2022年广西贵港市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

2022年贵港市初中学业水平考试试卷数学

（本试卷分第I卷和第n卷，考试时间120分钟）

注意：答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题都给出标号为4,B,C,D.的四个选项，其中只有一个是

正确的，请考生用25铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑）

1.-2的倒数是（）

1

A.2B.g1C.-2D.——

22

2.一个圆锥如右图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（）

A.主视图与俯视图相同B.主视图与左视图相同

C.左视图与俯视图相同D.三个视图完全相同

3.一组数据3,5,1,4,6,5众数和中位数分别是（）

A5,4.5B,4.5,4C.4,4.5D.5,5

4.据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到

28nm.已知=则28nm用科学记数法表示是（）

A.28xl(T9mB.2.8xl0-9mC.2.8xl0-8mD.2.8xl0-'0m

5.下例计算正确的是（）

A.2a—a=2B.a2+b2=a2b2C.(一2。)3=8/D.)2=优

6,若点A（a,-1）与点8（2力）关于），轴对称，则％的值是（）

A-1B.-3C.1D.2

7.若x=-2是一元二次方程/+2%+〃?=0的一个根，则方程的另一个根及〃?的值分别是（）

A.0,-2B.0,0C.—2，—2D.-2,0

8.下列命题为真命题的是()

A.y[^=aB.同位角相等

C.三角形的内心到三边的距离相等D.正多边形都是中心对称图形

9.如图，。。是cABC的外接圆，AC是。。的直径，点P在。。上，若NACB=40。，则N8PC的度数是

()

A.40°B.45°C.50°D.55°

10.如图，某数学兴趣小组测量一棵树CO的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45。，在点B处测得树顶C的

仰角为60°,且4B,力三点在同一直线上，若AB=16m,则这棵树CD的高度是()

A.8(3-G)mB.8(3+V3)mC.6(3-6)mD.6(3+g)m

11.如图，在4x4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若Z,A8C的顶点均是格点，则

A75RV10「26

--15.----L.----

555

12.如图，在边长为1的菱形A3CQ中，ZABC=60°,动点E在AB边上(与点A、B均不重合)，点

尸在对角线AC上，CE与即相交于点G,连接AG,。/，若AF=BE，则下列结论错误的是（）

A.DF=CEB.ZBGC=120°C.AF2=EGECD.AG的最小值为逆

3

第n卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题）

13.若J7T7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

14.因式分解：a3-a=______.

15.从-3,-2,2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是—.

16.如图，将二ABC绕点A逆时针旋转角a（0°<a<180。）得到_4）石，点8的对应点。恰好落在3c边上，若

DE±AC,ZCAD=25°，则旋转角«的度数是.

17.如图，在.ABCD中，AQ=2AB,NA4D=45。，以点A为圆心、4）为半径画弧交A8于点E,连接

3

CE,若AB=3B则图中阴影部分的面积是

18.已知二次函数y=ax2+4c+c（a/0）,图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（—2,0）,对称轴为直线

彳=一；.对于下列结论：①abc<0；②Z?2—4ac>0；@a+b+c-0；④am?+<；(a-2b)

（其中机。—g）；⑤若4（X[,y）和3（%,%）均在该函数图象上，且西〉龙2〉1，则%>为•其中正确结论的个

三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（1）计算：卜一石卜（2022—万）°+（—^J-tan60°；

‘2x-5<0①

（2）解不等式组：2X-45—工冷

1-----------4--------Q

I32

20.尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：

如图，已知线段机，儿求作二ABC，使NA=90°,AB=w,BC=〃.

m

in।

21.如图，直线AB与反比例函数旷=幺供>0,x>0）的图像相交于点A和点。（3,2）,与x轴的正半轴相交于点艮

X

（1）求人的值；

（2）连接OAOC,若点C为线段A8的中点，求△AOC的面积.

