初二数学初二数学下册四边形综合测试题及答案

八年级数学下册四边形综合测试题（一）

（时间45分钟，共100分）

姓名：班级：得分：_______________

一、选择题（每题5分，共30分）

1、十二边形的内角和为（）

A.1080°B.1360°C、1620°D、18000

2、能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）.

（A）AB/7CD,AD=BC;（B）ZA=ZB,ZC=ZD;

（B）（C）AB=CD,AD=BC;（D）AB=AD,CB=CD

3、下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.

4、菱形ABCD的对角线长分别为6cm和8cm,则菱形的面积为（）

A.12,B.24C.36D.48

5.下列说法不正确的是（）

（A）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；（B）对角线互相垂直平分的四边形是菱形;

（C）对角线垂直的菱形是正方形；（D）底边上的两角相等的梯形是等腰梯形

6、如图1,在平行四边形中，CELAB,E为垂足.如

果/4=125°,则N6CE=()

A.55°B.35°C.25°D.30'

二、填空题（每题5分，共30分）

7、顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是.

8、如图2,矩形Z3C。的对角线NC和

8。相交于点。，过点。的直线分别交

和8c于点E、F,AB=2,BC=3,

则图中阴影部分的面积为.

尸图2

9、如图3,若LJABCD与LJEBCF关于BC

所在直线对称，NABE=90°,则N

F=°

图3

10、如图4,把一张矩形纸片N8C0沿"

折叠后，点C,。分别落在C',。'的位置

上，EC'交AD于悬G.则4EFG形状为

11,如图5,在梯形ABCD中，

AD//BC,

Z5=45°,ZC=90°,4)=1,BC=4

则AB=________

D

12.如图6,AC是正方形ABCD的对角线，

AE平分NBAC,EF1AC交AC于点F,若BE=2,

则CF长为

三、解答题（每题10分，共40分）

13、（10分）已知：如图7,E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF«

求证：NCDF=ZABE

14、（10分）如图8,把正方形N8CD绕着点Z,按顺时针方向旋转得到正方形ZEEG,

边FG与BC交于点H.求证：HC=HF.D,____________C

二

图8

E

15、（10分）已知：如图9,在△45C中，AB=AC,ADLBC,垂足为点。，AN是八AB

外角/C4M的平分线，CELAN,垂足为点E,猜想四边形NOCE的形状，并给予证明.

16、（10分）如图10,在梯形纸片ABCD中，AD//BC,AD>CD,

将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折

痕DE交BC于点E,连结CE.

求证：四边形CDCE是菱形.

“拓展创新”时间30分钟,共50分,

一、选择及填空题（每题5分，共10分）

1、如图11,在菱形/BCD中，NBAD=

80°,的垂直平分线交对角线ZC于

点、E,交于点F,尸为垂足，连接DE,

则ZCDE=度

2.如图12,四边形是矩形，尸是“。上一点，E是圆延长线上一点，且四边形

ZEb是等腰梯形.下列结论中不二年正确

的是().

(A)AE=FC(B)AD=BC

(C)NAEB=NCFD(D)BE=AF

二、填空题(每题5分，共10分)

3、如图13,已知：平行四边形ABCD中，

4BCD的平分线CE交边AD于E,

N/8C的平分线3G交CE于F,交

于G.若AB=4cm,AD=6cm,则

EG=cm.

4、将矩形纸片按如图14所示的方式折叠，得到菱形/EC凡若/8=9,则ZC的

长为_________

三、解答题(每题15分，共30分)

5、一次数学活动课上，老师留下了这样一道题”任画一个aABC,以BC的中点O为对

称中心，作4ABC的中心对称图形，问^ABC与它的中心对称图形拼成了一个什么形状

的特殊四边形？并说明理由

于是大家讨论开了，小亮说：“拼成的是平行四边形”；小华说：“拼成的是矩形”；

小强说：“拼成的是菱形”；小红说：“拼成的是正方形”；其他同学也说出了自己的

看法……你赞同他们中的谁的观点？为什么？若都不赞同，请说出你的观点(画出图形)，

并说明理由

6、如图15-1,已知点P是矩形ABCD内一点，PA、PB、PC、PD把矩形分割成四个三

角形，小东对该图形进行了研究。为了探究的需要，小东过点P作PELAD交BC于F,

通过一番研究之后得出两条重要结论：（1）SHPB+SACTO=^MPD+Sgpc，

（.2）PA2+PC2=PB2+PD2；

1）请你写出小东探究的过程.

