2021年新高考地区数学押题25 空间向量与立体几何（解答题）解析版

精选25空间向量与立体几何（解答题）

若利用空间向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算.

（1）求两异面直线。、6的夹角8,须求出它们的方向向量浣、％的夹角，则

cosO=|cos<m,n>|；

（2）求直线/与平面a所成的角夕，可先求出平面a的法向量7与直线/的方向向量正的

夹角,则sin0=|cos<m,«>|；

auu

（3）求二面角。-/-，的大小夕，可先求出两个平面的法向量〃1、々所成的角，则

|cos0\=|cos<^X>|,并要根据图形确定所求二面角的平面角是锐角还是钝角.

1.如图，在四棱锥P—A6CD中，上41_平面ABCD,底面ABCD为矩形，PA=1,直

线PB、与平面ABCD所成角分别为30。、45°,E为CD的中点.

（1）已知点尸为中点，求证：CV〃平面Q4E；

（2）求二面角P—5D—A的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）乂.

7

【解析】（1）取A3中点G,连结GF,CG,因为在四棱锥P-ABCD中，上4，平面ABCD,

底面A6CD为矩形，E为CD的中点，所以CG〃A£,FG//PA,

因为CGa面Q4E，AEu面Q4E，FG<z面Q4E，Q4u面B4E，

所以CG〃平面Q4E，EG〃平面E4E，

因为CGc/G=G,。6,而(=面。尸6,所以平面CFG〃平面B4£,

因为CEu平面CNG,所以C/〃平面Q4E.

(2)由上4_L面ABCD,所以NP3A为与面ABCD所成角，ZPBA=30°

所以NPZM为与面ABC。所成角，NPDA=45。

由£4=1,所以AB=g,AD=l,以A为坐标原点，AB,AD,AP为X,y,z正方向建立

空间直角坐标系，则4(0,0,0),3(6,0,0),。(0,1,0),。(0,0,1),

小C

、[PB-n=0

平面PBD中：而=(百,0,—1),而=(0』,—1),设法向量万=(%y,z），则<_.,

PDn=0

^2%_2—o

<，取z=J5"，则％=1,y=则为=(l,g\J^),

y-z=0

又？A_L平面A3CD，故平面ABD的法向量为庆=(。,。/)，

设二面角F—9—A的平面角为。，所以COS6=®2L=4=V21

\mUn\v77.

2.如图，四棱锥尸一ABCD中,底面ABC。为菱形，平面ABC。，E为P£)的中

点.

BC

(1)证明：依〃平面AEC；

（2）设P4=l,NA3C=60°,三棱锥E—ACD的体积为二巳，求二面角O—AE—C的余

8

弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）恒.

13

【解析】（1）连接3。交AC于点。，连接0E,则。为5。中点，

E为的中点，所以PB//OE,OEu平面ACE,P5<Z平面ACE,

所以〃平面近；

;工

设菱形的边长为。，

（2）ABCDVpARrn=^P-ACD=^E-ACD=-y'

匕>-ABCO=QABC。,PA=Q*2*4a'x1=,则a=6.

JJI4」2

取BC中点M,连接以点A为原点,以40方向为X轴，以A£>方向为y轴，

£>(0,6,01A(0,0,0),石[。，卓；

以AP方向为z轴，建立如图所示坐标系

I22J

cRW，o]，通=[o'E』，衣=[14A

、22J（22）I22J

设平面的法向量为]=（苍由

ACEy,z）,nx_LAC,nx_LAC,

1

—y+—z=0

得J22,令x=l,则y=3,z=3,「.％=6,3),

3上百c

-x-\-----y=0

[22•

—*—(-Z2i,%1,13

平面ADE的一个法向量为兀=（1,0,0）,—】‘〃2>一同.同一gZ?-13，

即二面角O—AE—C的余弦值为恒.

13

3.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD.

（1）证明：平面APC，平面3PD；

（2）若PBLPD,ZDAB=60°,AP=AB=2,求二面角A—PD—C的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）证明：记ACn5Z）=O,连接P0.

因为底面ABCD是菱形，所以。是应＞,AC的中点.

因为PB=PD，所以因为ACnPO=O,所以3D，平面APC.

因为5Du平面5PD,所以平面APCL平面3PZ）.

