第09讲字母表示数

第09讲字母表示数课程标准学习目标理解用字母表示数的意义；会用字母表示数、数量关系、运算律等；体会字母表示数的简洁性和一般性。理解字母表示数的意义和作用；掌握用字母表示数的方法和规范；能运用字母表示数解决简单的实际问题。知识点一、用字母表示数用字母表示数，使得字母和数一样可以参与运算，用式子把数量关系简明地表示出来.1.用字母表示数的特点：（1）任意性：字母可以表示任意的数或式子；（2）限制性：字母的取值应使式子有意义；（3）确定性：字母的取值一旦确定了，式子的值也会随之确定；（4）一般性：用字母表示数可以反映出事物的规律，更具有一般性.2.用字母表示数的注意点：（1）同一个问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示；（2）用字母表示数时，某些特定的字母只能表示特定的数，如“π”表示圆周率；（3）用字母表示数时，数字与字母或字母与字母相乘，通常将乘号写成“·”或直接省略不写（数字要写在字母的前面）；（4）当“1”与任何字母相乘时，“1”可以省略不写；（5）用含字母的式子表示问题的最终答案时，除数一般写成分母，若式子是和或差的形式，要用括号把含有字母的式子括起来，再在括号的后面写上单位.知识点二、用字母表示数的常见应用1.用字母表示运算律用字母表示运算律，说明运算律不是针对某一个具体的数的运算，使得运算律更具有代表性和一般性，如果用a、b、c表示任意三个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为a＋b＝b＋a，加法结合律可以用字母标书为（a＋b＋c）＝a＋（b＋c）.2.用字母表示公式对于任意一个三角形，我们可以用S表示三角形的面积，用a表示三角形的底，用h表示对应底边上的高，则，除此之外，如长方形面积公式可以用表示，长方体的体积公式可以用表示.3.用字母表示各种数当n为整数时，我们可以用2n表示任意一个偶数，可以用2n＋1表示任意一个奇数等.4.用字母表示数量关系如小明有a颗糖果，小红的糖果比小明的2倍还多3颗，则小红的糖果数为（2a＋3）颗.题型01含字母式子的书写1．下列各式最符合代数式书写规范的是（）A．212n B．ba C．3x﹣1个 D．a【分析】根据代数式的书写要求判断各项．【解答】解；A、应表示为52n，故AB、两个字母相除表示为分式的形式，故B正确；C、（3x﹣1）个，应加上括号，故C错误；D、把数写在字母的前面，故D错误，故选：B．【点评】本题考查了代数式，代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．2．下列各式：①113x；②20%x；③4﹣b÷c；④m2-nA．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】代数式的书写要求：①在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，当系数为1或﹣1时，1省略不写；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要化为假分数；④如果代数式是加减运算，后面有单位，前面的代数式要加括号；由此判断即可．【解答】解：不符合代数式书写要求的：①113x；③4﹣b÷c；⑤x﹣y故选：C．【点评】本题考查了代数式，熟练掌握代数式的书写要求是解题的关键．3．下列各式中，符合代数式书写要求的是（）A．x•5 B．-12ab C．123x D．4【分析】根据代数式的书写要求判断各项．【解答】解：A、字母与数字相乘时，乘号省略不写，数字写在前面，原书写错误，故此选项不符合题意；B、符合代数式的书写要求，原书写正确，故此选项符合题意；C、带分数应写成假分数，原书写错误，故此选项不符合题意；D、字母与字母相乘时，通常简写成“•”或者省略不写，原书写错误，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查代数式的书写规则．解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．4．下面式子中符合代数式书写要求的是（）A．ab3 B．213xy2 C．3πm4 【分析】根据代数式的书写要求即可作出判断．