2）当P在矩形外时，如图15-2,上述两个结论是否仍成立？若成立，请说明理由;

若不成立，请写出你猜想的结论（不必证明）

《“四边形”综合测试题（一）》参考答案

基础巩固

一、选择题

1、D2、C3、A4、B5、C.6、B

二、填空题

7、平行四边形8、3.9、45°10、等腰三角形11、3行12.2

三、解答题

13、证明：（1）：ABCD是平行四边形，，DC=AB,DC〃AB,

AZDCF=ZBAE，:AE=CF,AAADF^ACBE,ZCDF=ZABE

14、如图8,把正方形NBC。绕着点4,按顺时针方向旋转得到正方形ZEEG，边FG与

BC交于点、H.求证：HC=HF.

解：证明：连结/”，•.•四边形/BCD,NEFG都是正方形.

/8=NG=90°,AG=AB,BC=GF,又AH=AH.

RtAAGHRtAABH(HL),：.HG=HB,AHC=HF.

15、解：猜想四边形ZDCE是矩形。

证明：在△/BC中，AB=AC,ADA.BC.：.ZBAD=ZDAC.

,：AN是△/8C外角/CAM的平分线，

ZMAE=ZCAE.ZDAE=ZDAC+ZCAE=-x\S0°=90c.又；

2

AD1.BC,CELAN,：.ZADC=ZCEA=90°,：.四边形

为矩形.

16、证明：根据题意可知bCDE三bCDE

则CD=CD,ZC'DE=ZCDE,CE=C'E

,ZADZ/BC.\ZC，DE=ZCED,AZCDE=ZCED.\CD=CE

CD=C'D=C'E=CE，四边形CDC'E为菱形

“拓展创新”，

二、选择题

1,6002,D

三、填空题

3、2cm4、6-\/3

三、解答题

5、解：不赞同他们的观点，因为AABC形状不确定，所以应分情况讨论.

(1)若AABC中，且NA4cH90°时，如图1、图2.4ABC与它的中心对称

图形拼成了一个平行四边形.理由：：B与C、A与D关于。对称，...OAuOD,OB=OC,

...四边形ABDC是平行四边形.

(2)若AABC中，Z6=〃C且/历1C。90°时，如图3、图4.Z\ABC与它的中心对称

图形拼成一个菱形.理由：：B与C、A与D关于O对称，.*.OA=OD,OB=OC,AB=AC

四边形ABDC是菱形.

C

AC图6

图5

B

(3)若aABC中，48,ZC且NA4c=90°时，如图5,Z^ABC与它的中心对称图形

拼成一个矩形.理由：：B与C、A与D关于O对称，AOA=OD,OB=OC,:

/8HNCN8ZC=90。，.•.四边形ABDC是矩形.

(4)若AABC中，4B=/C且NB/C=90。时，如图6,Z\ABC与它的中心对称图形

拼成一个正方形.理由：：B与C、A与D关于O对称，，OA=OD,OB=OC,VAB=AC,

ABAC=90°,四边形ABDC是正方形..

6、1)证明：(1)•.•矩形ABCD中，PE_LAD,...四边形ABFE和四边形CDEF都是矩

形，S3PB=/S矩形/BFE，SACH,=2S矩形COEF，'S41PB+SAW。=5S矩形

SMPB+SACPD=S^PD+Sgpc。

(2)•..矩形ABCD中，PE±AD,；.由勾股定理，得

PA2=AE-+PE2,PC2=PF2+FC2,PB2=BF2+PF2,PD2=PE2+DE2；

：.PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+FC2；PB2+PD2=BF1+PF2+PE2+

。炉四边形ABFE和四边形CDEF都是矩形，，AE=BF,DE=CF,

PA2+PC2=PB2+PD2

2).当P在矩形外时;结论(1)不成立；应为结论=SAB/<—5曲仞

结论(2)仍然成立.

