高中数学-333 导数的实际应用教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

一.创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快

与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，我们可以

对数量的变化规律有一个基本的了解.下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数

在研究函数中的作用.下面一起来看这样一个问题。

问题：图(1),它表示跳水运动中高度〃随时间/变化的函数〃(f)=T.9r+6.5f+10的图

像，图(2)表示高台跳水运动员的速度u随时间，变化的函数u(f)=万«)=-9.8/+6.5的

图像.

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

让学生观察，教师再补充小结。

通过观察图像，我们可以发现：

(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度力随时间，的增加而增加，即〃(。是增

函数.相应地，v(t)=h(t)>0.

(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度。随时间/的增加而减少，即奴。是减

函数.相应地，v(z)=/?'(/)<0.

思考：这种情况是否具有一般性？

二.讲授

1.函数的单调性与导数的关系

(3)

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与导数正负的关系.

函数解析式单调性切线斜率k的正负导数的正负

y=x正正

在(-oo,+oo)上递增

正：正

y=x2在(0,+8)上递增

负负

在(-8,0)上递减

正正

y=x3在(一8,+»)上递增

1负负

y=­在(-8,0)上递减，

X

在(0,物)上递减

思考：从表中，你有什么感受吗?

结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间3,。)内，如果/(幻>0,那么函数y=/(x)在这个区间内单调递增;

如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.

注意：

应正确理解“某个区间”的含义，它必是定义域内的某个区间。

2.回顾函数单调性的判定方法：(定义法)

函数y=f(x)在给定区间D上，当xi、X2且xVX2时

1)都有y1<y2,

则f(x)在D上是增函数；

2)都有y1>yz，

则f(x)在D上是减函数.

思考：平均变化率与导数的正负的关系是什么？

若乃<>2,则包二正泣>0,故导数是正的；若必>为，则包=三二&<0,故

Axx2-x}x2-xl

导数是负的。及以前所学的跟现在所学的的是一样的，没有矛盾。

三.典例分析

例1(选填;“增〃,〃减〃，“既不是增函数，也不是减函数〃)

(1)函数f(x)=x-3,f(x)在［-3,5］上为___函数。

(2)(2)函数£69=/—34.力在［2,+8)上为_函

数，在(一8,1］上为函数，在［1,2］上为函数。

(3)函数f(x)=X3-4X,在［2,+8)上为_____函数，在(-8,1］上为函数,

在［1,2］上为函数。

例2求函数y=3x?-3x的单调区间。

解：由题意可知函数的定义域为R

・・・、，=6x—3

令歹>0得x>—,令y'vO得XV—

22

2

y=3AT—3x的单调递增区间为+8

单调递减区间为1-00,，

I2J

小结：求解函数单调区间的步骤：

(1)确定函数)，=/(彳)的定义域；

(2)求导数y=f(x)；

(3)解不等式f(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间;

(4)解不等式/*)<0,解集在定义域内的部分为减区间.

试一试：判断下列函数的单调性，并求出单调区间.

(I)y=f(x)=x3+3x;

(2)y=f(x)=x2-2x-3;

(3)y=f(x)=x3-3x2

(4)y=/(x)=x-lnx

解：⑴•・,/(%)=/+3x

尸(x)=3/+3=3(/+1)>0

•,J(x)在R上是增函数，

即/5)单调增区间是(-8,+8),无减区间

(2)vf(x)=x2-2x-3;

/.f\x)=2x-2

令f(幻>0,即X>1,财(x)在(1,+8)上是增函数；

令/(好<0,即X<L贝如(X)在(一m,l)上是减函数：

.•J(X)的单调增区间剧1，+8)减区间是(-8,1)

(3)-：f(x)=x3-3x2;

/.f'(x)=3x2-6x

4/'(工)>0,即工>2垢<0,贝V")在(2,+8)和

(-oo,0)上是增函数；

令f(幻<0,即0<x<2,财⑴在(0,2)上是减函数;