（2）因为底面ABCD是菱形，XDAB=60°，AP—AB—2,

所以AMD是等边三角形，即50=43=2.因为？B_LPE＞，所以尸。=,3。=1.

2

又AO=A5sin60°=百，AP=2,所以POz十人。？=,即

如图，以。为坐标原点，QA,O3,OP所在直线分别为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐

标系。—孙Z,则A(G,0,0),。(0,—1,0),尸(0,0,1),c(—6,0,0,),

所以次=(G,l,0),5?=(0,1,1),DC=(-A1,O).

一DAri=0J3x+y=0

设平面AP£)的法向量为4=(x,y,z),由〈一2八，得《,

yDP-nx-0[y+z=0

令y=—G，得E=(l,_G,G).同理，可求平面PDC的法向量成二(1,6,—石).

/一一\a区1x1+(—G)x6+6x(-6)5

'-/InxIIn2।在“回+6后+(-6)27

所以，二面角A—尸£＞—C的余弦值为-g.

4.如图一所示，四边形ABC。是边长为行的正方形，沿将C点翻折到G点位置（如

图二所示），使得平面GO6和AD3垂直.E,歹分别为3G，AG的中点.

（1）求证：BD±AQ；

（2）求平面£>E尸与平面钻D所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）2t

【解析】(1)取3。中点。，连结AO,G。，

■.■AB=AD=ClB=ClD,：.BD±AO,BDCQ,

AO,ClOu平面ACQ,.•.JBD，平面AGO,QAC；u平面ACQ,，AC；.

(2)♦.•二面角A—BD—G是直二面角，，NCQA=90。，，CQ，AO,，Q4,OB,0CY

两两垂直，以。为原点，OA.OB,。。1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则0(0,0,0),A(l,0,0),8(0,1,0),。(0,-1，0),C,(0,0,1),

■：E,F分别为BQ,AQ的中点..•.E(0,g,；),F(1,0,1),

—.11—.31

DF=(-,1,~),DE=(0,-,-),设万=(x,》，z)是平面DEF的一个法向量，

,令y=l,得为=(1,1,-3),

—►31

DE-fi=—y+—z=0

22

_L平面MD,.•.平面ABD的一个法向量困1=（0,0,1）,

\n-OCl\_3>/11

设平面。石尸与平面至£）所成的锐二面角为8，则cos6=

\n\\OCx\11

二平面DEF与平面曲所成的锐二面角的余弦值为主叵

5.如图，四棱锥S-ABCD的侧面5AD是正三角形，AB//CD,且ABLA。，

AB=2CD=4,E是S3中点.

B

（1）求证：CE//平面SAD；

（2）若平面SAD,平面ABCD,且叼=4点，求平面E4C与平面ACB夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）逅

4

【解析】⑴取SA的中点R，连接所，因为E是S3中点，所以EF//AB,且AB=2EF，

因为AB//CD,AB=2CD,所以EF/ADC,EF=DC,

即四边形EEOC是平行四边形，所以EC//FD,

因为EC<Z平面5AD,EDu平面&4£>，所以CE//平面出⑦；

(2)取AD中点。，连接SO,BO,因为&4D是正三角形，所以SOLA。，

因为平面540,平面ABC。，AB±AD,所以SO,平面ABCD,A3,平面9田,

所以ABLS4,故&!=,Sfi2_AB2=4,

以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-孙z,

则0(0,0,0),A(0,—2,0),8(4,—2,0),C(2,2,0),£>(0,2,0),5(0,0,2^),EQ,-1,5,

所以屈=(0,—3,百)，CA=(-2,-4,0),

设平面ACE的法向量为玩=(x,y,z),则一3y+J^z=0,-2x-4y=0,

令y=l得沅=卜2,1,6)，易知平面ACB的法向量为万=(0,0,1),

贝Ucos嫉,a=平J=£=逅，所以平面E4c与平面ACB夹角的余弦值为逅.

'/\m\\n\27244

6.直三棱柱ABC-^B.Q被平面A与C截去一部分后得到如图所示几何体，ZABC=90°,

BC=BBX=2,£1是BXC中点.

(1)求证：平面45£_L平面AgC；

(2)若三棱锥石—A4C体积为立，求二面角A-A'-C的正弦值.

