5篇高考数学复习资料

第五篇平面向量⑧

•MATHEMATICST

t用un五f"篇

平面向

22aL/5

第1讲平面向量的概念及其线性运算

【2014年高考会这样考】

1.在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则.

2.考查平面向量的几何意义及共线向量定理的应用.

013抓住4个考点必考必记夯基固本

对应学生

~70~

考点梳理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.

⑵零向量：长度为必的向量，其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量，规定：0与任一向

量共线.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的加法与减法

向量

运算定义法则(或几何意义)运算律

一

(1)交换律：

aa+〃=5+a.

求两个向量和的三角形法则

加法(2)结合律:

运算

(a+D)+c=

a

平行四边形法则a+S+c)

向量a加上向量5

的相反向量,叫做

减法Oa-b=a~\-(—b)

。与力的差，即。

三角形法则

-\-(—b)=a-b

3.向量的数乘运算及其几何意义

⑴定义：实数力与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作曲,

它的长度与方向规定如下：

①加=1由⑷；

②当2>0时-，〃与a的方向相同;当2Vo时、〃与a的方向型反；当％=0

时，"=0.

(2)运算律：设九〃是两个实数，则

①=(〃)《；②«+〃)4=加+〃a；③2(a+Z>)=A«+xZ>.

4.共线向量定理

向量a(aH0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数九使5=〃.

【助学・微博】

一条规律

一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向

量终点的向量.

一个结论

在△ABC中，若。为8C的中点，则屐>=3(箱+元).

一个区别

向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两

种情形.

考点自测

1.若向量。与b不相等，则a与方一定().

A.有不相等的模B.不共线

C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量

解析因为所有的零向量都是相等的向量，故只有C正确.

答案c

2.若/n〃〃，n//k,则向量m与向量气).

A.共线B.不共线

C.共线且同向D.不一定共线

解析当”=0时，4与zn不共线，故选D.

答案D

3.(2012.全国)△ABC中，AB边的高为CD,若丽=a,CA=b,ab=0,kzl

=1,161=2,则疝=().

11,„22,

AA.ga一乎B.铲一千

-3>44,

C5a-5bD5a-5b

解析由题可知ABF=2?+]2=5,因为AC2=ADAB,所以=

A力D

-'-AD==*(a-Z>)=，

答案D

4.。是△ABC的边AB上的中点，则向量的等于().

A.—BCB.—BC—^BA

C.BC-^BAD.BC+^BA

解析如图，CD=CB+BD

=CB+^BA=-BC+^BA.

答案A

5.设a与方是两个不共线向量，且向量a+劝与为一分塘，则2=.

[l=2k,

解析由题意知：a+Xb=k(2a-/>),则有：<,

••e=于z=-］•

答案得

Q2;突破3公考向研析案例考向突破

对应学生

~T\~

考向一平面向量的有关概念

［例1］＞给出下列命题：

①若山="，则4=。；②若A,B,C,。是不共线的四点，则筋=比是四边

形ABC。为平行四边形的充要条件；③若。=从b=c,贝Ua=c；④a=b的充

要条件是灯1=瓦且a〃江

其中正确命题的序号是.

［审题视点］以概念为判断依据，或通过举反例.

解析①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

②正确.-：AB^DC,L4BI=\DC\SLABIIDC,

又•「A,B,C,。是不共线的四点，二•四边形ABC。为平行四边形；反之，若

四边形ABC。为平行四边形，则筋//反且成1=I反I,因此，AB=DC.

③正确..a=b,方的长度相等且方向相同；

又方=c,...瓦c的长度相等且方向相同，

,-a,c的长度相等且方向相同，故。=已

④不正确.当且方向相反时，即使1«1=团，也不能得到a=。，故1«1=族1

且a不是a=8的充要条件，而是必要不充分条件.

综上所述，正确命题的序号是②③.

答案②③

方.送银索》准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向

量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.

