沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第17讲 一模复习之平面向量与相似三角形(解析版)

W平面向量与相似三角形

内容分析

在九年级数学上学期第一章中，我们学习了相似三角形和平面向量的线性运

算两个方面的内容，这两部分的知识点是一模考中的重点部分，除去填空题和选

择题，在大部分区县的解答题中，相关分值大约在20分~30分，题型分布为1题

关于向量的，1-2题关于相似三角形，位于解答题19题~23题之间，也是同学们

必须要取得满分的题目.我们整理了近两年解答题中的相关题目，希望同学们勤

加练习.

知识结构

模块一：平面向量

考点分析

平面向量主要考查向量加法、实数与向量相乘的有关规律，以及向量的线性运算和化

简.难点是向量的线性表示.

例题解析

【例1】（2015学年•杨浦区一模•第19题）如图，已知两个不平行的向量£、b.

先化简，再求作：（5友+36）-（5万+5）.

（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

【答案】-a+2b,图略.

j_3_1_3_

【解析】(—a+3b)—(—a+b)——a+3b—a—b

2222

=­a+2b

如图，分心即为所求.

【总结】本题考查了向量的线性组合及作图.

【例2】（2015学年•闸北区一模•第21题）如图，已知平行四边形A8CD的对角线相交于点

。，点E是边BC的中点，联结。E交AC于点G.设莅=1,DC=b.

（1）试用1、5表示向量oc；

(2)试用M、5表示向量。G.

1191

【答案】(1)OC=-a+-b^(2)DG=-b——a；

2233

八——.1—.1一1一

【解析】⑴OC=-AC=-a+-b；

222

—•一1一

(2)DE=b——a,

—>2—►2-

二.DG=—DE=—b—a.

333

【总结】本题考查了向量的线性组合及三角形一边平行线的性质定理的运用.

【例3】（2014学年•长宁区一模•第20题）如图，已知。为AABC内的一点，点。、E分别

2/29

AD1AE

在边A3、AC上，且一=-—・设OB=m,OC=n,试用m,n表示DE.

DB3AC4

【答案】—n--m.

44

"•治

：.DEHBC,

OB=m,

:.DE=-BC=

444

【总结】本题考查了向量的线性组合及三角形一边平行线判定定理及性质定理的综合运用.

【例4】（2015学年•徐汇区一模•第21题）如图，在AABC中，点。、E分别在边A3、AC

An3

上，——=—，AE=3,CE=1,BC=6.

AB4

（1）求DE的长；

（2）过点。作。尸〃AC交3C于R设砺=£,BC=b,求向量而（用向量2、B表

示）.

9—.11一

【答案】（1）DE=-(2)DF=-a+-b.

244

【解析】(1)VAE=3,CE=1,-

AC4

十AD3.AEADDE

乂----=一：.DE//BC,

AB4ACABBCAB

即D把F=士3，解得:

64

,DFBD又丝=3,DF

(2)VDF//AC,即ar=1AC；

ACABAB4AC44

*.*AC=a+b,・•・DF=-a+-b.

44

【总结】本题考查了向量的线性组合及三角形一边平行线的性质定理的运用.

【例5】（2015学年•普陀区一模•第19题）已知:如图,在梯形ABC。中,AD〃BC,AD=-BC,

3

点M是边BC的中点，AD=a,AB^b.

(1)填空：BM=,MA=.(结果用a、B表示)

(2)直接在图中画出向量2£+B.(不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量)

___.3—-.

【答案】(1)BM=-a；MA

2

3__.

【解析】(1)BM^-a；MA

2

(2)如图，通即为所求.

【总结】本题考查了向量的线性组合及作图.

【例6】(2015学年•崇明县一模•第20题)已知：如图，口N8C。中，E是中点，BE交

AC于点E设丽=£、W=b.

(1)用加B的线性组合表示所；

(2)先化简，再直接在图中求作该向量：(-，a+B)—(a+,B)+(9o+」B).

2424

【答案】(1)FA^-a--b；(2)原式=£+九图略.