3

【答案】（1）证明见解析；（2）逅.

3

【解析】（1）®^BC=BB[,EBi=EC,所以

在直三棱柱中，由5片，平面ABC可得BBJAB,

又A5L5C,BCp[BBi=B,所以A3,平面3月。，所以

因为43「8石=3,所以用CJ■平面ABE,

由B[Cu平面AB。可得平面AXBXC，平面ABE-

(2)由题意，-L，s,LBB1ABX1=—Y,解得A8=血，

£,—ADCCZA/IDCcl=-X2c

3263

以5为原点，BABCB用分别为苍y，z轴建立直角坐标系，如图,

则A(衣0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),4(0,0,2),E(。,LD,

设面441E的一个法向量为而=(x,%z),丽=(0,0,2),率=(-^,1,-1),

则."/Izlr——07;——O,取x=g,而=(叵2,o),

fn-\E=-，2%+y-z=0

设面CAE的一个法向量为A=(%,K,Z]),CE=(O,-1,1),C4f=(J5,—2,2),

n-CE=—y+Z]=0_

则<___L}，取％=Z]=1,n=(0,1,1)

m•CA]=-2M+24=0

,/--\m・n2v3

所以cos(加•〃)==———=—j=—产=——，

''\m\-\n\v2-A/63

_A/6

所以二面角A—4E—C的正弦值sina

7.如图（1）所示，A。是口6。。中边上的高线，且A5=2AO=2AC,将QBCD沿

A。翻折，使得平面ACDJ_平面ABD,如图（2）.

（1）求证：AB±CD；

（2）图（2）中，E是3。上一点，连接AE、CE,当AE与底面ABC所成角的正切值为

二时，求直线AE与平面BCE所成角的正弦值.

2

【答案】（1）证明见解析；（2）二上.

15

【解析】（1）由图（1）知，在图（2）中，ACA.AD,AB±AD,

因为平面ACD_L平面ABD,平面ACE）n平面ABD=AD，

ABI平面ABD,二AB,平面AC£）,又COu平面AC。，所以A5LCD；

（2）以A为原点，AC,AB，AD所在的直线分别为x,》，z轴建立如图所示的空间

坐标系，设AC=1,则4（0,0,0）,5（0,2,0）,C（l,0,0）,D（0,0,l）,

设E（x,y,z）,由瓦=2丽（0<X<l）,得（x,y,z—1）=（0,24—X）,得£（0,241—4）,

AE=（O,22,l-2）,•.•平面ABC的一个法向量为莅=（0,0,1）,

1—，—.

由AE与底面ABC所成角的正切值为—,可得tan<AD,AE>=2,

_.一]1-2_1

于是cosvARAE〉：忑'即J3）；+（1_"=不解得1

则E0』,5。啜BC=(l,-2,0),诙=0,七,

x-2y=0

设平面5CE的法向量〃=(x,y,z),贝卜

—y+—z=0

2

令y=l,得x=2,z=2,则3=(2,1,2)是平面BCE的一个法向量，

_i-,|AE-n|_2

设直线AE与平面BCE所成的角是8,贝产11夕=|cos<AE,n\=万百曰=-j=~

故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为.

15

8.如图，PD±平面ABCD,ADLCD,AB//CD,PQ//CD,

AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,点、E,F,M分别为AP,CD,BQ的中点.

(1)求证：EE口平面MFC；

(2)求二面角Q—PM—C的正弦值；

(3)若N为线段CQ上的点，且直线ON与平面PMQ所成的角为求线段QN的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)(3)垦

23

【解析】(1)连接应0,因为A5〃CD,PQ//CD,所以A3〃PQ,因为AB=PQ,所

以PA3Q为平行四边形.由点E和舷分别为AP和3Q的中点，可得反以〃且

=因为A5〃CD,CD=2AB,b为CD的中点，所以C歹〃AB且CE=AB,

可得£M〃C「且EM=CN,即四边形呼CM为平行四边形，所以EE口MC,又

EF<Z平面MFC,OVfu平面MFC,所以EF〃平面MFC.

（2）因为尸£＞，平面ABCD,AD1CD,可以建立以。为原点，分别以成反，琼的

方向为x轴，》轴，z轴的正方向的空间直角坐标系.依题意可得

£＞（0,0,0）,A（2,0,0）,5（2,1,0）,C（0,2,0）,尸（0,0,2）,Q（0,l,2）,M（1,L1）.