【训练1】给出下列四个命题：

①a与8共线，方与c共线，则。与c也共线；②任意两个相等的非零向量的

始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a与方不共线，则。与。都是

非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行.

其中所有正确命题的序号是.

解析由于零向量与任一向量都共线，命题①中的b可能为零向量，从而不正

确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一

直线上，而此时就构不成四边形，更不可能是一个平行四边形的四个顶点，所

以命题②不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，

所以命题④不正确；③正确.综上所述，正确命题的序号是③.

答案③

考向二平面向量的线性运算

【例2】■

如图，在梯形A8CO中，\AB\=2\DC\,M,N分别是DC,AB的中点.若施=

e\,AD=e2,用ei，e?表示皮，BC,MN.

［审题视点］结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算.

解DC=^AB—^

BC=BA-\-AC^-AB+AC^Ab+DC-AB

=Ab—^AB=e2—^e\；

-A-A-A—►1―►―►1—►

MN=MD+DA+AN=-^AB-AD+^AB

=；诵一筋=，1-02.

方巷.里囊》用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位

置；②寻找相应的三角形或平行四边形；③运用法则找关系；④化简结果.

【训练2】

A'B

2—►

在△ABC中，ADr=^AB,DE〃BC交AC于点E,8c边上的中线AM交OE于

点N.设翁=a,AC=b,用a,方表示向量曲，BC,DE,DN,AM,AN.

DE//BC,22

解2^AE=TAC=^b,

AD=-jAB''

BC=AC—AB=b—a.

r2—►2

由△AOES&BC,^DE=-BC=-(b-a).

又4M是△ABC的边BC上的中线，DE/JBC,

一1一1

DN=^DE=利~a).

AM=AJB+BM=a+^BC=a+^b—a)=-^a+b).

△AD/V^AABM,

今俞=|■赢7=；3+)).

由,AD=^AB

考向三共线向量定理的应用

【例3】》设两个非零向量。与b不共线.

(1)若施=a+)，BC=2a+Sb,CD=3(a-b).

求证：A,B,。三点共线；

(2)试确定实数女，使依+》和a+必共线.

［审题视点］(1)先证明磊，粉共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向

量定理列出方程组求k.

⑴证明'：AB=a+b,BC=2a+Sb,CD=?)［,a-b).

：.BD=BC+CD=2a+Sb+3(a-b)=5(a+b)=5AB.

：.AB,昉共线，又它们有公共点8,B,。三点共线.

⑵解假设ka+b与a+他共线，

则存在实数九使ka+》=2(a+姑)，

即（女一z）a—（Ak—\）b.

又a,〃是两不共线的非零向量，

'.k—X=A.k—1=0./.k1—1=0..,.k=±l.

方法铺费》共线向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线,

也可以由向量共线求参数.利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共

点.

【训练3】若a,方是两个不共线的非零向量，a与分起点相同，则当f为何

值时，a,tb,g（a+））三向量的终点在同一条直线上？

解设a=a,OB—tb,OC=-|（a+Z＞）,

•*.AC=OC—OA=—|a+^Z＞,AB—OB—OA=tb—a.

要使A,B,C三点共线，只需公=2施.

21

即一耳。+？=加一〃.又a与b为不共线的非零向量

...当时，三向量终点在同一直线上.

。3»揭秘*高^_________蔓威解运真题展主

对应学生

-72-

方法优化6——准确把握平面向量的概念和运算

【命题研究】通过近三年的高考试题分析，平面向量的概念和运算时常以选

择题、填空题的形式出现，有时解答题的题设条件也以向量的形式给出，命题

的出发点主要是以平面图形为载体，借助平面几何、解析几何等知识，考查平

面向量的线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件，或以向量

为载体求参数的值.

【真题探究】＞（2012.浙江）设a,〃是两个非零向量.（）.