22.在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）科技兴趣（8）、民族体育

（C）、艺术鉴赏（。）、劳技实践（E）,每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期学生参加社团活

动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，请根据统计

图提供的信息，解答下列问题：

条形统计图扇形统计图

(1)本次调查的学生共有.人;

(2)将条形统计图补充完整;

(3)在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是.

(4)若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（。）活动的学生人数.

23.为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23

元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同.

（1）绳子和实心球的单价各是多少元?

（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各

是多少？

24.图，在一ABC中，NACB=90。，点。是A8边的中点，点。在AC边上，。。经过点C且与AB边相切于

AEDB

(1)求证：■是。。的切线；

4

(2)若BC=6,sinB=-,求。。的半径及0。的长.

25.如图，已知抛物线丁=一/+"+。经过40,3)和—两点，直线AB与x轴相交于点C,P是直线

AB上方抛物线上的一个动点，PD_Lx轴交A8于点D

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若PE〃x轴交于点E,求PD+PE的最大值；

(3)若以A,P,。为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点尸，点。的坐标.

26.已知：点C,。均在直线/的上方，AC与80都是直线/的垂线段，且8。在AC的右侧，BD=2AC,

A£)与8C相交于点。.

图1图2图3

AH

(1)如图1,若连接CD,则ABCD的形状为,——的值为；

AD

(2)若将5。沿直线/平移，并以为一边在直线/的上方作等边ADE.

3

①如图2,当AE与AC重合时，连接0E,若AC=-,求0E的长；

2

②如图3,当NAC8=60°时，连接EC并延长交直线/于点凡连接OF.求证：OFLAB.

2022年贵港市初中学业水平考试试卷数学

（本试卷分第I卷和第n卷，考试时间120分钟）

注意：答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题都给出标号为4,B,C,D.的四个选项，其中只有一个是

正确的，请考生用25铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑）

1.-2倒数是（）

11

A.2B.-C.—2D.----

22

【答案】D

【分析】根据倒数的定义求解即可.

【详解】解：-2的倒数是一^,故D正确.

2

故选：D.

【点睛】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数，是解题的关键.

2.一个圆锥如右图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（）

A.主视图与俯视图相同B.主视图与左视图相同

C.左视图与俯视图相同D.三个视图完全相同

【答案】B

【分析】根据三视图的定义即可求解.

【详解】解：主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为有圆心的圆,

故主视图和左视图相同，主视图俯视图和左视图与俯视图都不相同，

故选：B.

【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握三视图的定义，会看得出三视图是解题的关键.

3.一组数据3,5,1,4,6,5众数和中位数分别是（）

A.5,4.5B.4.5,4C.4,4.5D.5,5

【答案】A

【分析】把这组数按照从小到大的顺序排列，第3、4两个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是

5,从而得到这组数据的众数.

【详解】解：把这组数按照从小到大的顺序排列为：1,3,4,5,5,6,

4+5

第3、4两个数的平均数是一-=4.5,

2

所以中位数是4.5,

在这组数据中出现次数最多的是5,即众数是5.

故选：A.

【点睛】此题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，找中位数时一定要先从小到大或从大到

小排好顺序，然后根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个时，则正中间的数字即为所求，如果是偶

数个时则找中间两位数的平均数，熟练掌握相关知识是解题关键.

4.据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到

28nm.已知lnm=l（Tm,则28nm用科学记数法表示是（）

A.28xl0-9mB.2.8xl0-9mC.2.8xlO_8mD.2.8xl0-1°m

【答案】C

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axio川，与较大数的科学记数法不同的是其

所使用的是负整数指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：；lnm=10"m,

28nm=2.8x10-8m.

故选：C.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为“xlO-n,其中l<|a|<10,〃为由原数左边起第一个不为

零的数字前面的0的个数所决定.

5.下例计算正确的是（）

A.2a—a—2B.a2+b2=a2b2C.（-2a）3=8o3D.（一/）=ab

【答案】D

【分析】分别根据合并同类项、单项式除以单项式、同底数嘉的乘法、察的乘方法则进行计算即可求解.