PM=（1,1,-1）,PQ=（0,1,0）,OY=（1,-1,1）,PC=（0,2,-2）

设4=（无，y,z）为平面PMQ的法向量，

n,-PM=0[x+y-z=03

则」—，即＜c，不妨设z=l，可得々=（1,0,1

[nlPQ=0[y=01l/

设瓦"=（x,y,z）为平面MPC的法向量，

nTPC=0f2y-2z=0_,、

则」一，即〈c，不妨设z=l，可得%=（0,1,1.

n2CM=01尤-y+z=0'）

COS点元=将/=；，于是sin1,石=孝.所以，二面角Q—PM—C的正弦值为孝.

（3）设的=2〃（0W/IW1）,即酬=2配=（0,几—22）,则N（0,A+L2-22）.

从而丽=（0,2+L2-22）.由⑵知平面PMQ的法向量为1=（1,0,1）,

兀、___।\DN-n^\1_|2-22|

由题意，si”=gs°N,”卜瓯同，印厂收+丁+（2―2犷⑻

整理得3^2—1（U+3=O，解得4=3或;1=3,

因为0W2W1所以;1=；,所以的=；区，QN=：亦卜乎.

9.如图，在三棱柱A3C—4与。1中，四边形A41GC是边长为遂的正方形，CQ1BC,

BC=1,AB=2.

G

（1）证明：平面ABC，平面ABC；

BM

（2）在线段上是否存在点般，使得若存在，求大的值；若不存在，

D/\

请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）

4

【解析】（1）在DABC中，AC＜，BC=1,AB=2,AC2+BC2=AB1,所

以ACLBC,又C£CCJAC=。，所以3C，面AC£4,又ACu面AC£A,

所以BC，AC,又四边形441GC是边长为出的正方形，所以AG，4C,又

BCnAC=C,所以AC]，面AXCB，又AC]u平面ABCX,所以平面A.BC±平面ABC,；

BM1

（2）在线段43上存在点V，使得CM且h=了，

nAj4

理由如下：由（1）得，以点C为原点，CAC3,CC1所在直线分别为苍％Z轴建立空间直

角坐标系，如图所示，则A（G,0,0）,0（0,0,0）,6（0,1,0）,A（AO,A/3）,q（o,o,^）,

设〃（羽y,z）,=4可，所以（x,y-l,z）=/（石,一1,，解得彳=履，y=l-^,

z=g九,所以由=(641-464),QB=(0,1,-A/3),要使CML5G，则需

—.—,1BM1

C"g=。，即-3=。，解得八"故两="

10.如图，£是以A8为直径的半圆O上异于A、8的点，矩形ABCD所在的平面垂直于半

圆。所在的平面，S.AB=2AD=2.

（1）求证：EALEC；

TT

（2）若异面直线AE和DC所成的角为二,求平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦

6

值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵

7

【解析】（1）因为平面ABCD垂直于圆。所在的平面,

两平面的交线为AB,BCc平面ABCD,BCLAB,

所以垂直于圆。所在的平面.又E4在圆。所在的平面内,

所以5CLE4.因为NAEB是直角，所以鹿，石4，

又BCr）BE=E,所以EAJ_平面EBC,所以E4LEC.

（2）如图，以点。为坐标原点，A5所在的直线为》轴，

过点。与平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-孙z.

由异面直线AE和。。所成的角为AB//DC,知NBAE=工，所以25。石=工,

663

<J711

所以石252,0，由题设可知。（°，—草），。（°，1，1），

3

%+5%-Zo=o

DEp=02

设平面DCE的一个法向量为万=（%,%,Z。），由<

CE-p=0V31

xz=0

o--yo-o

得z0=x（），%=0，取%=2,得z0=A/3.

所以万=（2,0,73）.又平面AEB的一个法向量为互=（0,0,1）,

p-q_V3_721

所以cos<»，/>=

⑶⑷匹瓦7

平面。CE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值叵.

7

11.四棱锥P—ABCD中，24,平面ABCD,底面ABCD是平行四边形，ZZMB=60°,

PA=AB=AD=2,点E是棱PC上一点.