理由：同1)中证明(2).

2013中考数学压轴题

安徽22.如图1,在△Z8C中，D、E、尸分别为三边的中点，G点在边上，XBDG

与四边形/CDG的周长相等，设8C=a、AC=b、AB=c.

(1)求线段8G的长；(2)求证：0G平分NEOF;

(3)连接CG,如图2,若△BOG与△OFG相似，求证：BG^CG.

解(1)：。、C、F分别是△NBC三边中点：.DE//-AB,DF//-AC,

=2-2

又,:/\BDG与四边形ACDG周长相等

BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG

AB+ACb+c

：：：

.BG=AC+AG'BG=AB-AG.BG=2­

-b+cb+ccb

(2)证明：BG=-------,FG=BG~BF=---------

2222

：.FG=DF,：.ZFDG=NFGD又*:DEMAB

：.ZEDG=ZFGDZFDG=ZEDG；.DG平分NEDF

(3)在△。尸G中，NFDG=/FGZ),△OFG是等腰三角形,

,/XBDG与△。尸G相似，二/XBDG是等腰三角形，,NB=NBGD,：.BD=DG,

则CD=BD=DG,：.B、CG、三点共圆，ZBGC=9O0,：.BGLCG

23.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从。点正上方2〃i的4处发出，把球看

成点，其运行的高度y("?)与运行的水平距离x(⑼满足关系式尸始一6人〃.已知球网与0

点的水平距离为9加，高度为2.43加，球场的边界距O点的水平距离为18机。

(1)当〃=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)

(2)当力=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求〃的取值范围。

23解：(1)把％=0,尸2,及h=2.6代入到y=a(x—6)2+/J即2=a(0—6)?+2.6,a=--—

60

1

..y=----(x-6)2+22.6

60

(2)当。=2.6时，尸----(x—6)2+2.6x=9时，尸-----(9—6)2+2.6=2.45>2.43/.

“60'60

球能越过网

42—〃72+3/zq2—h2cr7

x=9时，y=----(9-6)~+〃=------>2.43①x=18时，y=----(18—6)~+〃8—3〃

36436

Q

>0②由①②得后一

3

北京8.小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点/出发，沿箭头所示方向经过点

8跑到点C,共用时30秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小

翔跑步的时间为，（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与/的函数关

系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的

，.点WB.点、NC.点PD点。

Ol-i2345678910111213•*

【解析】D

12.在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点

/（0,4）,点8是x轴正半轴上的整点，记△力。8内部（不包括边界）的整点个数为

川.当机=3时，点8的横坐标的所有可能值是；当点8的横坐标为4〃（〃

为正整数）时，机=（用含〃的代数式表示.）

【解析】3或4；6"-3

」匕京24.在△Z8C中，BA=BC,NBAC=a,M是4C的中点，P是线段8M上的动

点，将线段PA绕点P顺时针旋转2a得到线段PQ。

（1）若a=60。且点尸与点加重合（如图1）,线段C0的延长线交射线8M于点

请补全图形，并写出NCD8的度数；

（2）在图2中，点尸不与点8,“重合，线段C。的延长线与射线5M交于点Q,

猜想N88的大小（用含a的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的a,当点尸在线段上运动到某一位置（不与点8,〃重