.•.73的单调增区间是(2,+8)和(.oo,0),

减区间是(0,2)

(4)由题意可知函数的定义或为(0,+oo)

,/yf=\--

x

由爆得力>1

由｛鼠得0Vx<1

y=/(x)在(1,+8)上是单调增函数，祖0,1)上是单调减函数

.・.y=f(x)的单调增区间用1,+8),单调减区间用0,1)

例3.已知导函数/'(处的下列信息：

当1VXV4时，/(x)>0；

当x>4,或x<l时，/(x)<0；

当x=4,或x=l时，/(x)=0

试画出函数)，=f(x)图像的大致形状.

解：当1VXV4时，/(x)>0,可知y=/(x)在此区间内单调递增；

当％>4,或xvl时，/(x)<0；可知y=/(x)在此区间内单调递减；

当x=4,或x=l时，/(X)=0,这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”.

综上，函数》=/")图像的大致形状如图3.3-4所示.

高考尝试

设/'(幻是函数y=f(x)的导函数，f\x)的图象如左图所示，则y=f(x)的图象

最有可能的是()

CD

备选练习：求证：函数y=2/+3%2_i2x+l在区间(-2,1)内是减函数.

证明：因为y=6x2+6x-12=6(x2+x-2)=6(x-l)(x+2)

当x«—2,l)即一2vxvl时，y<0,所以函数y=2/+3V-i2x+l在区间(―2,1)

内是减函数.

小结：证明可导函数/(X)在(4,3内的单调性步骤：

(1)求导函数/(X)；

(2)判断/(力在(a,b)内的符号；

(3)做出结论：f(x)>0为增函数，/(x)v0为减函数.

四.课堂小结

(1)函数的单调性与导数的关系

(2)求解函数y=/(x)单调区间

(3)证明可导函数f(x)在(凡力)内的单调性

课后思考：1、如果在某个区间内研(》)=0，那么f(x)有什么特征？

2、若函数/(x)在(°,㈤内单调递增，则一定有/(x)>0吗？

若函数/(x)在(4»内单调递减，则一定有/(力<0吗？

课后教学反思；

第一，本课时的定位是探究课.作为一堂探究课,学生是课堂的主体，必须把课堂的时

间交给学生.本教学设计,通过学生熟悉的例题导入并让让学生观察探究原函数的单调性与

其导数符号的关系.最后归纳出：在某个区间(凡。)内，如果f(x)>0,那么函数y=/(x)

在这个区间内单调递增；如果/(幻<0,那么函数)=/(©在这个区间内单调递减.这个

过程一方面借助几何画板工具演示,直观观察原函数与导函数的变化归纳出结论.这里归纳

结论是本教学设计的主要思路：由原函数和其导函数的图像形状，归纳到“数”的相应的性质.

例3的设计是利用归纳出“数”的结论，推导原函数“形”的特征，这是一个开放性的题，只

要学生抓住了问题的本质即可.例2及其变式的设计又是从“数”回到相应的“形”的过程,

注重数形结合思想.

第二，教学设计的例题和变式应体现层次性,思想性.例1的设计有两重用意:一是利用

已知一次函数和二次函数的知识再次验证我们归纳的结论的正确性，前面得到的是通过归纳

得出的结论,没有进行严格的证明,这样处理有利于培养学生严谨的数学思维.二是对于二次

及其以下的多项式函数,不仅可以用导数求解单调区间，也可以用图像法和定义法,都比较简

单.，也为了突出在求三次或三次以上的多项式函数的单调区间或图像上比较难,应用导数法

的优越性.例2及其变式的设计，由二次到三次多项式函数，由出现函数的定义域到隐含函数

的定义域，层次分明，步步递进。

第三,数学思想方法是以知识为载体,依附在具体的数学知识之中，是数学教学的隐

性知识系统.但具体数学知识的数学不能代替数学思想方法的数学.数学思想方法将零散,具

体的数学知识串起来,优化知识结构,迅速构建学生的认知结构,从而对学生的数学思维产生

深刻而持久的影响.相对而言，知识的有效性是短暂的，思想方法则是潜在的，持久的.因此,

方法的掌握,思想的形成,才能使知识转化为能力,才是中学数学教育的最终目标.