【解答】解：A：ab3应写成3ab，故A错误；B：213xy2C：3πm4书写正确，故CD：x+3克应写成（x+3）克，故D错误．故选：C．【点评】本题考查代数式的书写要求．熟记相关结论即可．题型02含字母式子的意义1．代数式﹣7x的意义可以是（）A．﹣7与x的和 B．﹣7与x的差 C．﹣7与x的积 D．﹣7与x的商【分析】直接利用代数式的意义分析得出答案．【解答】解：代数式﹣7x的意义可以是﹣7与x的积．故选：C．【点评】此题主要考查了代数式，掌握代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子是解题关键．2．代数式x﹣y2的意义为（）A．x的平方与y的平方的差 B．x与y的相反数的平方差 C．x与y的差的平方 D．x减去y的平方的差【分析】y2可叙述为y的平方，所以字母表达式x﹣y2的意义为x与y的平方的差．【解答】解：代数式x﹣y2的意义为x减去y的平方的差．故选：D．【点评】此题主要考查了代数式的意义，解题的关键是注意代数式每一部分的表达方式，注意不要出现歧义．3．已知等边三角形的边长为p，正方形的边长为q，则3p+4q的实际意义为．【分析】根据等边三角形的边长为p，正方形的边长为q，可得3P表示的是等边三角形的周长，4p表示的是正方形的周长，据此可得出答案．【解答】解：3p+4q的实际意义为等边三角形的周长与正方形的周长之和．故答案为：等边三角形的周长与正方形的周长之和．【点评】此题主要考查了代数式所表示的实际意义，读懂代数式中各部分之间的关系及所表示的实际意义是解答此题的关键．4．一根弹簧长12cm，在弹性限度（总长不超过20cm）内，每挂质量为1kg的物体，弹簧伸长0.5cm．（1）代数式0.5x+12表示的实际意义是；（2）这根弹簧最多可挂质量为多少的物体？【分析】（1）根据题意得出代数式0.5x+12表示的实际意义是挂上质量x千克的物体后，弹簧的总长度；（2）设这根弹簧最多可挂质量为x千克的物体，根据题意列出方程，然后求解即可．【解答】解：（1）代数式0.5x+12表示的实际意义是挂上质量x千克的物体后，弹簧的总长度；故答案为：挂上质量x千克的物体后，弹簧的总长度；（2）设这根弹簧最多可挂质量为x千克的物体，根据题意得：0.5x+12＝20，解得：x＝16，答：这根弹簧最多可挂质量为16千克的物体．【点评】此题主要考查了代数式的实际意义和一元一次方程的解法，理解题意并根据题意列出相应的关系式是解题的关键．题型03用含字母的式子表示数量关系1．水结成冰体积增大111，现有体积为a的水结成冰后体积为（）A．111a B．1211a C．1011a D【分析】体积为a的水结成冰后体积，冰的体积为（1+111）【解答】解：依题意有水结成冰后体积为（1+111）a=故选：B．【点评】本题是基础题型，弄清冰的体积＝（1+增长率）×水的体积是解题的关键．2．小明在电脑上每分钟录入汉字50个，小明的妈妈每分钟录入汉字40个，如果要录入x个汉字，那么小明比妈妈少用min．【分析】根据时间＝总量÷速度列式表示即可．【解答】解：小明比妈妈少用：（x40故答案为：（x40【点评】本题考查了列代数式，比较简单，要注意小明用是时间比妈妈是少．3．用代数式表示：a、b两数的平方差为，a、b两数差的平方为，a、b两数的平均值为．【分析】a、b两数的平方差就是对a、b首先平方，然后对平方求差；a、b两数差的平方是首先对a、b进行求差，然后对差求平方；根据平均数的定义可以求得a、b的平均数．【解答】解：a、b两数的平方差为a2﹣b2，a、b两数差的平方为（a﹣b）2，a、b两数的平均值为a+b2故答案为：a2﹣b2，（a﹣b）2，a+b2【点评】考查了代数式，代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．4．教学楼大厅面积Sm2，如果矩形地毯的长为a米，宽b米，则大厅需铺这样的地毯块．【分析】根据大厅需铺地毯的块数＝教学楼大厅面积÷矩形地毯的面积可列代数式．【解答】解：依题意有大厅需铺地毯的块数=s【点评】本题解题的关键是教学楼大厅面积＝矩形地毯的面积和，矩形的面积＝长×宽．题型04用含字母的式子表示图形面积1．如图，长方体的体积是，表面积是．【分析】根据长方体的体积计算公式长×宽×高，以及表面积公式（长×宽+长×高+宽×高）×2进行计算即可．