合）时，能使得线段C。的延长线与射线8”交于点。，且请直接

写出a的范围。

【解析】

ZCD5=30°

(2)连接尸C,/。，易证△NPOgZSCPO/.AP=PCZADB=ZCDB

Z.PAD=4PCD

又•/PQ=PA：.PQ=PC,ZADC=2ZCDB,NPQC=ZPCD=NPAD

：.NPAD+NPQD=ZPQC+Z.PQD=180°

ZAPQ+ZADC=360°-{APAD+PQD)=180°

Z.ADC=180°-Z.APQ=180°-2a/.2ZC£>B=180°-2a

ZCDB=90°-a

(3),?ZCDB=90°-a,且PQ=QD

：.NPAD=ZPCQ=APQC=1Z.CDB=180°-la

J•点户不与点8,A/重合ABAD>Z.PAD>AMAD：.2a>180°-2a>a

45°<a<60°

25.在平面直角坐标系x°y中，对于任意两点々（西，必）与鸟（々，%）的''非常距离”，给出

如下定义：

若|再一%|》|必一%I，则点耳与点鸟的“非常距离”为|%-％I；

若I再—NIV凶fI，则点耳与点石的“非常距离”为|%-4I•

例如：点片（1,2）,点g（3,5）,因为|1一3|<|2-5|,所以点6与点鸟的“非常距离”

为|2-5|=3,也就是图1中线段耳。与线段6。长度的较大值（点。为垂直于y轴的

直线片。与垂直于x轴的直线鸟。的交点）。

（1）已知点<（-；,0）,8为y轴上的一个动点，

①若点Z与点8的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点8的坐标；②直接写出点N与

点5的“非常距离”的最小值；

（2）已知C是直线y=：x+3上的一个动点，

①如图2,点。的坐标是（0,1）,求点C与点。的“非常距离”的最小值及相

应的点C的坐标；

②如图3,E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的

“非常距离”

的最小值及相应的点E和点C的坐标。

图2图3

【解析】⑴①(0,-2)或(0,2)②g

(2)①设C坐标1°,(%+3).•.当一%=1%+2此时•••距离为g此时

4-鸿)

Yqq)

②-I-^=|AO+3-1

最小值lo

重庆10.已知二次函数尸af+bx+c（。0）的图象如图所示对称轴为x=-2下列结论

中，正确的是（）

A.ahc>0B,a+h=OC.2什c>0D.4a+c<2h

解答：解：Z、：开口向上，，a>0,；与y轴交与负半轴，...cVO,

•.•对称轴在y轴左侧，，-上VO,...bX),.•.McVO,故本选项错误；

2a

5、•对称轴：x=--=-A,/.a=b,故本选项错误；。、当x=l时，〃+b+c=2HcV0,故

2a2

本选项错误；

；对称轴为―-工，与X轴的一个交点的取值范围为X|>1,...与X轴的另一个交点的

2

取值范围为X2<-2,

...当x=-2时，4a-2b+c<0,即4a+c<26,故本选项正确.故选D

16.甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌.规定每人最多两种取法，甲每次

取4张或(4-8张，乙每次取6张或(6-8张(左是常数，0〈人V4).经统计，甲共

取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张数恰好

相等，那么纸牌最少有108张.

分析：设甲。次取(4-k)张，乙6次取(6-k)张，则甲(15-a)次取4张，乙(17

-h)次取6张，从而根据两人所取牌的总张数恰好相等，得出。、方之间的关系，再有取

牌总数的表达式，讨论即可得出答案.

解答：解：设甲。次取(4-%)张，乙方次取(67)张，则甲(15-a)次取4张，

乙(17-6)次取6张，

则甲取牌(60-Aa)张，乙取牌(102-kb)张，则总共取牌：N=a(4-4)+4(15-a)

+6(6-左)+6(17-6)=-4(a+b)+162,

从而要使牌最少，则可使N最小，因为人为正数，函数为减函数，则可使(a+b)尽可能

的大，由题意得，a<15,b<16,

又最终两人所取牌的总张数恰好相等，故人(6-a)=42,而0〈人<4,6-a为整数，

则由整除的知识，可得人可为1,2,3,

①当仁1时，6-a=42,因为aW15,b<16,所以这种情况舍去；

②当Q2时，b-a=21,因为处15,后16,所以这种情况舍去；

③当A=3时，b-a=14,此时可以符合题意，

综上可得：要保证处15,后16,h-a=14,（。+力）值最大，则可使8=16,a=2；6=15,a=\；

6=14,。=0；

当b=16,a=2时,a+b最大，”+力=18,继而可确定公=3,（a+b）=18,所以N=-3x18+162=108

张.