【详解】解：A.2〃-F〃，故原选项计算错误，不符合题意；

B.a2+b2^a2b2,不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；

C.(-2a)3=-8/,故原选项计算错误，不符合题意；

D.(-卢)2=不，故原选项计算正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除以单项式、同底数累的乘法、累的乘方等运算，熟知运算法则是解题

关键.

6.若点A(a,-1)与点3(2,b)关于)，轴对称，则。一力的值是()

A.-1B.-3C.1D.2

【答案】A

【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可.

【详解】•.•点解a,T)与点B(28)关于y轴对称，

a=-2,b=-l,

a-h=-1,

故选A.

【点睛】本题考查了关于y轴对称的点坐标的关系，代数式求值，解题的关键在于明确关于y轴对称的点纵坐标相

等，横坐标互为相反数.

7.若x=-2是一元二次方程/+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及，"的值分别是()

A.0,-2B.0,0C.-2,-2D.-2,0

【答案】B

【分析】直接把x=-2代入方程，可求出川的值，再解方程，即可求出另一个根.

【详解】解：根据题意，

x=-2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根,

把x=-2代入+2x+〃z=0，则

(-2)2+2x(-2)+/n=0,

解得：m=0；

・"+2x=0，

/.x(x+2)=0,

玉=-2,九=0,

方程的另一个根是x=()；

故选：B

【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算.

8.下列命题为真命题的是()

A.&=aB.同位角相等

C.三角形的内心到三边的距离相等D.正多边形都是中心对称图形

【答案】C

【分析】根据判断命题真假的方法即可求解.

【详解】解：当。＜0时，4a^=-a，故A为假命题，故A选项错误；

当两直线平行时，同位角才相等，故B为假命题，故B选项错误；

三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故C为真命题，故C选项正确；

三角形不是中心对称图形，故D为假命题，故D选项错误，

故选：C.

【点睛】本题考查了真假命题的判断，熟练掌握其判断方法是解题的关键.

9.如图，。。是,ABC的外接圆，AC是。。的直径，点P在0。上，若NACB=4O。，则ZBPC的度数是

()

Ot

AB

A.40°B.45°C.50°D.55°

【答案】C

【分析】根据圆周角定理得到NA6C=90。，NBPC=NA,然后利用互余计算出/A的度数，从而得到NBPC

的度数.

【详解】解：:AB是。。的直径，

/.ZABC=90°,

NA=90°—ZACB=90°-40°=50°,

ZBPC=ZA=50°,

故选：c.

【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这

条弧所对的圆心角的一半；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

10.如图，某数学兴趣小组测量一棵树CO的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°,在点B处测得树顶C的

仰角为60°,且A,B,。三点在同一直线上，若48=16m,则这棵树CO的高度是()

C

A.8(3-V3)mB.8(3+6)mC.6(3-G)mD.6(3+V3)m

【答案】A

【分析】设CO=x,在放AWC中，ZA=45°,可得CO=4£>=x,BD=16-x,在放ABC。中，用N8的正切函数值

即可求解.

【详解】设CD=x,在中，ZA=45°,

：.CD=AD=x,

.'.BD=16-x,

在中，NB=60。，

即：---=A/3，

16-x

解得x=8（3-百），

故选A.

【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键.

11.如图，在4x4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若qABC的顶点均是格点，则

石R\/1002石n4

5555

【答案】c

【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可.

【详解】解：过点C作A8的垂线交A8于一点。，如图所示，

；每个小正方形的边长为1,

AC=45,BC=J\0,AB=5,

设AD=x,则3O=5-x,

在Rt/XACD中，DC2=AC2-AD2,

在RbBCD中,DC2^BC2-BD2,

.•.10-(5-x)2=5-x2,

解得x=2,

AD2_275

:.cosABAC

~AC忑

故选：C.

【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形.