33

【解析】⑴丽=州=*手；

(2)化简得：原式=W+B,

如图，而即为所求.

【总结】本题考查了向量的线性组合及化简与作图.

【例7】(2014学年•奉贤区一模•第21题)如图，在AABC中，AB=AC=12,DC=4,过

点C作CE〃AB交8。的延长线于点E,AB=a,BC=b.

4/29

（1）求5石；（用向量。、B的式子表示）

（2）求作向量工丽+/.（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

2

—>—>1

【答案】（1）BE=b——a；（2）略.

2

AriAD

【解析】（1）*：CE//AB,：.——二——.*：AB=AC=12,004,：.AD=8.

DCCE

.CE_4_1

：.AB=2CE.

「AB-8-2

———1-->

*.*AB^a,：.CE=——a,BE=

2

（2）如图，/即为所求.

【总结】本题考查了向量的线性组合及作图.

【例8】（2014学年•浦东新区、杨浦区、闵行区、松江区、静安区、青浦区一模•第20题）

如图，已知在AABC中，AD是边上的中线.设丽=6,BC=b.

（1）求AD（用向量a、B的式子表示）；

（2）如果点E在中线AD上，求作而在丽、前方向上的分向量.（不要求写作法,

但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）

【答案】（1）AD=-a+-b-,（2）略.

2

【解析】（1）\'BD=CD,BC=b,：.BD=-b.

2

AD=AB+BD,BA=a,AD=—aH—b；

2

（2）向量旃、旃是向量曲分别在丽、或方向上的分向量.3

【总结】本题考查了向量的线性组合以及求一个向量的分向量.

【例9】（2015学年•闵行区一模•第21题）如图，已知四边形A3CZ）中，点尸、Q、R分别

是对角线AC、8。和边AB的中点，设就=£,AD=b.

（1）试用£、B的线性组合表示向量而；（需写出必要的说理过程）

（2）画出向量画分别在£、B方向上的分向量.

【答案】⑴理=荻-；£；(2)略.

【解析】(1):点P、。、R分别是对角线AC、和边A3的中点,

：.PR//BC,PR=LBC,RQ/7AD,RQ=-AD.

22

VBC=a,AD=b,

.―-1---1-

・・RP=—tz,RQ=—Z?,

PQ=RQ-RP=^b--a-,

B

(2)取CD中点/

则向量加、而分别为向量也分别在入B方向上的分向量.

【总结】本题考查了三角形中位线的运用以及作已知向量的分向量.

6/29

模块二：相似三角形

⑥）考点分析

相似三角形主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，以及其综合

应用.难点是灵活运用相关定理解决有关问题.

例题解析

【例10】（2015学年•浦东新区一模•第21题）如图，梯形旗CD中，AD〃BC,点E是边AD

的中点，联结3E并延长交C。的延长线于点F,交AC于点G.

（1）若用＞=2,空=L求线段DC的长；夕

BC3

(2)求证：EF-GB=BF,GE.

【答案】（1）4；（2）略.

.DEFD

【解析】（1）,：AD//BC,

"BC~FC

12

.---=—,,・一=,

BC33FC

：.FC=6,ADC=6-2=4；

(2)-：AD//BC,—

BCFBBCGl

E是AD中点，AE=DE,

.FEEG

••---=---,

FBGB

：.EF・GB=BFCE.

【总结】本题考查了三角形一边平行线性质定理的运用.

【例H】（2014学年•徐汇区一模•第22题）如图，经过AABC的顶点A,MN//BC,

AM=AN,MC交48于。，N8交AC于E.

（1）求证：DE//BC；

（2）联结。E,如果。E=l,8c=3,求MN的长.

【答案】（1）略；（2）3；

AMAnAN_AE

【解析】（1）证明：•:MN〃BC,：.——=——

BCDBBC-EC

AFAD

U：AM=AN,：.—：.DE//BC；

ECnF

/\••pi，--//nzr—1厂—a•DE_AD_AE_1

(2)•DE//BC,DE—1,BC—3.••---=---=---=—

BCABAC3

.AD_AE_1.ANAE_1

’•拓一法一万*BC-EE-2

3

•\AN=AM=—,:.MN=3.