A.若la+M=kil-仍I,则

B.若a_LZ>,则la+bl=lal—IAI

C.若la+bl=lal—协I,则存在实数九使得分=初

D.若存在实数九使得。=初，则匕+加=团一团

［教你审题］思路1根据选项逐个进行排除.

思路2将模的运算转化为数量积的形式进行分析.

［一般解法］(排除法)选项A,若b=-a,则等式la+bl=lal—。I成立,显然a_L

b不成立；

选项B,若a_Lb且卬=161,则团一团=0,显然，la+Z»l=V2lal^0,故la+B

=lal—61不成立；

选项D,若b=a,则lai一心1=0,显然，la+加=2lalW0,故la+ZH=kzl一则不成

立.

综上，A,B,D都不正确，故选C.

［优美解法］(数量积法)把等式1«+加=团一团两边平方，得(a+勿2=(卬一则心，

即2a仍=-2lal•协I,而a力=lallblcos(a,b),

所以cos(a,b)=-1.又因为〈a,b)G［0,TT］,

所以〈a,b)=兀，即a,〃为方向相反的共线向量.故C正确.

［答案］C

［反思］在高考结束后，了解到部分学生做错的主要原因是：题中的条件'%+

b\=\a\-\b\,,在处理过程中误认为“la+AI=la-〃”，从而得到，_LZ>”这个

错误的结论.

【试一试】在△OAB中，OA=a,OB=b,。。是AB边上的高，若布=施,

则实数2=().

a(a-b)a(b—a)

A

'kz-61B.1a一加

a(a—b)a(b-a)

「。kz—席Dla-fel2

解析由Q)=施，.-.\AD\=MAB\.

rfa(a-b)—b)

又.••■DLSAE•奇力

\b-a\

由=族-H,.•"=卢=七守•故选C

-al\a-b\

答案c

。4工限时规范训练阶梯训练能力提升

对应学生

-265-

A级基础演练（时间：30分钟满分：55分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.（2013•合肥检测）已知。是aABC所在平面内一点，。为3C边的中点，且2近

+OB+OC=0,那么（）.

\.AO=ObB.Ab=2OD

C.AO^3dbD.2AO=db

解析由2晶+B+历=0可知，。是底边BC上的中线AO的中点，故左）=

0D.

答案A

2.30OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且四边形ABCD为平行四边形，则（）.

A.a—b~\~c—d=0B.a—b-c+d=0

C.a-\~b—c—d=0D.a+〃+c+d=0

解析依题意，得蕊=反，故筋+诙=0,即为-S1+丽-db=o,即有

OA-OB+OC-db=0,则a-z»+c-d=o.选A.

答案A

3.已知平面上不共线的四点。,A,8,C.若用1+2沅=3成，则心的值为（）.

—►

\AB\

A.4B.TC.4D.T

2340

解析由晶+2庆=3访，得以1-仍=2成-2浣，^BA=2CB,所以加=

IABI

].故选A.

答案A

4.（2011.山东）设4,%，A，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若公酒3=

A47A2（2GR）,4滔4=〃4/2（//金咫，且1+1=2,则称As，A4调和分割4，A2.

A〃

已知平面上的点C,。调和分割点4,B,则下列说法正确的是（）.

A.C可能是线段AB的中点

B.。可能是线段A8的中点

C.C、。可能同时在线段A8上

D.C、。不可能同时在线段A8的延长线上

解析若A成立，则％而1=0,不可能；同理B也不可能；若C成立，

则且1+->2,与已知矛盾；若C,D同时在线段48的

延长线上时，Z>1,且〃>1,1+-<2,与已知矛盾，故C,D不可能同时在

线段A8的延长线上，故D正确.

答案D

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.（2013.泰安模拟）设a,》是两个不共线向量，AB^2a+pb,BC=a+b,CD=a

~2b,若A,B,。三点共线，则实数p的值为.

解析•.BD-BC+cb=2a-b,又A,B,。三点共线，

••・存在实数九使筋=2访.

2=22,

即彳,-'-/?=_1.