（1）求证：平面B4C_L平面5。石；

（2）当E为PC中点时，求二面角A—5E—。的余弦值;

（3）若直线BE与平面PAC所成的角为45。时，求CE.

【答案】（1）证明见解析；（2）立；（3）1或2.

7

【解析】（1）因为平行四边形ABCD中，AB=AD，

所以四边形ABC。是菱形，所以因为上4,平面ABCD,所以B4L5D.

因为所以3D，平面PAC.所以平面B4C，平面5£石.

（2）在平面ABCD内，过点A作AQ〃3Q,则AQ_LAC,因为R4J_平面ABCD,

AQu平面ABCD,所以PALAQ.如图建立空间直角坐标系，则

A(0,0,0),B(l,A0),C(O,2AO),D(-1,^,0),P(0,0,2).

当E为尸C中点时，E（0,6/）.所以屈=（0,6,1）,福=（1,石,0）,50=（-2,0,0）,

百%+Z1=0,

BE=(-1,0,1).设平面ABE的方向量为I=(/%,zj

%+6%=0.

令石=百，得X=T,Z]=JL所以加=（、瓦—1,、回）.

UU-2X?—0,

设平面的方向量为巧=（X2，%，Z2），贝卜

—%2+Z2—0.

nA-n2-1币

则Z=Z2=0,令%=1，则后=(0,L0).所以，cos®)2=同同=7T丁

因为二面角A—5E—。为锐二面角，得二面角A—BE—。的余弦值为正

7

(3)设区=4方(0<4<1),则

BE=BC+ACP=(-1,73,0)+2(0,-2A/3,2)=(-1,73-2732,22).

由（1）得，3D，平面？AC.所以，平面总。的一个方向量为丽=（—2,0,0）,

2=2,

即16彳2—124+2=0.解得4=',2,=-.所以CE=LcP=l或CE=^CP=2.

4242

12.如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，M，N分别为AB，

AP的中点，过跖V的平面与侧面交于跖.

(1)求证：MN//EF；

(2)若平面尸6。，平面川。，AB=AC=3，求直线QS与平面PAC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)冥H0.

35

【解析】(1)因为M，N分别为A3,AP的中点，所以MN//PB,

又平面PBC,PBu平面尸BC,所以〃平面PBC,

因为平面肱VE尸。平面PBC=£F,所以MNHEF.

(2)因为平面P6CJ_平面ABC,取6c中点。，

连接PO,AO,因为OPfiC是等边三角形，所以POL5C,

所以POL平面ABC,故P0J_49,因为AB=AC,

所以AOLBC,以。为坐标原点，分别以08,AO,0P为x,y,2轴建立如图所示

的空间直角坐标系，可得。(0,0,0),P(0,0,百)，A(0,-2A/2,0),3(1,0,0),C(-l,0,0),

C

A

y

所以而=（1,0,-百），中=（0,—20,一百），PC=（-1,0,-73）,

-lyfly-b2=0

设平面PAC的法向量为〃=（x,y,z），贝1卜

—X—y(3z—0

/

令y=4i,得x=4,z=—勺8,所以］二

4,-

3

--4+4=27210,—

c°s〈’">=一万8=35，所以直线P3与平面PAC所成角的正弦值为独W..

2x-----35

3

13.如图，四边形ABCD为矩形，AA8E和△BCR均为等腰直角三角形，且平面

ABCD,CF±平面ABCD.

（1）求证：ED〃平面BCF；

AD

（2）设一=2,求二面角5—石户―。的正弦值.

AB

【答案】（1）证明见解析；（2）疸.

7

【解析】（1）•.•四边形ABC。为矩形，,AD〃BC,

•••4£）•平面8。尸，8。匚平面8。p，，4。〃平面86,

QAE人平面ABCD,CB，平面ABC。，.•.E4//FC

•••E4a平面BCF,bCu平面BCF,EA//平面BCF,

又AD,E4u平面ADE,且AOcE4=A，二平面ADE〃平面BCF,

由石。u平面ADE可得EDH平面BCF；

（2）由（1）知E4J_平面ABCD,平面ABCD,且四边形ABCD为矩形，

以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为》轴，以AE所在直线为z轴，建

立空间直角坐标系，如图，设A3=l,则AO=2,

.•.A（0,0,0）,B（l,0,0）,£＞（0,2,0）,E（0,0,l）,F（l,2,2）,

设平面。石厂的一个法向量为1=(%,yz),且诙=(0,—2,1),而=(1,0,2)

DEn=0_2y+z-0一’.