2

【总结】本题考查了三角形一边平行线性质定理的运用.

【例12】（2014学年•虹口区一模•第21题）如图,在A4BC中，点。在边AC上，AE分别

AF_DF

交线段8。、边BC于点八G,Z1=Z2,

EF-BF

求证：BF2=FG.EF.

【答案】略.

DF

【解析】—:.AD//BE,

EFBF

:.ZE=Z1=Z2.

又ZBFG=ZEFB,/.ABFGsAEFB,

FGBF

BF2=FG,EF.

BF~EF

【总结】本题考查了三角形一边平行线判定定理及其相似三角形性质的综合运用.

【例13】（2015学年•崇明县一模•第21题）如图，已知ADHBEHCF,它们依次交直线乙,

DF2

/2于点A、B、。和点0、E、F,——=-,AC=14.

EF5

8/29

(1)求A3、8C的长；

(2)如果">=7,CF=14,求8E的长.

【答案】⑴48=4,BC=10；(2)BE=9.

岳

Lr角牛ICl)••AO。////nBrE////rCrF,•••■-_.D....E..—_2—，・.・AB—_—2.

BCEF5AC7

AC=14,JABM,JBC=14-4=10；

(2)过点A作AG〃。尸交BE于点〃，交C尸于点G

又AD//BE//CF,AD=7,AD=HE=GF=7.

VCF=14,JCG=14-7=7.丁BE//CF,-

CGAC7

:・BH=2,.*.BE=2+7=9.

【总结】本题考查了平行线分线段成比例的性质定理的运用.

【例14】(2015学年•虹口区一模•第21题)如图，DC//EF//GH//AB,AB=12,CD=6,

DE:EG:GA=3:4:5.求EF和GH的长.

【答案】EF=—,GH=—.

22

【解析】过点。作C3的平行线，分别交GH、A3于点/、J、K

U：DC//AB,：.KB=DC=6,：.AK=6.

.顼DE

\'EF//AB.

99AK~DA'

DE3

•：DE:EG:GA=3：4：5,—

DA124

・2」

-6-4

「mGJ

司理：--

6

315719

.・.EF=—+6=——，GH=—+6=——.

2222

【总结】本题考查了平行线分线段成比例的性质定理的运用.

【例15】（2015学年•嘉定区一模•第20题）如图，已知A/WC中，AB>AC,BC=6,BC

边上的高4V=4,直角梯形DEFG的底在BC边上，EF=4,点。、G分别在

边AB、AC上，且DG//EF,G/_LEF,垂足为尸，设的长为x,直角梯形。EFG

的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域.

3

【答案】y=-7%2+5%(。<%<4).

DGAM

【解析】-.DG//BC,

BC-A7V

.DG4-X3(4-x)

...---=----,DG=

642

.产叱.（牛+跖）=一%2+5w。＜尤＜4）.

【总结】本题考查了相似三角形的性质以及梯形面积的综合运用.

【例16】（2015学年•普陀区一模•第22题）如图，已知有一块面积等于1200cn?的三角形

铁片ABC,已知底边BC与底边上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），

要把它加工成一个正方形铁片，使正方形的一边EF在边8c上，顶点。、G分别在

边48、AC上，求加工成的正方形铁片。EFG的边长.

【答案】24cm.

【解析】过点A作垂足为交。G于尸.

设正方形。£FG的边长是无CTM,AH=hcm,BC=acm.

由题意得：a*h=2400,a+h=1（X）.

:四边形DEFG是正方形，E尸在边3C上，

J.DG//BC,得△AOGSAABC.

由AH_L8C.得AP_LOG,即AP是AAOG的高.

•APDG

"：PH±BC,GFLBC,：.PH=GF,AP=AH-PH=AH-GF

.h-x尤叼/曰ah2400_,

--------解得：x=----------=-------=24.

haa+h100

答:加工成的正方形铁片DEFG的边长等于24cm.