全班共有59人，其中女生41人，男生18人.他们活泼好动，对学校的一切从满好奇,

大多数人思维活跃，学习的兴趣较浓，但是他们也存在着一定的差异.通过一个半学期的学

习，大部分学生能掌握课本上的基础知识.但是，由于这部分知识难度较大，也会出现混淆

概念，不会处理一些问题的情况.一个半学期来，大部分学习已经养成了自觉学习的习惯.

但还存在以下问题：

1.有的同学做题不按要求做，马马虎虎，不听老师读题，出现很多提前做，做错的现象

2.学生区分未知数和参数比较困难，对一些知识掌握不牢.

3.三分之一的学生在学习中习惯不好，做题规范不够.

4.学生阅读理解能力有待提亶.

5.还有一些学生不会听课，听课时不知道那些是重点.

改进措施：

1.在平时练习的过程中，要提高学生阅读理解能力.

2.要注重学生对学习数学的习惯的培养.

3.将一些容易混淆的知识、概念重点列举出来让学生记忆.

4.在课堂上，多关注一些好动的学生，多给他们一些眼神提醒，多让他们回答问题.

效果分析

课堂教学效果是教师进行课堂教学的落脚点，一切教学手段的运用和教学方法的选择

最终的目的是课堂教学效果的最大化。教师对每一个教学环节的设计和方式、方法的选择都

要先问自己一声；这样做的效果会怎样？要紧紧围绕有效和高效这一核心要求来组织和开展

教学活动。当然这里所说的效果是一个综合性的教学效果，内容即S腌蜘识储握情况又包

括基本技能的训练效果，同时也包括学生学习能力的培养和道德情感的教育等。

学生是课堂的主体，通过学生表情的变化、思维的速度，回答问题、练习、

测试、动手操作的准确性等信息反馈，可获得教学信息的传输是否畅通，亦可看出新知识新

技能的掌握情况。教学任务是否完成不能只看少数尖子学生，大多数中下学生同样也是知识

的接受体，从他们身上更能体现教学任务是否完成，以及教师的教学水平、教学质量的高低。

总之，本节课在教师的引导帮助下，全体学生的潜力得到很大限度的挖掘，

智加偌时Z驰幡水平悌州吸1%瓣差酵生消（上得了，学生人人学有所得。课堂教学中充

分体现师生平等、教学民主的思想，师生信息交流畅通，情感交流融洽，合作和谐，配合默

契教与学的气氛达到最优化课堂教学效果达到到最大化。教师教得轻松，学生学得愉快。

教材分析

作为新课程高中文科数学选修系列模块，它是由“第一章常用逻辑用语、第二章圆锥曲

线与方程、第三章导数及其应用”三部分内容组成。下边为了便于讨论，我们分章对于教材

作----分析。

1.常用逻辑用语

常用逻辑用语是科学界的通用语言，它更是数学表达的通用基础语言。高中数学课程中的逻辑

用语，是逻辑语言的最基础知识，也是学习高中数学其他内容的基石，由此可见，学生在学

习了必修一以后，逐渐适应了高中数学的学习方法和对数学对象的表述后，正是一个从感性认

识到理性思考的一个转折点，学生学习相关内容也是水到渠成。

本章由四个板块构成，首先介绍了“若p则q”形式命题的逆命题、否命题、逆否命题，并归纳

了它们之间的关系；通过对“若P则q”形式命题真假性的讨论，认识了充分条件和必要条

件；规定了由逻辑联结词联结的复合命题的真假法则。在判断命题的真假性方面，可以利用

互为逆否命题的两个命题真假性相同,互为否定的两个命题真假性相反的结论,采用正难则反的策略,

利用补集思想解决问题；在学习充分条件、必要条件等概念时可以类比集合、联系开关电路

等帮助理解。因此，数学思想的教学也是本节课的重要内容。

教学目标

（1）理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

（2）了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系.