[p=-A,

答案T

6.如图，在矩形ABCO中，筋1=1,\AD\=2,设靠=

BC=b,BD=c,则la+〃+cl=

解析根据向量的三角形法则有la+5+cl=1初+

+BD\=\AB+BD+AD\=\AD+AD\=2L4DI=4.

答案4

三、解答题(共25分)

7.(12分)如图，在平行四边形0A中，设晶=a,OB^BD

b,BM^BC,丽试用a,〃表示血，和及血.

'0A

解由题意知，在平行四边形。AD8中，丽/=|比=1谟

JO

1一一111

=4(0A—OB)=%(a—方)=&a—^b,

则(5^/=油+盛=》+Ja—

oooo

<W=|db=|(dA+(?B)=|(a+/>)=|a+|z>,

MN=0N—dM=^a+b)—^a—^b—^a—^).

8.(13分)(1)设两个非零向量ei，e2不共线,如果油=2e1+3e2,BC=6ei+23e2,

Cb=4ei-8e2,求证：A,B,。三点共线.

(2)设e”02是两个不共线的向量，已知筋=2ei+ke2，CB=ei+3e2,CD=2e\

~e2,若A,B,。三点共线，求女的值.

(1)证明因为病=6ei+23e2，CD=4el-8e2,

所以前>=病+诙=10ei+15e2.

又因为筋=2e1+3e2，得丽=5筋，即诙〃筋，

又因为脑，而有公共点B,所以A,B,。三点共线.

(2)解。万=昂一Gb=ei+3e2-2ei+e2=4e2-ei，

AB=le\+ke2,

若A,B,。共线，则施〃。于，

一.一[-1—2/.,

设08=148,所以〈=>女=-8.

[4=M

B级能力突破（时间：30分钟满分：45分）

一、选择题（每小题5分，共10分）

1.（2013.济南一模）已知A,B,C是平面上不共线的三点，。是△ABC的重心，

动点P满足办=1］；/+3为+2不?），贝欣P一定为三角形ABC的（）.

A.AB边中线的中点

B.AB边中线的三等分点（非重心）

C.重心

D.A8边的中点

解析设A3的中点为加，则3万1+gm=砺，.•・沃=；（（加+2次）=g曲+

|OC,即而+2反，也就是加=21，，P,M,C三点共线，且P是

CM上靠近C点的一个三等分点.

答案B

2.若点”是△ABC所在平面内的一点，且满足5麻/=盛+3而，则△48M与4

48c的面积比为（）.

1234

A.gB.gC.；D.g

解析设AB的中点为。，由5启=福+3病，得3病A

-3危=2病-24而，即3说=2通.如图所示，故。，/\\

M,。三点共线，且丽=］诙，也就是△4创/与4

ABC对于边A8的两高之比为3：5,则△48M与4

ABC的面积比为|,选C.

答案C

二、填空题（每小题5分，共10分）

3.若点。是△A8C所在平面内的一点，且满足I丽一衣1=1成+近一2^I,则

△ABC的形状为.

解析OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC,

OB-OC=CB=AB-AC,+AC\=\AB-AC\.

故A,B,C为矩形的三个顶点，aABC为直角三角形.

答案直角三角形

4.如图所示，在△ABC中，点。是8C的中点.过点。的直

线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若筋=〃?刀力,

AC=nAN,则m+〃的值为.

解析。是5c的中点，

•,・尼=；（筋+病）.

X'-'AB=mAM,AC=nAN,AO=^4A7+3病.

VYlfl

'''M,O,N三点共线，.1.y+2=则机+〃=2.

答案2

三、解答题（共25分）

5.（12分）如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N,C

使得AN=gAC,在AB上取一点M,使得^8

1Q

在8N的延长线上取点P,使得NP=^BN,在CM的

延长线上取点。，使得必0=2而时，AP=QA,试确定力的值.