【总结】本题考查了相似三角形的性质的运用.

【例17】（2014学年•金山区一模•第20题）如图，AABC中，PC平分NACB,PB=PC.

(1)求证：AAPCAACB；

(2)若AP=2,PC=6,求AC的长.

【答案】(1)略；(2)4.

【解析】（1）平分NACB,ZACP=ZBCS):

,:PB=PC,：.ZB=ZBCP,：.ZACP=ZB.

10/29

Vzi4=ZA,AAPCsAACB；

(2),?\APC\ACB,

•ACAP

*'AB-AC-

VAP=2,PC=6,M=8,

Z.AC2=ABAP^\6,：.AC=4.

【总结】本题考查了相似三角形的判定与性质的综合运用.

【例18】(2015学年•长宁区、金山区一模•第21题)已知AABC中，ZCAB=60°,P为AABC

内一点且NAPB=NAPC=120。，求证：AP2=BP-CP.

【答案】略.

【解析】；NAPB=NAPC=120。，

ZAPC=120°./\

yLZABP+ZAPB=ZCAP+ZAPB=6O°,

:.ZABP^ZCAP,BC

:.AABP=ACAP,

BPAP

,AP-CP，

即AP2=BP-CP.

【总结】本题考查了相似三角形的判定与性质的综合运用.

【例19】(2015学年•奉贤区一模•第23题)已知：在梯形ABC。中，AD//BC,ABLBC,

ZAEB^ZADC.

(1)求证：MDEsM)BC；

(2)联结EC,若CD2=A£>.3C,求证：ZDCE=ZADB.

【答案】略.

【解析】(1),JAD/7BC,：.ZADC+ZC=\^°,/ADB=/DBC.

'：2防+^4即=180°且々E2=^4OC,

B

NC=/AED，：.AAEDS/\DCB；

.ADDE

(2)'：AAED^ADCB,.,.ADBC^BDDE.

"~BD~~BC

.CDDE

,/CD2=ADBC,：.CD2=BD-DE，

"~BD^~CD

•：NCDB=/EDC,：.ADCB^ADEC,

；./DBC=/DCE,：./DCE=/ADB.

【总结】本题考查了相似三角形的判定与性质的综合运用.

【例20】（2015学年•普陀区一模•第23题）已知:如图，在四边形ABCD中，ZADB=ZACB,

延长AD、3C相交于点E,求证：

(1)MCEsmDE；

(2)BE.DC=AB.DE.

【答案】略.

【解析】(1),/ZADB+ZBDE=180,ZACB+ZACE=180,

又ZADB=ZACB,ZBDE=ZACE.

VZAEC=ZBED,:.AAECs八BED；

.DEBE.DECE

(2)。；△AECs△BED,

"~CE~~\E"~BE~~XE

VZDEC=ZBEA,：.△DECBEA.

.DCDE

:.BE・DC=AB+DE.

【总结】本题考查了相似三角形的判定与性质的综合运用.

【例21】（2015学年•虹口区一模•第23题）如图，点E是四边形ABC。的对角线8。上的一

点，ZBAE=NCBD=ZDAC.

(1)求证：DE*AB=BC・AE；(2)求证：ZAED+ZADC^0°.

【答案】略.

【解析】(1)'：ZBAE^ZDAC,：.ZBAE+ZEAC^ZDAC+ZEAC,

即NBAC=NEA。.

ZABC=ZABE+ZCBD,ZAED=ZABE+NBAE,

又,：/CBD=NBAE,：.ZABC=ZAED,:.LABCsLAED,

ABBC

：.DE-AB=BC・AE；

AEDE

12/29

ABACABAE

(2)V^ABC^AAED,

AE~AD即就一茄'

VZBAE=ZDAC,：.AABE^^ACD,：.ZAEB=ZADC.

VZAED+ZAEB=180°,ZAED+ZA£>C=180°.

【总结】本题考查了相似三角形的判定与性质的综合运用.

【例22】（2015学年•徐汇区一模•第23题）如图，在AAC3中，AC=3C,点。在边AC上,

AB=BD,BE=ED,S.ZCBE=ZABD,DE与CB交于点尸.