（3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

（4）理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

（5）通过对一个命题的分层探究，学生能将特称命题、全称命题、四种命题及其关系、充

分条件、必要条件和简单的逻辑联结词等知识要点有机地联系起来，能综合运用所学的知识

解决相关问题；

（6）结合对问题的变式探究，学生会用命题的否定、补集的思想和逆否命题处理正难则反

的问题，会利用集合的观点和类比开关电路理解充分不必要条件、必要不充分条件、礴H牛

和既不充分也不必要条件，学会用联系的观点看问题，体会从具体到一般的认知过程，以及

数形结合、转化与化归的思想；

（7）学生会采用变题抽知的方式梳理本章的知识点，会利用联知编网的方法画出本章的知识

结构框图，能系统地列出本章知识内容和思想方法的特点.

教学重点和难点

教学重点：

（1）四种命题的概念及相互关系；

（2）理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断；

（3）判断复合命题真假的方法；

（4）理解全称量词与存在量词的意义.

教学难点：

（1）命题概念的理解及四种命题的相互关系；

（2）命题条件的充分性、必要性的判断；

（3）对“p或q”复合命题真假判断的方法；

（4）正确地判断全称命题和特称命题的真假

课时安排

本章教学时间约需要8课时，具体分配如下：

1.1命题及其关系

约2课时

1.2充分条件与必要条件

约2课时

1.3简单的逻辑联结词

约2课时

1.4全称量词与存在量词

约1课时

小结与作业

约1课时

2.圆锥曲线与方程

圆锥曲线这一章研究的对象是图形，包括三种曲线：椭圆、双曲线、抛物线，我们知道，

曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在解析几何里用坐标法研究曲线的搬程序是：

建立适当的坐标系；求出曲线的方程；利用方程讨论曲线的几何性质；说明这些性质在实际

中的应用，“圆锥曲线”一直是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方

面有着不可替代的作用.解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，

因而这一部分的题目的综合性比较强.

教学目标

(1)了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

(2)经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.

(3)了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.

(4)通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.

(5)了解圆锥曲线的简单应用.

教学重点和难点

教学重点

(1)椭圆的定义和椭圆的标准方程.

⑵椭圆的几何性质、通过几何性质求椭圆方程.

(3)双曲线的定义和及其标准方程.

(4)双曲线的几何性质、双曲线的准线与几何性质的应用

(5)抛物线的定义和抛物线的标准方程

(6)抛物线的几何性质及初步运用.

教学难点

(1)椭圆标准方程的推导.

(2)椭圆离心率的概念的理解.

⑶双曲线标准方程中a与b的判断和换元法.

⑷双曲线的渐近线.双曲线离心率、准线方程与双曲线关系.

(5)抛物线的几何性质的应用.

知识结构与教学安排

课时安排

本章教学时间约需要12课时，具体分配如下:

2.1椭圆约4课时

2.2双曲线约3课时

2.3抛物线约3课时

实习作业约1课时

小结约1课时

3.导数及其应用

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及广泛应用开创了向近代数学过度的新时期，它为

研究变量一函数提供了重要的方法与手段。导数的概念是微积分的核心概念之一。它有及

其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均

变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的含义，体会导数的思想及

其内涵；应用导数探索函数的单调、极值等性质及其在实际中的应用，感受导数

在解决数学问题和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值。

教学目标

(1)导数的概念及其几何意义

a.通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，了解

导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵(参

见例2,例3)

b.通过函数图像直观的理解导数的几何意义。

(2)导数的运算

a.能根据导数的定义，求简单函数的导数

b.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数

的导数。

c.会使用导数公式表。

(3)导数在研究函数中的应用

a.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系(参见例4)；

能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

b.结合函数的饿图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用

导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的

多项式函数的最大值、最小值。

(4)生活中的优化问题举例

例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实

际问题中的作用.