解"：AP=NP-NA=^BN~CN）^（BN+NC）=^BC,QA=MA-MQ^BM

+AMC,

即.,.2=g.

6.（13分）已知点G是△A3。的重心，M是AB边的中点.

⑴求以1+强+出）；

（2）若PQ过△A3。的重心G,且Sl=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证：

⑴解,：GA+GB=2GM,又2端=一而,

：.(^+GB+Gb=-Gb+Gb=O.

(2)证明显然而=/+方).因为G是△A3。的重心，所以花加=g(a

+b).由P,G,。三点共线，得两〃的，所以，有且只有一个实数人使历

=2曲.

而用=%一次=((4+))-〃?”=仔_相)+|/>,

———11(n

GQ=OQ—OG—nb—^(a+b)=-ja+\n—^\b,

所以《―

又因为a,万不共线，所以

消去九整理得3〃2〃=加+〃，故,+1=3.

mn

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第2讲平面向量的基本定理及向量金向运算

【2014年高考会这样考】

1.考查应用向量的坐标运算求向量的模.

2.考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算.

3.考查应用向量的垂直与共线条件，求解参数.

013抓住4个考点必考必记夯基固本

对应学生

-T2-

考点梳理

1.平面向量基本定理

前提：e”e,是同一个平面内的两个不共线向量.

条件：对于这一-平面内的任，-向量a,有且只有一对实数小，22满足a=k\e\

+』202.

结论：不共线的向量幻，62叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的坐标表示

(1)向量的夹角

①定义：已知两个非零向量a和方，如右图，作OB=b,则NA08=

QOWW180。)叫做a与方的夹角.

②当。=0。时，a与/>共线同向.

当0=180。时，a与。共线反向.

当。=90。时，a与b互相垂直.

(2)平面向量的正交分解

向量正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量.

⑶平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为

基底，对于平面内的任一向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+W.这

样，。可由x,y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a

=(x,丫).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做。在y轴上的坐标.

(4)规定

①相等的向量坐标相等,坐标相等的向量是相等的向量:

②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其

相对位置有关系.

3.平面向量运算的坐标表示

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a=(x”力),b=(xi，yi),则

a+/>=(xi+x2，yi+y2)，a一1=(占—必，yi—丫2)，"=(=i，如),lal=^/xF+ji-

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(xi，y),8(x2，/)，则检=(X2—xi，丫2-丫1)，L4SI=^/(X2—Xi)2+(j2—Ji)2.

4.平面向量共线的坐标表示

设a=(x”yi),b=(xz，>2)，其中5HO,a〃Z>=xiy2~~小丫|=0.

【助学・微博】

两点提醒

(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完

全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.

(2)若a=(x”力)，万=(孙儿)，则a〃方的充要条件不能表示成”因为如

%2yz

>2有可能等于0，应表示为X32-尤M=0.

三个结论

(1)若a与分不共线，+///>=0,则％=〃=0.

⑵已知万1=2油+〃浣(九〃为常数)，则A,B,C三点共线的充要条件是人

+〃=1.

(3)平面向量的基底中一定不含零向量.

考点自测

1.(2012.广东)若向量函=(2,3),以=(4,7),则%=().

A.(—2,—4)B.(2,4)

C.(6,10)D.(-6,-10)

解析由于或=(2,3),CA=(4,7),那么说'=或+/=(2,3)+(-4,-7)=(-

2,-4).

答案A

2.(2013•湘潭调研)已知向量a=(4,尤)"=(—4,4),若。〃4则x的值为().

A.0B.4C.-4D.±4

解析若aMb,则有4X4+4x=0,解得x=-4.

答案C

3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(­l,一2),。(3,1),且虎=2疝,

则顶点D的坐标为().

A©，B.(2,T)

C.(3,2)D.(1,3)

解析设。(x,y),AD=(x,y-2),BC=(4,3),

0A=_=T2v,1

又就=屈，.,•〈’7故选A.

[3=23-2),[y=2.