求证：(1)BD2=AD.BE；(2)CD.BF=BC・DF.

【答案】略；

【解析】(1)VAC=BC,：.ZA=ZABC；

,?BE=ED,：.ZBDE=ZDBE；

,/NCBE=ZABD,，Z.CBE+ZCBD=ZABD+NCBD,

即ZDBE=ZABC,•*.ZBDE^ZA,•*.ABEDsABC4；

AB=BD,；.ZA=ZBDA；ZBDA=ZABC；

又•*.A4BDABG4,•*.AS£DAADB；

—即班P=ADBE；

BDBE

(2)AABDNBCA,：.ZABD=AC.又NCBE=ZABD,：.ZCBE=ZC.

：.AC//BE,=—.；sABC4,ZE=ZC,—=—=1.

BEEFBCAB

：.ZE=ZCBE,：.BF=EF.又BE=BC,,即。・5尸=3。。尸.

BCBF

【总结】本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质的综合运用.

【例23】（2015学年•静安区一模•第23题）已知：如图，在AABC中，点。、E分别在边BC、

AB上，BD=AD=AC,AD与CE相交于点F,AE2=EF.EC.

(1)求证：ZADC=ZDCE+ZEAF；

(2)求证：AF.AD=AB.EF.

【答案】略.

【解析】(1),:AE?=EFEC,：.笠=匹.

EFAE

又ZAEF=ZCEA,：.&AEFs△CEA.

：.ZEAF=ZECA,'：AD=AC,：,ZADC=ZACD,

：.ZACD=ZDCE+ZECA=ZDCE+ZEAF；

(2)VAA£F^AC£A,AZAEC=ZACB.

AFFF

"：DA=DB,：.ZEAF=ZB.：./\EAF^/\CBA,：.—=—

BAAC

AFFF

'：AC=AD,：.—=——，/.AFAD^ABEF.

BAAD

【总结】本题考查了相似三角形的判定与性质的综合运用.

【例24】（2014学年•浦东新区、杨浦区、闵行区、松江区、静安区、青浦区一模•第23题）

己知：如图，。是AABC的边AB上一点，DE//BC,交边AC于点E,延长。E到点

F,使得EF=DE,联结BF,交边AC于点G,联结CF.

z.x七工

(1)求证：——=——EG

ACCG

(2)CF2=FG.FB,求证：CG・CE=BC*DE.

【答案】略.

【解析】(1)-：DE//BC,=—,—.

ACBCCGBC

'：EF=DE,—

ACCG

FGCF

(2)VCF2=FGFB,：.——=——.VZCFG=ZBFC,••.△CFGsABFC.

CFFB

CFFF

：.ZFCG=ZFBC.,:DE〃BC,：.ZFEC=ZECB.AACEF^ABCG.——二——

BCCG

CFDF

而EF=DE,：.——=——.:.CGCE=BCDE.

BCCG

【总结】本题考查了三角形一边平行线的性质定理及相似三角性质的综合运用.

【例25】（2014学年•普陀区一模•第23题）如图，已知在AABC中，NACB=90。，点。在

边上，CE±AB,CFLAD,E、尸分别是垂足.

(1)求证：AC2=AF-AD；

(2)联结EF,求证：AE・DB=AD-EF.

【答案】略.

【解析】(1)'：CF±AD,：.ZCFA^90.

•/ZACB=90°,ZACB=ZCFA.

ArAp

VZCAF=ZDAC,：.AACF^AADC,：.—=——,BPAC2=AF.AD；

ADAC

(2)同理得：AC2=AE-AB,

ApAp

■:AC2=AF.AD,:.AE^AB=AF^AD,:.一二一

ADAB

.AE_EF

V：

ZFAE=ZBAD,.AFAE^ABAD'•耘一访

14/29

【总结】本题考查了字母三角形的综合运用以及等积式与等比式的互化.

【例26】（2014学年•徐汇区一模•第23题）已知菱形A8C0中，AB=8,点G是对角线30

上一点，CG交8A的延长线于点?

