l,

则1WA+1V2,

所以OWkl.

9.已知函数/(x)=4sin3sin(<yx+§—l(m>0)的最小正周期为兀.

(1)求侬及兀r)的单调递增区间；

⑵求人¥)图象的对称中心.

解(1)/(4)=4sincoxQsinctzv+坐costux)—1

=2sin%x+2小sintwxcoscox—1

=1—cos2tor+小sin2a)x-1

=*73sin2<wx—cos2cox

=2sin(2sx-g.

•・•最小正周期为m

.27T

.*.6>=1,.*.y(x)=2sin

令一5+2EW2x—1W5+2E,kGZ,

解得一k£Z,

o3

・g)的单调递增区间为一日+E，1+E]

(AGZ).

⑵令2x—1=E.kez.

解得1=合+竽，k£Z,

.g)图象的对称中心为信+竽，。)，MZ.

10.(2021•浙江)设函数1y(x)=sinx+cosx(x£R).

⑴求函数尸I/G+9｝的最小正周期；

⑵求函数在[。，冷上的最大值.

解(1)因为段)=sin%+cosx,

所以/(工+m=sin(x+5)+cosg+W)

=cosx-sinx,

所以产(/(x+W)

2=(cosx—sinx)2

=1-sin2x.

所以函数尸I/G+初2的最小正周期T=y=7r.

(2»(L：)=sin(x-g4-COS^X-

=y［2sinx,

所以尸兀叨'(l：)

=y［2sinx(sinx+cosx)

=，5(sinxcosx+sin2x)

=V2^sin2L：COS2K+，

=sin(2x-+孚

当0,时，2x一狂［一；，竽］

所以当2x—；=今，即尸华时，

函数尸在［。，手上取得最大值，且＞2=1+坐

11.(2022•苏州模拟)已知函数贯x)=sin(2v+g,则下列结论不正确的是()

A.x=一看是函数«r)的一个零点

B.函数段)在区间［一含制上单调递增

C.函数於)的图象关于直线尸去对称

D.函数/(*)是偶函数

答案D

解析对于A选项，因为/(—g=sin0=0,

故尸一看是函数危）的一个零点，A对;

对于B选项，当一招MrW盍时，

ItIIt〜冗

一/太+产菱,

所以函数兀0在区间［一招，75

上单调递增，B对;

对于C选项，因为对称轴满足2x+U+E,k《Z,

解得1=专+亨，当2=0时，彳=云，C对；

对于D选项，

令ga）=/（T）=sin［2（T）+（|

则庶）=0，

«（一凯sin（一舒ro,

故函数不是偶函数，D错.

12.（2022・厦门模拟）已知函数人r）=cos2（x一制一cos2x,则下列结论正确的是（）

A.4外的最大值为夸匚

B./）的图象关于点口0）对称