【解答】解：由于长方体的体积＝长×宽×高，所以这个长方体的体积为9ab；由于长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，所以这个长方体的表面积为（ab+9a+9b）×2＝2ab+18a+18b．故答案为：9ab，2ab+18a+18b．【点评】本题考查认识立体图形，掌握长方体体积、表面积的计算公式是正确解答的关键．2．如图中阴影部分的面积是，周长是．【分析】阴影部分可以看成半圆，由此求解即可．【解答】解：阴影部分的面积=12πr2，周长＝2r+π故答案为：12πr2，2r+πr【点评】本题考查圆的面积，圆的周长等知识，解题的关键是理解题意，学会把不规则图形转化为规则图形．3．用字母表示图中阴影部分的面积．【分析】（1）读图可得，阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣小长方形的面积；（2）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣扇形的面积．【解答】解：（1）阴影部分的面积＝ab﹣bx；（2）阴影部分的面积＝R2-14πR【点评】解决问题的关键是读懂图，找到所求的阴影部分的面积和各部分之间的等量关系．题型05规律探究题1．现代的数学符号体系，不仅使得数学语言变得简洁明了，还能更好地帮助人们总结出便于运算的各种运算法则，简明地揭示数量之间的相互关系．我国在1905年清朝学堂的课本中还用“五丁二⊺三丙二⊥二七甲二乙二”来表示相当于A．4b23-cC．4b2-a【分析】由题意可得横线上方表示分母，横线下方表示分子，甲对应a，乙对应b，丙对应c，丁对应d，⊺表示减，⊥表示加，小写的一，二，三，...，表示指数．【解答】解：由题意可得，原式==6=8=4故选：A．【点评】本题考查了列代数式，关键是读懂题目搞清每个符号的意义．2．有一串代数式：﹣x，2x2，﹣3x3，4x4，…，﹣19x19，20x20，…，求：（1）观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律．（2）写出第2009个代数式．（3）写出第n个、第n+1个代数式．【分析】（1）根据各个单项式的系数及其正负号、次数，用语言叙述它们的规律即可；（2）根据这串代数式的规律解答即可；（3）根据这串代数式的规律解答即可．【解答】解：（1）这组代数式的规律是：这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正．（2）根据这串代数式的规律，第2009个代数式是﹣2009x2009．（3）第n个代数式是（﹣1）nnxn，第n+1个代数式是（﹣1）n+1（n+1）xn+1．【点评】本题考查代数式，找出这串代数式的规律是本题的关键．3．对于密码Ldpdvwxghqw，你能看出它代表什么意思吗？如果给你一把破译它的“钥匙”x﹣3，联想英语字母表中字母的顺序，你再试试能不能解读它．英语字母表中字母是按以下顺序排列的：abcdefghijklmnopqrstuvwxyz，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到x﹣3可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有Ldpdvwxghqw→Iamastudent．这样你就能解读它的意思了．为了保密，许多情况下都要采用密码，这时就需要有破译密码的“钥匙”．上面的例子中，如果写和读密码的双方事先约定了作为“钥匙”的式子x﹣3的含义，那么他们就可以用一种保密方式通信了．你和同伴不妨也利用数学式子来制定一种类似的“钥匙”，并互相合作，通过游戏试试如何进行保密通信．【分析】先用数学式子制定一个钥匙，然后再想你要表达的信息即可．【解答】解：钥匙为：x+1，英语字母表中字母是按以下顺序排列的：abcdefghijklmnopqrstuvwxyz，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到x+1可以代表“把一个字母换成字母表中从它向后移动1位的字母“，按这个规律就有：ktbjx→lucky．【点评】本题考查了代数式在实际问题中的应用，学生必须熟练掌握才能正确解答．1．代数式2（y﹣2）的正确含义是（）A．2乘y减2 B．