（1）求证：AG2=GEGF；

（2）如果OG=！G5,且AG_LBb,求cosF.

2

【答案】（1）略；（2）6

【解析】（1）・・,四边形MCD为菱形，

AB//DC,AB=AD=CD,ZCDG=ZADG.

VDG=DG,：.ACDGAADG,:.ZDCG=/DAG,GC=AC.

VAD!IBC,：.ZF=ZDCG.：.ZF=ZDAG.

VZAGF=ZAGE：.AAGFAFGA,BPAG1=GEGF.

fAGGE

(2)VAB//DC,VDG=-GB,-

GBABGF2AFGF2

AG_I

•:AB=CD,GC=AC,：.AF=AB=8,

~GF~2

AG±BF,ZF=30.cosF=cos30=A/3-

【例27】（2014学年•闸北区一模•第23题）如图，已知等腰梯形ABCZ）中，ADIIBC,AD=

1,BC=3,A8=CO=2,点E在BC边上，AE与BD交于点、F,ZBAE=ZDBC.

（1）求证：AABE^ABCD；

（2）求tanNDBC的值；

（3）求线段8f的长.

【答案】（1）略；（2）—；（3）也.

27

【解析】（1）,・,等腰梯形ABCD中，AD//BC,：.ZABE=ZC.

：.BG=HC.

*：AD=l,BC=3,GH=1,

.\HC=(3-1)^2=1,BH=2.

J在放△HOC中,HD=yj22-]2=y/3,

:•在RtABHD中,tanZDBC=——二—

BH2

(3)•:AABEsABCD,A—=—

CDBC

4

又・.,3C=3,AB=CD=2,：.BE=-.

3

ADDF3

9：AD//BCAD=X,----------—

fBEBF4

又；BD=M+g2="

7

【总结】本题考查了相似三角形的性质及锐角三角比的综合运用.

【例28】（2015学年•宝山区一模•第23题）如图，。为A/WC边48上一点，且CZ）分AA5c

为两个相似比为1：豆的一对相似三角形.（不妨如图假设左小右大）

求：（1）ABCD与AACD的面积比；（2）AABC的各内角度数.

【答案】（1）1：3；（2）NA=30°,ZB=60°,ZC=90°.

【解析】⑴\•相似比为1：6,

...△8C。与△AC。的面积比为1：3；

(2)如图，ZADC>ZB(/ADONBCD),：.ZADC=ZCD^=90°.

斜边BC和AC为这对相似三角形的对应边.

若贝l]BC=AC,这样和BC：AC=1：+（相似比）矛盾.

ZBC£)=ZA,ZC=90°,

;在直角AA8C中，tanA=—=—,ZA=30°ZB=60°.

AC3

△ABC的各内角NA=30。，ZB=60°,ZC=90°.

16/29

【总结】本题考查了相似三角形性质的运用.

【例29】(2014学年•虹口区一模•第23题)如图，在而ACAB与RACEF中，

ZACB=ZFCE=90°,NCAB=NCFE,AC与EF相交于点G,BC=15,AC=20.

(1)求证：Z.CEF=Z.CAF(2)若AE=1,求AF的长.

【答案】(1)略；(2)24.

【解析】(1)'：ZCAB=ZCFE,y."：ZFGC=ZAGE,

FGCGFGAG

：AFGCs/XAGE,•___—___

AG~EGCG~EG'

又•；NAGF=NEGC,：./\AGF^/\EGC,

：.ZCEG=ZFAG,即/CEF=ZCAF；

(2)VZACB=ZFCE^90°,：.ZACF=ZBCE.:NCAB=NCFE,：.EB=ZCEF.

ACAF

"：ZCEF=ZCAF,：.ZCAF=ZB,：.AACF^ABCE,

BC-BE-

在放ACAB中，BC=15,AC=20,：,AB=25.

又*:AE=7,.\BE=18,,：.AF=24.

1518'

【总结】本题考查了相似三角形的判定与性质的综合运用.