则—.即4二取z=2得”（TL2），

DFn=0

设平面5即的一个法向量为而=(%,如zj,BE=(-1,0,1),BF=(0,2,2)

BE-m=0—X+Z,—0u

则一即《〔2乂+21。’取寸1得*(1'T』)'

BF-m=0

m-n-4-1+2=一:，设二面角5一历一。的平面角为,

/.cos（m,ri）=

|m|-|H|代'X0T

则sin6

14.如图，在四棱锥尸-A3C。中，平面底面ABC。，其中底面ABCD为等腰梯

形，AD!IBC,PA=AB=BC=CD,PA±PD,ZB4D=60°,。为尸。的中点.

B

(1)证明：CQ//平面已旬；

（2）求二面角P—AQ—C的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）—上短.

37

【解析】（1）取中点N,连结QN,BN.

因为。，N是PD，Q4的中点，所以QN//AD,且QN=gAD.

因为ZB4T>=60°,所以己4=!5，所以BC=LA。,

22

所以QN=3C,又AD!IBC,所以QN//3C,所以BCQN为平行四边形,

所以6N/ABC.又5Nu平面B4B，且CQ<Z平面上钻，所以。。〃平面B4B；

（2）取AD中点M，连接8M，取AM的中点。，连接80,P0.设Q4=2,

由（1）得Q4=AM=PM=2,所以AAR0为等边三角形,

所以P0_LAAf,同理所以50_LAAf,因为平面E4D_L平面ABC。，平面上平面

ABCD=AD,尸Ou平面QAD，所以POL平面ABCD.

_____UUU1_____

以。为坐标原点，分别以。8，0D-0P所在直线为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标

系0fz，则4（0,—1,0）,C（A2,0）,P（0,0,⑹，00，；，*，AC=（V3,3,0）,

I22J

k227

Jkngx+3y=0

设平面ACQ的法向量m=(x,y,z),则＜___,所以｛5，

')m-AQ=0\+组z=0

〔2-2

取y=-V3，得加二(3,—6,5),又平面PAQ的法向量7=(1,0,0),

一一m-n3^/57

所以cos＜根,〃＞=欣用二不一,由图得二面角P-AQ-C的平面角为钝角,

所以，二面角尸―AQ-C的余弦值为一主巨.

37

15.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA=AD=CD=2AB=2,AB±AD,CD±AD,

上4,底面ABCD,舷为PC的中点.

(1)求证：&W〃平面R4D；

(2)在侧面Q4D内找一点N,使平面PBD；

(3)求直线PC与平面尸所成角的正弦.

【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3)*

3

为PC的中点，E为PD的中点，则上M〃CD且£70=工8,

2

在平面ABCD中，AB1AD,CDLAD,:.AB//CD,由已知条件可得AB=工CD,

2

:.EM//AB且EM=AB,所以，四边形石为平行四边形，.

平面R4D,胡匚平面/^一二物"/平面上位)；

(2)底面ABCD,ABYAD,

以A为原点，以AB、AD.AP所在直线为x轴、》轴、z轴建立空间直角坐标系,

则3(1,0,0)、C(2,2,0)、0(0,2,0),尸(0,0,2)、1(1,1,1),在平面PAD内设N(0,y,z),

W=(-l,y-l,z-l),而=(1,0,-2),Dfi=(l,-2,0),

由拓7_L而，可得加•丽=—l—2z+2=0，，z=g，

由2^_L丽，可得丽・丽=—l—2y+2=0,.,.、=，，所以，

乙、乙乙

所以，当N是AE的中点，此时MN_L平面PBD；

（3）VPC=（2,2,-2）,由⑵可知，平面PBD的一个法向量为丽=——g,一；

PCMN-2y/2

cos<PC,MN

—V,

故直线PC与平面PBD所成角的正弦值为显

3

16.已知在四棱锥P—ABCD中，A。/ABC,AB=3C=CD,NA3C=120°,G是的中

点，H为AC的中点，是等边三角形，平面八山，平面ABCD.