答案A

4.(2012•重庆)设x,yGR,向量a=(x,l),4=(1,y),c=(2,—4),H.a_Lc,

b//c,则kz+bl=().

A.小B，VWC.2小D.10

⑵-4=0,[x=2,

解析由题意可知，\解得〈故a+)=(3,-1),\a

I-4-2j=0,[y=-2,

+b\=y[ib,选B.

答案B

5.(2012北京)已知向量a="5,1),b=(0,—1),c=(k,5).若a—2b与

c共线，贝1JA=.

解析a-2b=3),因为。-2/＞与。共线，所以左=芈，4=1•

答案1

。2»突破3个考向研析案例考向突破

对应学生

-73

考向一平面向量基本定理及其应用

【例1】A

如图，在平行四边形48CQ中，M,N分别为DC,8C的中点，已知而=c,

AN=d,试用c,d表示筋，AD.

［审题视点］直接用c,d表示筋，Ab有难度，可换一个角度，由筋，病表示

AN,AM,进而求筋，AD.

解法一设筋=a,AD=b,

b=AM+MD=c+1一呼)②

将②代入①得a=d+(—§c+卜5)

:.a=gd—|c=|(2rf-c),代入②

得b=c+(—T)c)=,(2c—d).

・••施='(2J—c),AD=^2c—d).

法二设施=eAD=b.

因V,N分别为CO,BC的中点，所以丽DM=^a,

(,.1

c—b+^a,.c)，

因而《

今《

2

yd=a+^bb—^2c—d),

2_►2

BPABt=~2（2d—c）,4Z）=w（2c—d）.

方法银囊”应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三

角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的

作用.当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的.

【训练1】

如图，平面内有三个向量以，OB,0C,其中与场的夹角为120°,温与沅

的夹角为30°,JLldAI=IOBI=l,1历1=25，若沆=2晶+〃协（九〃GR）,

则/.+/.!的值为.

解析

B

AA'

如图，以物，为为一组基底，将沆在晶，彷方向上分解，得RtaOCA',

其中0。=2的，ZOCA'为直角，ZCOA=30°,则OA1=4OA,OB'=20B,

即2=4,〃=2,所以2+4=6.

答案6

考向二平面向量的坐标运算

【例2】》已知4(一2,4),8(3,-1),C(-3,-4),且改=3为，CN=2CB.

求M,N的坐标和疝.

［审题视点］求名，通的坐标，根据已知条件列方程组求M,N的坐标.

解VA(—2,4),3(3,-1)>C(—3,—4),

/.C4=(l,8)»巾=(6,3).

.,.CM=3C4=3(1,8)=(3,24),CN=2CB=2(6,3)=(12,6).

设y),则加=(x+3,y+4).

x+3=3,x=0

/.M(0,20).

y+4—24,J=20.

同理可得N(9,2),...加=(9-0,2—20)=(9,—18).

方法锦索》解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的

特点.一般地，已知有向线段两端点的

坐标，应先求出向量的坐标.解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)

建立方程(组)的思想.

］3

【训练2】(1)已知平面向量a=(l,1),5=(1,—1),贝IJ向量于一/=().

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)

⑵在平行四边形A8C。中，AC为一条对角线，若筋=(2,4),危=(1,3),则两

=().

A.(—2,—4)B.(—3,—5)

C.(3,5)D.(2,4)

解析⑴5=(1,g,|H|,一|),

故5-|/>=(-1,2).

(2)由题意得防=疝-AB=BC-AB=(AC-AB)-AB=AC-2AB=(1,3)-

2(2,4)=(-3,-5).

答案(1)D(2)B

考向三平面向量共线的坐标运算

【例3】》平面内给定三个向量。=(3,2),6=(—1,2),c=(4,l),请解答下列问

题：

(1)求满足。=〃力+〃c的实数〃?，n；

(2)若(a+Zx)〃(2Z>—a),求实数k.