【例30】(2014学年•宝山区一模•第24题)如图，正方形中，

GF

(1)E为边8C的中点，AE的垂直平分线分别交48、AE,CD于G、F、H,求一的值;

FH

(2)E的位置改为边8C上一动点，且上t=人,

EC

【答案】⑴-；(2)—.

3k+2

【解析】(1)延长AE交DC的延长线于M

,/E为正方形ABCD边BC的中点，

.AEBE,

..-----=-----=1.

EMEC

・・,GH为AE的垂直平分线，

.AF_1

：.AF=FE=-AE,

2*7M-3

.GFAF_1

9：AB//DC,

''FH-FM-3

AEBE7kk

(2)同理易知:--=---k：.AF：FM=-:(-+l),

EMEC22

轲限九

.GFAFk

FH~FM~k+l'

【总结】本题考查了三角形一边平行线的性质定理及垂直平分线性质定理的综合运用.

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随堂检测

【习题1】(2014学年•宝山区一模•第20题)如图已知M、N分别是平行四边形A8CO边

DC、5C的中点，射线AM和射线相交于设丽=£,AD=b,试用九B表

示用？，AE.

【答案】AN=a+—b；AE=a+2b.

2

【解析】AN=AB+BN=a+-b；

2

AE-AB+BE=a+2b.

【总结】本题考查了向量的线性组合.

【习题2】(2014学年•黄浦区一模•第19题)如图，已知两个不平行的向量2、b.

(1)化简：2^3a—b\—(a+b\^

(2)求作c,使得C=

2

(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)

【答案】(1)5a-3b；(2)略.

【解析】(1)原式=6〃-2万-〃-另二5。-3凡

(2)如图，而即为所求；

【总结】本题考查了向量的线性组合及作图.

【习题3】(2014学年•普陀区一模•第20题)如图，已知4)与5C相交于点O,

AB

O,

且丝=2.

CD3

（1）求型的值;

AD

（2）如果AO=4,请用a表示m.

25-

【答案】（1）(2)DA---CI.

52

.AOAB

【解析】(9：

1)AB//CD,••瓦一五，

..AB_2.AO_2.AO_2

•——，•・—••——；

CD3OD3,AD5

⑵.•丝=2.55►5—

♦―，••AD=-AO,JDA=——AO=——a

AD5222

【总结】本题考查了三角形一边平行线的性质定理及运用及向量的线性组合.

【习题4］（2015学年•崇明县一模•第20题）已知，□A8C。中，点E在。C边上，且DE=3EC,

AC与BE交于点尸.

（1）如果荏=£,AD=b,那么请用九B来表示乐；

（2）在原图中求作向量行在通、前方向上的分向量.

（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

__.4-4-

【答案】（1）AF=-a+-b；（2）略.

55

【解析】（1）,・,四边形A3CO是平行四边形,

J.AD//BC且AD=BC,CD//AB且CD=AB,：.BC=AD=b.

又AB=a,AC=AB+BC=a+b.,:DE=3EC,：.DC=4EC.

又•：AB=CD,：.AB=4EC.9：CD//AB,：.——=——=4,——=-,

CFECAC5

4—»4—►4--4f4-

AF^-AC,：.AF=-AC^-（a+b）^-a+-b；

55555

（2）如图，向量汨、标向量/在荏、正方向上的分向量.

【总结】本题考查了向量的线性组合及求作己知向量的分向量.

【习题5】（2015学年•杨浦区一模•第21题）如图，梯形A8CD中，ADIIBC,BC=2AD,

点E为边。C的中点，8E交AC于点?

求：（1）AP:PC的值；（2）EF:BF的值.AD

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B

3

【答案】（1）-

2

【解析】（1）延长3E交AD的延长线于点

•:ADHBC,：.些=皿，空=也.

ECBCFCBC

丁点E为边。。的中点，:.DM=BC,

,：BC=2AD,：.DM=2AD,：.AM=AD+DM=3AD,

.AF3AD3

,FC~2AD~2，

FMAM3EMDE

(2)'：AD//BC,：.—