12.如图，在边长为1的菱形ABCQ中，NA3C=60。，动点E在A8边上(与点A、3均不重合)，点厂在对角

线AC上，CE与即相交于点G,连接AG,OE,若AF=BE，则下列结论错误的是()

A.DF=CEB.ZBGC=120°C.AF2=EGECD.AG的最小值为逆

3

【答案】D

【分析】先证明△丝CBE,△ABC是等边三角形，得DF=CE,判断A项答案正确，由

BECE

ZGCB+ZGBC=60°,得/BGC=120°,判断8项答案正确，证△BEGs△CEB得——=——,即可判断C项

GEBE

答案正确，由/BGC=120°,BC=1,得点G在以线段BC为弦的弧BC上，易得当点G在等边△A8C的内心处

时，AG取最小值，由勾股定理求得AG=Xi,即可判断。项错误.

3

【详解】解：：四边形ABC。菱形，ZABC=60°,

：.AB=AD=BC=CD,NBAC=NDAC=gZBAD=yx(l80°-ZABC)=60。=ZABC,

A/XDAF^CBE,△ABC是等边三角形，

：.DF=CE,故A项答案正确，

NABF=/BCE,

ZABC=ZABF+ZCBF=60°,

/.ZGCB+ZGBC=60",

AZBGC=180°-60°=180(NGCB+NGBC)=120°,故B项答案正确，

VZABF=ZBCE,ZBEG=ZCEB,

△BEGs△CEB,

.BECE

••=f

GEBE

；•BE?=GE.CE，

'：AF=BE，

•••AF2=GE.CE，故C项答案正确，

VZSGC=120°,BC=L点G在以线段BC为弦的弧BC上,

，当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，

「△ABC是等边三角形，BC=l,

：.BF±AC,AF=^AC=^,ZGAF=30°,

：.AG=2GF,A^GF2+AF1,

4G2=（g4G，解得AG=*,故D项错误，

故应选：D

【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题

的关键.

第n卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题）

13.若J7T7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________.

【答案】X>-1

【分析】二次根式要有意义，则二次根式内的式子为非负数.

【详解】解：由题意得：

x+1>0>

解得Xi—1,

故答案为：X>-1.

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件.

14.因式分解:a3-a=.■

【答案】a(a+l)(a-l)

【分析】先找出公因式。，然后提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.

【详解】解：a3-a

=a(cr-1)

=a(a+l)(a—l)

故答案为：a(a+1)3—1).

【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键.

15.从-3,-2,2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是—.

【答案】《

【分析】列举出所有情况，看在第三象限的情况数占总情况数的多少即可.

【详解】解：..•从-3,-2,2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，

...所有的点为：(一3,-2),(一3,2),(-2,2),(-2,一3),(2,-3),(2,-2),共6个点；在第三象限的

点有(一3,-2),(-2,-3),共2个；

,该点落在第三象限的概率是!■=

63

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查了列举法求概率，解题的关键是正确的列出所有可能的点，以及在第三象限上的点，再由概率

公式进行计算，即可得到答案.

16.如图，将45c绕点A逆时针旋转角。(0°＜。＜180。)得到,点8的对应点。恰好落在8C边上，若

DE±AC,ZCAD=25°,则旋转角a的度数是.

BDC

【答案】50°

【分析】先求出NADE=65°,由旋转的性质，得到NB=NADE=65°,AB^AD，则NADB=65°,即可

求出旋转角a的度数.

【详解】解：根据题意，

DE±AC,ZCAD^25°,

：.ZADE=90°-25°=65°,

由旋转的性质，则NB=NAOE=65。，AB=AD，

：.NAZ)B=NB=65°,

ABAD=180°-65°-65°=50°；

旋转角a的度数是50°：

故答案为：50°.

【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算.

17.如图，在ABCD中，AD=-AB,ZBAD^=45°,以点4为圆心、A£＞为半径画弧交A8于点E,连接

3

CE,若AB=3亚,则图中阴影部分的面积是.