2与y的积减去2 C．y与2的差的2倍 D．y的2倍减去2【分析】按照代数式的意义和运算顺序：先运算括号内的，再运算括号外的计算即可判断各项．【解答】解：代数式2（y﹣2）的正确含义应是y与2的差的2倍．故选：C．【点评】注意掌握代数式的意义．2．下面用数学语言叙述代数式1a-A．比a的倒数小b的数 B．1除以a的商与b的相反数的差 C．1除以a的商与b的相反数的和 D．b与a的倒数的差的相反数【分析】根据代数式的读法对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、1a-b表示比a的倒数小B、1除以a的商与b的相反数的差表示为1a-（﹣b）=C、1除以a的商与b的相反数的和表示为1a-D、b与a的倒数的差的相反数表示为﹣（b-1a）=故选：B．【点评】本题考查了代数式，主要是代数式的读法和意义，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．3．下列式子书写规范的是（）A．435x B．c÷2 C．2+a元 【分析】根据代数式的书写要求分别进行判断即可．【解答】解：A、系数用假分数表示，正确写法为235xB、除法要写成分式的形式，正确写法为c2C、代数和后面写单位要加括号，正确写法为（2+a）元，故此选项不符合题意；D、-x故选：D．【点评】此题考查了列代数式，用到的知识点是数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．4．单项式﹣5x的意义可以是（）A．﹣5与x的和 B．﹣5与x的差 C．﹣5与x的积 D．﹣5与x的商【分析】通过﹣5x表示﹣5与x的积进行求解．【解答】解：∵单项式﹣5x的意义是﹣5与x的积，∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意，故选：C．【点评】此题考查了根据题意列代数式的能力，关键是能准确理解并运用该知识．5．若n是整数，则n+1，n+3表示（）A．两个奇数 B．两个偶数 C．两个整数 D．两个正整数【分析】根据代数式、整数的定义解答即可．【解答】解：因为n是整数，所以n+1，n+3是两个整数，可能是两个奇数，也可能是两个偶数；可能正数，也可能是负数．故选：C．【点评】此题考查了代数式、整数，解题的关键是熟练掌握代数式、整数的定义．6．已知一个等边三角形的边长为a，则3a所表示的实际意义是这个等边三角形的周长．【分析】根据题意所列代数式即可得结论．【解答】解：因为等边三角形的边长为a，所以3a所表示的实际意义是这个三角形的周长．故答案为这个等边三角形的周长．【点评】本题考查了代数式，解决本题的关键是根据代数式赋予其实际意义．7．体育委员带了500元钱去买体育用品，若二个足球a元，一个篮球b元，则代数式500﹣3a﹣2b表示体育委员买了6个足球、2个篮球后剩余的经费．【分析】由题意可知一个足球为a2元，一个篮球为b元，所以3a表示6个足球的价钱，2b表示2个篮球的价钱，从而可知500﹣3a﹣2b【解答】解：由题意可知一个足球为a2元，一个篮球为b∴3a表示6个足球的价钱，2b表示2个篮球的价钱，∴代数式500﹣3a﹣2b表示体育委员买了6个足球、2个篮球后剩余的经费故答案为：体育委员买了6个足球、2个篮球后剩余的经费【点评】本题考查代数式的意义，解题的关键是求出一个足球的价钱和一个篮球的价钱，从而可知3a与2b的意义，本题属于基础题型．8．每支铅笔a元，每本笔记本b元，则100﹣（4a+3b）表示用100元买每支a元的铅笔4支，买每本b元的笔记本3本剩下的钱．【分析】根据每支铅笔a元，每本笔记本b元，结合代数式得出即可．【解答】解：∵每支铅笔a元，每本笔记本b元，∴100﹣（4a+3b）表示用100元买每支a元的铅笔4支，买每本b元的笔记本3本剩下的钱．故答案为：用100元买每支a元的铅笔4支，买每本b元的笔记本3本剩下的钱．【点评】此题主要考查了代数式的意义，利用代数式得出实际意义使数学与实际生活相联系．9．下列代数式中①2•4，②x212，③x÷y，④x﹣2，其中书写正确的是④【分析】根据代数式的书写规范对各小题作出判断即可．【解答】解：①2•4应为2×4，②x212应为12③x÷y应为xy④x﹣2书写正确，综上所述，书写正确的是④．故答案为：④．