(5)数学文化

收集有关微积分创立的时代背景和有关任务的资料，并进行交流；体会微积分

的创立在人类文化发展中的意义和价值。

教学重点和难点

教学重点：

(1)平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；瞬时速度、瞬时变

化率的概

念、导数的概念；

⑵曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义

⑶四种常见函数的导数公式及应用

(4)基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导方法

(5)利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

(6)求函数的极值.

⑺利用导数求函数的最大值和最小值的方法利用导数解决生活中的一些优化

问题.

教学难点：

⑴平均变化率的概念，导数的概念，导数的几何意义

⑵四种常见函数的导数公式

(3)基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用及正确分解复合函数

的复合过程

(4)利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

(5)严格套用求极值的步骤.

⑹函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系

⑺利用导数解决生活中的一些优化问题.

知识结构与教学安排

课时安排

本章约需要16个课时，具体分配如下：

3.1变化率与导数

约4课时

3.2导数的计算

约3课时

3.3导数在研究函数中的应用

约3课时

3.4生活中的优化问题举例

约4课时

实习作业

约1课时

小结

约1课时

评测练习

（2013年高考四川卷（文3））如图，在复平面内，点4表示复,A

数N,则图中表示z的共钝复数的点是（）一"?

A.AB.BC.CD.D~------o-------

v3'"C

2.

设双曲线C的两个焦点为(-5万,0)，(JIo)，

一个顶点是(1,0),则C的方程为.

3.

已知抛物线G的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线G：三-二=1的一个焦点不且

ab

垂直于G的两个焦点所在的轴，若抛物线G与双曲线G的一个交点是:手).

(1)求抛物线G的方程及其焦点F的坐标；

(2)求双曲线G的方程及其离心率。•

4.

直线j=h・2交抛物线y2=8x于A^B两点，

若AB中点的横坐标为2,则片.

5.已知函数f(x)=；x2+sin(]+x),(。)是函数f(x)的导函数，则(。)的图象是

10.已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为』，E的右焦点与抛物线C：V=8x的焦点

2

数学复习课试卷讲评课课后反思

试卷讲评课是在实际教学中感觉比较难把握的一种课型。但它又是课堂教学中一个必

不可少的重要的环节。试卷讲评课实施的好坏直接影响到学生查漏补缺的质量。

一、课前的准备

1、确定讲评内容：我认真翻阅了学生的试卷，分析学生答题的情况，发现同学们存在“做

不完、做不规范、做不来”的现象，逐一统计了学生答题的错误情况，进行分析，找出错误

原囚，确定试卷讲评分两节课来完成，笫1课时主要讲评试卷中有关失误的试题。

2、制作课件：确定了讲评内容后，精选练习，开始着手制作课件。

二、课堂教学的实施

本节课教师不唱独角戏，通过学生积极主动参与，师生互动，使课堂教学过程成为学生认

识自己的过程。在老师的引导下，学生进行自我反思，自主探究，能有所发现，有所提高，

课堂成为学生展示聪明才智的大舞台。

1、教师的主导地位（1）组织、策划者

我不把试卷讲评课变成简单的对答案或从第一题讲到最后一题，变成面面俱到的讲解。而

是以在试卷中学生典型的错误和学生答题中的亮点（有新颖的思路和独到的解答）为载体,

设计了“展示一一学生解说一一学生自我诊断一一拓展变式一一解后反思”的一组学生参与

活动。老师引导同学进行解后反思，学生再完成针对性练习，这样，教师为学生自主探究创

设一个良好流程，充分调动学生积极性，促进合作与交流，使学生成为课堂的主人。

（2）引导者、参与者。

教师应该积极参