【答案】50-万

【分析】过点D作DFLAB于点F,根据等腰直角三角形的性质求得DF,从而求得EB，最后由S/胭

=S.ABCD-S虞/ADE-SAEBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可.

【详解】解：过点D作PF1AB于点F,

B

2L

•••AD=-AB,/BAD=45。，AB=3五

.\AD=-x3>/2=272

3

APF=APs(n4S0=272x—=2，

2

VAE=AP=2.V2，

；.EB=AB-AE=3衣2血=血，

・♦・S阴爵=S・ABCD-S甜杉ADE-S^EBC

=3a2-竺丝但或」xax2

3602

=5&-万

故答案为：5>/2-7t-

【点睛】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握

相关知识是解题关键.

18.已知二次函数y=ox2+法+c(a/0),图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(—2,0),对称轴为直线

x=-；.对于下列结论：©abc<0；②Z?2-4ac>0；③a+h+c=0；@am2+bm<^-(a-2b)(其中

加力一；)；⑤若A(%,y)和3(9,必)均在该函数图象上，且%>々>1，则%>必•其中正确结论的个数共有

【答案】3

【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴》=-；，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0),代入可

b=a

得：｛c,再根据抛物线开口朝下，可得QVO,进而可得匕VO,c>0,再结合二次函数的图象和性质逐条

c=-2a

判断即可.

【详解】•••抛物线的对称轴为：X=~,且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0),

...抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0),

4a-2b+c=Q

代入(-2,0)、(1,0)得:

a+b+c=O

b-a

解得：<c，故③正确；

c=-2a

•.•抛物线开口朝下，

a<0,

/.b<0.c>0,

abcX),故①错误；

:抛物线与X轴两个交点，

...当y=0时，方程y=依2+灰+C=0有两个不相等的实数根,

方程的判别式△=尸-4ac>0，故②正确；

b-a

c=-2a

airT24-bJm=am2+am=/+——a,-1{/a-2b)=—(a-2r\a\)=——1a,

24444

)117

/.am~+bm-[—(a-2b)]=a(m+^),

,:m手—>aV0,

2

11

/.am~9+bm-[—(a-2b)]=a(m+—)7<0,

即cm22+hm<—（a-2b），故④正确；

4

:抛物线的对称轴为：X=-g,且抛物线开口朝下，

,1

可知二次函数y=ar+Z?x+c,在》>一5时，y随X的增大而减小，

%>X,>1>——,

故⑤错误，

故正确的有：②③④，

故答案为：3.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，特

别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键.

三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（1）计算：卜G|+（2022—万）°+——-tan60°；

\2,

'2x-5<0①

（2）解不等式组：2X-45-X^

I32

【答案】（1）4；（2）-l<x<-

2

【分析】（1）根据绝对值的意义、零指数基、负整数指数幕的运算法则以及特殊角的三角函数值进行计算即可；

（2）先分别求解出不等式①和不等式②的解集，再找这个两个解集的公共部分即可.

【详解】（1）解：原式=6-1+1+4-6=4;

（2）解不等式①，得：x<一,

2

解不等式②，得：x>-l.

不等式组的解集为

2

【点睛】本题考查了绝对值的意义、零指数幕、负整数指数幕的运算法则、特殊角的三角函数值以求解不等式组

的解集的知识，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键.

20.尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：

如图，已知线段，小〃.求作AABC,使NA=90°,AB=m,3C=".

m

n]

【答案】见解析

【分析】作直线/及/上一点A；过点A作/的垂线；在/上截取A8=m；作3C=〃；即可得到.ABC.

(2)过点A作/的垂线；

(3)在3上截取AB=/n；

(4)作3C=〃.

【点睛】本题考查作图一一复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.

k

21.如图，直线与反比例函数y=£伏>0,x>0)的图像相交于点A和点C(3,2),与x轴的正半轴相交于点B.

(2)连接OAOC,若点C为线段A8的中点，求△AOC的面积.