［审题视点］(1)向量相等对应坐标相等，列方程解之；(2)由两向量平行的条件

列方程解之.

解(1)由题意得(3,2)="(―1,2)+〃(4,1),

5

小=§,

—m+4n=3,

所以得

2m+〃=2,8

〃=§.

(2)a+Ar=(3+4匕2+Z),2b—a=(—5,2),

•；(a+&c)〃(2b—a)9

，2X(3+4k)—(—5)(2+%)=0,：.k=~^.

方法母重A(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为

及QER),然后结合其他条件列出关于2的方程，求出2的值后代入初即可得

到所求的向量.

⑵如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a=(xi，%),b=

(X2»/2)，则a"》的充要条件是X'2=烟1"解题比较方便.

【训练3】(1)在平面直角坐标系xOy中，四边形A8CD的边48〃OC,AD〃

8C已知点4一2,0),8(6,8),C(8,6),则。点的坐标为.

(2)已知向量a=(m,—1),5=(—1,—2),c=(—1,2),若(a+b)〃c,贝ijm=

解析⑴由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD

是平行四边形.

设Z)(x,y),则有初=反，

即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,理

解得(x,y)=(0,-2),即。点的坐标为(0,-2).

(2)由题意知a+力=(〃?-1,-3),c=(-1,2),由(a+Z>)//c,得(-3)义(-1)-

(m-1)X2=0,所以〃?=,.

答案(1)(0,—2)(2)|

03二揭秘3年高考权威解变真题展示

对应学生

~74~

方法优化7——“多想少算”解决平面向量运算问题

【命题研究】通过近三年高考试题分析，可以看出高考对本部分内容的考查

主要是向量的运算，意在考查考生计算能力和利用化归思想解决问题的能

力.以选择、填空题的形式出现，一般难度不大，属容易题.

【真题探究】》(2012.安徽)在平面直角坐标系中，点0(0,0),P(6,8),将向最OP

绕点。按逆时针方向旋转,后得向量而，则点Q的坐标是().

A.(一7亚，一也)B.(一7亚，V2)

C.(-4^6,-2)D.(-476,2)

［教你审题］思路1利用向量的夹角公式和模长公式结合待定系数法求解.

思路2利用旋转角求解.

思路3排除法、验证法相结合求解.

［一般解法］法一设点。的坐标为(x,y),由题意知：I而1=1加川36+64=

10.

又：\0Q\=y［7+^=\Q,

二/+『=］(J。①

•.•向量而与由的夹角为（兀，且点。在第三象限,

.3刈•丽(X,y>(6,8)6x+8y_仍

,，C0S产历M的J]°xio=FF_2-

.,.6x+8y=-50Vl②

X=yJ^2yx=—7吸,

由①②得，或，

)=一7啦J=一隹

又•点。在第三象限，.••点。的坐标为（一7也，-V2）.

法二

3

设Nxop=e,则由题意知：NxOQ=；7i+e（如图所示），设点。的坐标为a，

y）-

••,点尸的坐标为（6,8）,

...海=(6,8),且1成1=10,

」.cos54..84

sin^=10=5-

则

.334

sinl/9+^Jt=sin9cosz兀+cos8sin[兀=§X

又:破1=而=10,

.•.点。的坐标为（一7也，一让）.

［答案］A

［优美解法］画出草图，可知点。落在第三象限，则可排除B、D,代入A,cos

,6X（—7也）+8X（一也）-50V2-72rriu,3兀小、一

ZQOP=62+S2=_fog~2-，所以NQ0P=7•代入C,

6X（—4a）+8X（—2）—24a—16一—

cosNQOP_^2_1_g2一।QQ彳2，故选A.

［答案］A

［反思］本题学生容易列二元二次方程求解，陷入繁杂的运算，优美解法中体现

了“多想少算”的命题原则，因此在解题前一定要注意审题.