B

（1）求证：GH7/平面上4D；

（2）求二面角D—AG—C的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

5

【解析】（1）取A。的中点为。，连结

因为AD/ABC,AB=8。=。，ZABC=120°,AB=BC=CD=-AD,

2

四边形ABC。与四边形OBCD均为菱形，为08中点，GHHOP,

曲仁平面24。,0「<=平面^4。，，6"//平面24。

（2）取的中点为E,以。为空间坐标原点，分别以OE,00,0尸的方向为x轴、y轴、

z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-孙z.

(%,y,z).

4y=0

nAD=0

由<

n-AG=O

y/3x+3y=0

m-AC=0

设平面的CAG一法向量〃z=（x,y,z），由<__.=>

in-AG-0

、22

"•m_V15J15

则加=cos(n,m二二面角D-AG-C的平面角的余弦值为三一.

5，

Hm5

17.如图，在四棱锥尸—ABCD中，平面B45,平面A5CD,PA1,AB,B4=A£>=4,

BC//AD,ABLAD,AB=BC=2,PE=2PC（O<2<1）

⑴若求直线小与平面山所成角的正弦值；

【解析】(1)・.•平面上43,平面ABCZ),平面MBc平面=PA±AB,PAu

平面MB，.•.B4L平面ABCD,

•.•AB±AD,以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x、》、z轴建立空

间直角坐标系，如下图所示：

则4(0,0,0)、5(2,0,0)、。(2,2,0)、尸(0,0,4)、0(0,4,0),

当彳=；时，£(1,1,2),则方后=(1,—3,2),

设平面43E的法向量为送=(x,y,z),AB=(2,0,0),衣=(1,1,2),

in•AB—02x=0x=0

由＜一一，可得1，得《,取z=—L则％=0,丁=2,

m•AE=0x+y+2z=0[y=-2z

所以，平面ABE1的一个法向量为浣=(0,2,—1),

DEn—84770

cos<DE,n>=

HR714x7535

因此，直线OE与平面ABE所成角的正弦值为地0；

35

（2）设平面AEC的一个法向量为Z=（X］，X，Z］）,赤=（0,0,4）,AC=（2,2,0）,

a-AP=0[4Z]=0y,=一%八

由_，得ccc可得〈八，令Xi=1，则X=T，A=0,

a-AC=0+2yt=0[4=0

所以，平面AEC的一个法向量为Z=（LT0），

设平面ABE的一个法向量为3=(8％*2),PE=2PC=2(2,2,-4)=(22,22,^2),

AE=AP+PE=(0,0,4)+(2A,2A,-42)=(2A,2A,4-42),AB=(2,0,0),

b-AB=0[2,x,=0

由〈_____，得〈c/c1(A)八c,令%=2%-2,则％=o，Z2=X,

=

b-AE=02/1%2+22%+(4-4/1Jz20

所以，平面ABE的一个法向量为B=(0,22—2,2),

,川।|曲|2-22|2^/34

由于cos6\=cos<a,b>\=昂A=—~

1114W0xj:4("1li==——17—,

整理得342+24—1=0，•.-0<2<l,解得；l=g.

18.如图，在四棱锥S-ABCD中，侧面SCO为钝角三角形且垂直于底面ABC。，底面为

直角梯形且NA6C=90°,AB=AD=-BC,CD=SD,点舷是S4的中点.

2

（1）求证：30,平面SCD；

（2）若直线S。与底面ABCD所成的角为60。，求S。与平面AffiD所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

14

【解析】（1）取的中点E,连接OE,

设A3=AD=a,BC=2a,依题意，四边形ABED为正方形，

且有BE=DE=CE=a,BD=CD=y/2a，

所以BD?+CD?=BC2,则

因为平面SCO,底面ABC。，平面scon底面A3CD=CD，SHLCD,SHu平面

SCD,SHL底面ABC。，

故DH为斜线SO在底面ABCD内的射影，ZSDH为斜线SD与底面A3CD所成的角,

即NSDH=60°.由(1)得，S£>=J5a，所以在Rt口SHD中，SD=®，SH=^-a，

在口4)〃中，NADH=45°,AD=a,DH=—a，由余弦定理得

2

所以4272+082=")2,从而NAHD=90。，过点。作Db