【答案】（1）6

【分析】（1）直接把点C的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出答案；

（2）由题意，先求出点A的坐标，然后求出直线AC的解析式，求出点8的坐标，再求出△AOC的面积即可.

【小问1详解】

k

解：；点C（3,2）在反比例函数y=—的图象上，

x

•*..2c——k，

3

:.k=6；

【小问2详解】

解：•.•C（3,2）是线段A3的中点，点B在x轴上，

.,.点A的纵坐标为4,

...点A的坐标为4

•••A(|,4),C(3,2),

设直线4（7为＞=履+6,则

3,,“

—k+b=4k一

2,解得3,

3k+b=2b=6

4,

・，・直线AC为y=-§x+6,

9

令y=。，则工=一,

2

...点8的坐标为（I，0）,

=LL2X4=2.

=2

2222

【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数与一

次函数的图像和性质进行解题.

22.在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）科技兴趣（B）、民族体育

（C）、艺术鉴赏（。）、劳技实践（E）,每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期学生参加社团活

动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，请根据统计

图提供的信息，解答下列问题：

条形统计图扇形统计图

（1）本次调查的学生共有人；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是；

（4）若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数.

【答案】（1）90（2）见解析

（3）120°

（4）300人

【分析】（1）用劳技实践（E）社团人数除以所占的百分比求解;

(2)先用总人数分别减去传统国学（A）、科技兴趣（8）、艺术鉴赏（。）、劳技实践（E）社团的人数计算出民族

体育（C）社团的人数，再补全条形统计图即可;

(3)用360度乘传统国学（A）社团所占的比例来求解;

(4)用2700乘艺术鉴赏（。）社团所占的比例来求解.

【小问1详解】

解：本次调查的学生人数为:

18-20%=90(人).

故答案为：90；

【小问2详解】

解：民族体育（C）社团人数为：9（）-30-10-10-18=22（人）,

补全条形统计图如下:

条形统计图

【小问3详解】

解：在扇形统计图中，传统国学（A）社团对应扇形的圆心角度数是

30

360°X—=120°.

90

故答案为：120°；

【小问4详解】

解：该校有2700名学生，本学期参加艺术鉴赏（。）社团活动的学生人数为

2700X—=300（人）.

90

【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，理解先求出本次调查人数是解答关键.

23.

为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，

且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同.

(1)绳子和实心球的单价各是多少元？

(2)如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各

是多少？

【答案】(1)绳子的单价为7元，实心球的单价为30元

(2)购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个

【分析】(1)设绳子的单价为x元，则实心球的单价为(x+23)元，根据“84元购买绳子的数量与360元购买实心

球的数量相同”列出分式方程，解分式方程即可解题；

(2)根据“总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍”列出一元一次方程即可解题.

【小问1详解】

解：设绳子的单价为x元，则实心球的单价为(x+23)元，

根据题意，得：啊=四_,

xx+23

解分式方程，得：x=7,

经检验可知x=7是所列方程的解，且满足实际意义，

x+23=30,

答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元.

【小问2详解】

设购买实心球的数量为〃?个，则购买绳子的数量为3机条，

根据题意，得：7x3m+3()，〃=510,

解得zn=10

3m—30

答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个.

【点睛】本题考查分式方程和一元一次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键.

24.图，在一ABC中，NAC8=90°,点力是A3边的中点，点。在AC边上，。。经过点C且与边相切于

点、E,ZFAC=-ZBDC.

2

4

（2）若BC=6,sinB=-,求。。的半径及0。的长.

【答案】（1）见解析（2）r=3,0D=M

【分析】（1）作0"J_E4,垂足为“，连接0E,先证明AC是NE45的平分线，然后由切线的判定定理进行

证明，即可得到结论成立；

（2）设AC=4x,AB=5x,由勾股定理可求AC=8,A8=10,设0。的半径为r,然后证明

RtAOEsRtABC,结合勾股定理即可求出答案.