【试一试】（2011•上海）设4”A2,A3,4,A5是空间中给定的5个不同点，

则使疝i+向2+忘3+加4+肱45=0成立的点M的个数为（）.

A.0B.1C.5D.10

解析法一（特值法）：不妨取4、42、43、4分别是正方形的顶点，As为正

方形对角线的交点.仅当例为4时满足疝1+忘2+庇3+庇4+必5=0.故

选B.

法二设M（x,y）,Ai（Xi，%）（i=123,4,5）,

-------A5-------A

则MA,=（4一工,X—y）,由2MA；=0得

r-1

工1+冗2+冗3+X4+-=0,

（为+以+为+丁4+乃-5y=0,

X=+X2+冗3+工4+冗5），

即1

［y=+>2+为+%+力）.

故点"的个数为1.选B.

答案B

041限时规范训练阶梯训练能力提升

对应学生

-267~

A级基础演练（时间：30分钟满分：55分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.设平面向量。=（3,5）,6=（-2,1）,则。-2，=).

A.(6,3)B.(7,3)C.(2,1)D.(7,2)

解析a-26=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).

答案B

2.已知平面内任一点。满足街(x,yWR),则“x+y=l”是“点P

在直线A8上”的().

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析根据平面向量基本定理知：0P=xOA+yOB(x,y€R)且x+y=1等价于

P在直线AB上.

答案C

3.(2013•金华模拟)设向量a=(l,-3),)=(—2,4),c=(T,—2),若表示向量

4a,48—2c,2(a—c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为

().

A.(2,6)B.(-2,6)

C.(2,-6)D.(-2,-6)

解析设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,

-2),又+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,

-6).故选D.

答案D

4.已知向量a=(l,2),方=(l,0),c=(3,4).若2为实数，(a+劝)〃c,则2=().

B.1C.1D.2

解析依题意得。+"=(1+九2),

由®+劝)//c,得(1+2)X4-3X2=0,.-.2=1.

答案B

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.(2013•杭州模拟)若三点4(2,2),5(a,0),C(0,与(M士0)共线，则5+(的值为

解析AB=(a-2,-2),AC=(-2,6-2),依题意，有(〃-2)S-2)-4=0,

111

-

即O--

2aa82

1

答案-

2

6.已知A(7,l),8(1,4),直线>=手次与线段45交于C,HAC^2CB,则实数a

解析设C(x,y),则4c=(》-7,y-1),C5=(1-x,4-y),

x-7=2(1-x),x=3,

­.'AC=2CB,解得

J-1=2(4-y),J=3.

••.C(3,3).又在直线y=上,

「-3=*3,=2.

答案2

三、解答题(共25分)

7.(12分)已知a=(l,2),7=(—3,2),当1为何值时,①+6与“一3。平行？平行

时它们是同向还是反向？

解法一ka+b=k(l,2)+(—3,2)=(k—3,2k+2),

a—3Z>=(1,2)—3(—3,2)=(10>—4),

当履+Z>与a—35平行时，存在唯一实数/使ka+方=2(a—3A),由(女一3,24+

2)=z(10,一4)得,

-3=103

解得z=/l=_g,

2k+2=-42.

・,•当％=-g时，ka+b与a—3b平行,

这时ka+b=—^a+b=-^(a—3b).

；v0,.\ka~\rb与a—3b反向.

法二由法一知ka+b=(k-3,2k+2)9

a—3ft—(10,—4),•：ka+b与a—3b平行

.•./-3)X(-4)—10X(2Z+2)=0,解得人二一提

此时ka+b=(_；_3,—1+2^——1(a—3Z>).

二当左=—g时与a—3b平行，并且反向.

8.(13分)已知。(0,0),4(1,2),仇4,5)及流=为+福，求：

(l)f为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

(2)四边形0ABp能否成为平行四边形？若能，求出相应的f值；若不能，请说

明理由.

解(1)种=醇+凝=(l+3f,2+3f).

2

若尸在x轴上,则2+3f=0,