【点评】本题考查了代数式，是基础题，主要是代数式书写习惯，要熟记．10．试写一个只含字母x的代数式：当x＝﹣2时，它的值等于5．你写的代数式是﹣2x+1．【分析】要求所写代数式的值等于5，联系平常所学知识，写出代数式即可．【解答】解：根据题意得：﹣2x+1．故答案为：﹣2x+1．【点评】此题考查了列代数．此题属于开放性题，关键是根据题意通过计算得出．三．解答题（共6小题）11．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处；（1）a×20；20a；（2）113x；4（3）﹣1mn；﹣mn；（4）s÷t；st【分析】根据代数式的书写规范将各题进行改正即可．【解答】解：（1）a×20应写为20a；故答案为：20a．（2）113x故答案为：43（3）﹣1mn应写为﹣mn；故答案为：﹣mn．（4）s÷t应写为st故答案为：st【点评】本题考查代数式，掌握正确书写代数式的方法是解题的关键．12．请你结合生活经验，设计具体情境说明下列代数式的实际意义：（1）a3；（2）（1+10%）x；（3）3m+2n5【分析】（1）根据立方可以和正方体的体积联系即可；（2）根据代数式表示比x增加10%赋予实际意义即可；（3）根据代数式的特点赋予实际意义即可．【解答】解：（1）一个棱长为a米的正方体钢块的体积是a3立方米；（2）某款价格为x元的钢笔在“双十一”加价10%后的售价是（1+10%）x元；（3）巧克力糖每千克m元，奶油糖每千克n元，用3千克巧克力糖和2千可奶油糖混合成5千克混合糖，则这样得到的混合糖每千克的平均价格为3m+2n5【点评】本题考查代数式的实际意义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．已知：代数式4m-1（1）当m为何值时，该式的值大于零？（2）当m为何整数时，该式的值为正整数？【分析】（1）由4m-1＞0可得出m﹣1＞（2）由4m-1为正整数可得出m﹣1＝1或m﹣1＝2或m﹣1＝4【解答】解：（1）∵4m-1＞∴m﹣1＞0，∴m＞1，即，当m＞1时，该式的值大于零；（2）∵4m-1∴m﹣1＝1或m﹣1＝2或m﹣1＝4，解得：m＝2，3，5．∴当m为2，3，5时，该式的值为正整数．【点评】本题考查了代数式，解题的关键是：（1）牢记“分子、分母同号，分式为正”；（2）利用原分式为正整数结合分子为4，找出关于m的一元一次方程．14．说出下列代数式的意义：（1）圆珠笔每支售价a元，练习簿每本售价b元，那么3a+4b表示什么？（2）长方形的长、宽分别为a，b，那么a（b+1）表示什么？【分析】（1）根据题意解释代数式的意义即可；（2）根据题意解释代数式的意义即可．【解答】解：（1）3a+4b表示3支圆珠笔与4本练习簿的总价格；（2）a（b+1）表示长为a，宽为b+1的长方形的面积．【点评】本题考查了代数式，弄清题意，解释代数式的意义是解题的关键．15．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c．且a，b，c满足（c﹣7）2+|a+10|+|b﹣1|＝0．（1）a＝﹣10，b＝1，c＝7；（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示﹣4的数的点重合；（3）点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点B向右运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到点B的距离相等？【分析】（1）根据非负数的性质即可解答；（2）先求出数轴沿着表示-32的数对折，即可求出点B关于表示﹣（3）设点M，N运动的时间为t秒，表示出点M，N表示的数，再根据题意列出方程解答即可．【解答】解：（1）∵（c﹣7）2+|a+10|+|b﹣1|＝0，∴c﹣7＝0，a+10＝0，b﹣1＝0，解得，a＝﹣10，b＝1，c＝7，故答案为：﹣10；1；7；（2）∵a＝﹣10，c＝7，-10+∴数轴沿着表示-3∴-3∴点B与表示﹣4的数重合，故答案为：﹣4；（3）设点M，N运动的时间为t秒，则由题意得：点M表示的数为﹣10+3t，点N表示的数为1+2t，∴当点M、点N分别到点B距离相等时，|﹣10+3t﹣1|＝1+2t﹣1，解得，t＝11或t=11所以经过11秒或1