【小问1详解】

证明：如图，作垂足为H,连接QE,

•.•NAC8=90。，。是A8的中点，

：.CD^AD^-AB,

2

ZCAD=ZACD,

•••ZBDC=ZCAD+ZACD=2ZCAD,

又；NFAC=L/BDC,

2

:.NBDC=2NFAC,

：.ZFAC=ZCAB,即AC是NE4B的平分线,

：0在AC上，O与A3相切于点E，

AOE±AB,且是0。的半径，

：AC平分NE4B,0HVAF,

：.OH=OE,OH是Q0的半径，

•••AF是。的切线.

【小问2详解】

Ar4

解：如(1)图，•.•在R心ABC中，ZACB=90°,BC=6,sinB='=—,

AB5

可设AC=4x,AB=5x,

A(5X)2-(4X)2=62,X=2,

则AC=8,A3=10,

设：。的半径为r,则OC=OE=r,

VZACB=ZAEO=90°,ZCAB=ZEAO

：.RtAOEsRfABC,

OEBCr6⑴.

---=---->即Hll-----——,则r=3,

AOAB8-r10

在中，A(?=5,OE=3,

由勾股定理得AE=4,又A£>=LAB=5,

2

/.DE=\,

在心△(?£)£中，由勾股定理得：OD=M.

【点睛】本题考查了三角函数，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是

熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明.

(79、

25.如图，已知抛物线y=-Y+法+c经过A(0,3)和81万,一iJ两点，直线与x轴相交于点C,P是直线

A8上方的抛物线上的一个动点，P£>_Lx轴交A8于点D

yjk

（i）求该抛物线的表达式；

（2）若尸石〃x轴交AB于点E,求PD+PE的最大值；

（3）若以A,P,。为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P,点。的坐标.

【答案】（1）y=-x2+2x+3

245

（2）最大值为1

48r

（3）P（2,3）,£>（2,0）或「件部噌,1）

【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；

（2）先求出点C的坐标为（2,0）,然后证明及△OPESHA4OC,设点P的坐标为（利,—〃/+26+3）,其中

m>0,则点。的坐标为?加+3）,分别表示出PZ）和PE，再由二次函数的最值性质，求出答案；

（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当AAOCsMT）时；当八40cs4Mp时；分别求出两种情况

点的坐标，即可得到答案.

【小问1详解】

解：（1）•••抛物线、=一/+次+,经过A（0,3）和两点，

解得：b=2,c=3,

，抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.

【小问2详解】

VA(0,3),B^—,

3

直线A3表达式为y=-]X+3,

•••直线49与x轴交于点C,

...点C的坐标为(2,0),

：P£)_Lx轴，PE|x轴,

Rt/\DPE^Rt^AOC,

.PDOA3

,.---------------——

PEOC2

PE=-PD,

3

25

33

设点P的坐标为(〃?,-〃+2〃?+3),其中加>0,

则点。的坐标为("2,一1机+3)，

VPD=(—m2+2zn+3)—f——zn+3-—fm-—+—,

I'I2JI4j16

2245

PD+PE=--\m--d--->

31448

,5八

,—<0,

3

7245

当机=1时，QD+PE有最大值，且最大值为」.

448

【小问3详解】

解：根据题意，

在一次函数y=—"1X+3中，令y=0,则》=2,

...点C的坐标为(2,0)；

当AAOCsM?。时，如图

此时点。与点C重合，

.•.点。的坐标为(2,0)；

PDLx轴，

，点P的横坐标为2,

.•.点P的纵坐标为：y=-22+2x2+3=3,

...点P的坐标为(2,3)；

当时，如图，则AP_LA5,

设点O,篦,一|■根+3),则点P

P(^m,-m2+2m+3),

—777~+2)77+3—3

,,a=-m+2，

m-0

,/APIAB^

“AP•^AR=""I，^AB=一Q，

3

/.(—zzz+2)x(——)=—1,

._4

••m——,

3

.•.点。的坐标为1*1],点p的坐标为

满足条件的点P