【解析】广东省广州二中2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

2018学年广州二中高二下学期期中考试文科数学一、选择题.1.已知集合，，若，则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选A.2.已知变量和的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程，据此可以预报当时，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算出样本中心点的坐标，代入回归直线方程求得的值，然后在回归直线方程中，令可求得结果.【详解】由表格中的数据可得，，由于回归直线过样本的中心点，，解得，所以，回归直线方程为，当时，故选：D.【点睛】本题考查利用回归直线方程对总体进行估计，同时也考查了利用回归直线过样本的中心点求参数，考查计算能力，属于基础题.3.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设输入的值为，将循环列举出来，可得出输出的关于的表达式，由输出的值为零，可求得的值，即可得解.【详解】设出入的值为，第一次循环，，，，不成立；第二次循环，，，不成立；第三次循环，，，不成立；第四次循环，，，成立，跳出循环体.输出的，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用程序框图计算输入结果，一般要求将程序的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.4.若，，满足，，.则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小.【详解】，，，，，，，，，故选：A.【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题.5.已知等差数列{a}的前n项和为S.,若a=3,S=14.则{a}的公差为A.1 B.一1 C.2 D.2【答案】B【解析】由题意得，选B.6.将函数y=sin(2x)的图象向左平移个单位后，得到函数f（x）的图象，则f（）=A. B. C. D.【答案】D【解析】，选D.7.已知偶函数在单调递减，若，则满足的的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵偶函数在单调递减，且，∴函数在单调递增，且．结合图象可得不等式等价于或，即或，解得或．故的取值范围为．选A．8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.8【答案】B【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积故选B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.9.在中，“”是“是钝角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由可得出为钝角，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】充分性：若，则，可得，，则为钝角，所以，“”“是钝角三角形”；必要性：若是钝角三角形，则可能为锐角，所以，“”“是钝角三角形”.综上所述，“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查了平面向量数量积定义的应用，考查推理能力，属于基础题.10.阿波罗尼斯(约公元前262190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为,动点满足，当P、A、B不共线时，三角形PAB面积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，设点，根据题意，求得圆的方程，再求得P点的位置，即可求得面积的最大值.【详解】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；则：设,，两边平方并整理得：，当点P到AB（x轴）的距离最大时，三角形PAB的面积最大，此时面积为故选A【点睛】本题考查了曲线的轨迹方程，熟悉圆的定义和求轨迹方程是解题的关键，属于中档题型.11.在中，内角，，的对边分别为，，若函数无极值点，则角的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数无极值点，则导函数无变号零点，，故最大值为：．故答案为C．12.已知点，，点的坐标，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的数量积的坐标运算法则将化为与距离有关的最值问题，进而利用线性规划方法求得最小值.【详解】画出出可行域如图所示:，表示点到可行域内的点的距离的平方减去8的最小值，到的最小距离即为到直线的距离，则的最小值为故选:A.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，线性规划思想方法求距离最值问题，属中档题.二、填空题.13.复数（i是虚数单位）的虚部为____.【答案】【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，可得原复数的虚部.【详解】解：，故原复数的虚部为，故答案为：.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.14.已知向量满足，，则的夹角为__________．【答案】【解析】由题得,因为,所以故填.15.已知数列的前项和是，且，则数列的通项公式__________．【答案】【解析】由题得（1），（2），两式相减得是一个等比数列，所以故填.点睛：项和公式是数列中的一个非常重要的公式，也是高考的高频考点，所以看到和n、的关系，要马上联想到项和公式，利用它帮助解题.16.点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由题得所以所以（舍去负根），所以，故填.三、解答题.17.在中，角，，所对的边分别为，，.满足.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将其转化为，利用和角公式求得，利用诱导公式以及三角形内角和，整理求得进而可得解；（2）结合题中的条件，根据三角形的面积公式，求得，之后应用余弦定理求得的值.【详解】(1)在中，因为，所以由正弦定理可得：，所以，又中，，所以.因为，所以.(2)由，，，得.由余弦定理得，所以【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，和角公式，诱导公式，三角形的面积公式，余弦定理，属于简单题目.18.某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数（万人）与餐厅所用原材料数量（袋），到如下统计表：第一次第二次第三次第四次第五次参会人数（万人）13981012原材料（袋）3223182428（1）根据所给5组数据，求出关于的线性回归方程；（2）已知购买原材料的费用（元）与数量（袋）关系为，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润销售收入原材料费用）..参考公式：，.参考数据：，，.【答案】(1).（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.【解析】【详解】试题分析：（1）根据公式求出b，再将样本中心代入求出a，进而得到回归方程；（2），利润为赚的钱减去花出去的钱，根据分段函数的表达式，分段列出利润表达式，分别讨论利润的最值，最终取分段函数中较大的利润值.解析：(1)由所给数据可得：，，，，则关于的线性回归方程为.(2)由(1)中求出的线性回归方程知，当时，，即预计需要原材料袋，因为，所以当时，利润，当时，；当时，利润，当时，，当时，．综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.19.如图，在直三棱柱中，，，点是与的交点，点在线段上，平面.（1）求证：；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由平面，可得，得出为的中点，根据已知可得，进而证明平面，即可证明结论；（2）由已知可得四边形是菱形，得到，再由（1）得，可证得平面，可得，即可证明结论.【详解】证明：连接∵平面平面平面，∴,∵为的中点，∴为的中点；∵，∴,由平面，平面，得由是平面内的两条相交直线，得平面因为平面，故.（2）由（1）知，∵，∴四边形是菱形，∴，∵平面平面，∴∵，平面∴平面∵平面，∴∵，平面，∴平面.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，涉及线面平行性质定理应用、证明线线垂直和线面垂直，注意空间垂直关系间的相互转化，考查逻辑推理能力，属于中档题.20.已知椭圆的方程为，椭圆的短轴为的长轴且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，分别为直线与椭圆的交点，为椭圆与轴的交点，面积为面积的2倍，若直线的方程为，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的方程及离心率的定义，即可求出的值，从而求出椭圆的方程；（Ⅱ）设，，由面积为面积的2倍得，，即可得到关于的方程，解得即可.试题解析：（Ⅰ）椭圆的长轴在轴上，且长轴长为4，∴椭圆的短轴在轴上，且短轴长为4.设椭圆的方程为，则有∴，，∴椭圆的方程为（Ⅱ）设，，由面积为面积的2倍得∴．联立方程，消得∴．同样可求得．∴，解得∵∴.21.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对任意恒成立，求实数最大值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用导数求函数的单调区间.（2）第（2）问，先分离参数得到对任意x∈(0，＋∞)，恒成立，再利用导数求函数的最小值得解.试题解析：（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)，，当a>0时，由<0，得；由>0，得，∴f(x)在上递减，在上递增.(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值，∴＝a－1＝0，则a＝1，从而f(x)＝x－1－lnx，x∈(0，＋∞).因此，对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立对任意x∈(0，＋∞)，恒成立，令，则，令＝0，得x＝e2，则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，＋∞)上递增，∴g(x)min＝g(e2)＝，即，故实数b的最大值是1－.点睛：本题的第2问，用到了分离参数求最值的方法，这是处理恒成立问题的常用的一种技巧.处理含参的恒成立问题，常用的方法有分离参数和分类讨论，如果好分离参数，就选分离参数，否则选择分类讨论.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（