故答案为：108.

重庆企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过

企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试

阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行.1至

6月，该企业向污水厂输送的污水量川（吨）与月份x（l<x<6,且x取整数）之间满足的

函数关系如下表：

月份X（月）123456

输送的污水量力（吨）1200060004000300024002000

7至12月，该企业自身处理的污水量及（吨）与月份x（7<x<12,且x取整数）之间满足

二次函数关系式为^2=依2+C（。。0）.其图象如图所示.1至6月，污水厂处理每吨污

水的费用：Z1（元）与月份x之间满足函数关系式：Z1='x,该企业自身处理每吨污水

112

31

的费用：z,（元）与月份X之间满足函数关系式：z,=-x-—x27至12月，污水厂

22412;

处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.

（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知

识，分别直接写出乂，旷2与x之间的函数关系式；

（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用此（元）最多，并求出这个最多费

用；

（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水

全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同

时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a-30)%,为鼓励节能降耗，减

轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助.若该企业每月的污水处理费用

为18000元，请计算出a的整数值.(参考数据：7231^15.2,7419=20.5,何永28.4)

解答：解：(1)根据表格中数据可以得出斫定值，则内与x之间的函数关系为反比例函

数关系：yi=K将(1,12000)代入得：A=lx12000=12000,故？=12000(6烂6,且x

xx

取整数)；

根据图象可以得出：图象过(7,10049),(12,10144)点，代入y2=ax2+c3#0)得:

ri0049=49a+c,

110144=144a+c，

解得：fa=l,故及=/+10000(7<x<12,且x取整数)；

lc=10000

1200Q

(2)当1SW6,且x取整数时：吟1修+(12000-y\)«x2=»lr+(12000-12000)

x2x

•(&--A^x2),

412

=-1000x2+10000x-3000,"：a=-1000<0,x=-A=5,l<r<6,二当x=5时，IV^=22000

2a

(元)，

2

当7-12时，且x取整数时，少=2、(12000-yt)+\.5y2=2^<(12000-x-10000)+1.5

(x2+10000),=-ir2+1900,

2

,•a=-A<0,x=--^0,当7仝$12时，3随x的增大而减小，.••当x=7时，/展大=18975.5

22a

(元)，V22000>18975.5,

.••去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；

(3)由题意得：12000(1+a%)xi,5x[l+(°-30)%]x(1-50%)=18000,设片。％,整

理得：10f+17L13=0,

解得：/=J7±?/S09,V7809=28.4,.,“产0.57,35-2.27(舍去)，二心57,

20

答：。的值是57.

26.已知：如图，在直角梯形中，AD//BC,ZS=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为

BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.

(1)当正方形的顶点尸恰好落在对角线/C上时，求8E的长；

(2)将(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B'EFG,

当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为K正方形夕EFG的边用■与/C交于点

M,连接夕。，B'M,DM,是否存在这样的f,使是直角三角形？若存在，求出，

的值；若不存在，请说明理由；

(3)在(2)间的平移过程中，设正方形夕MG与△力。C重叠部分的面积为S,请直接写

出S与f之间的函数关系式以及自变量，的取值范围.

解答：解：(1)如图①，设正方形5E/G的边长为x,贝ij8E=FG=8G=x,

•.78=3,BC=6,：.AG=AB-BG=3-x,

,:GF〃BE,:.AAGFSAABC,.•.整0,即三12=^，解得：x=2,即8E=2；

AB-BC36

(2)存在满足条件的f,

理由：如图②，过点力作DHJ-BC于H,则8"=/。=2,DH=AB=3,

由题意得：BB'=HE=t,EC=4-t,

在放中，B'M2=ME2+B'E2=22+(2-L)2=1/2-2?+8,

24

,JEF//AB,:./\MECS/\ABC,，典型，即蛙二4一1：.ME=2-1/,

AB-BC3~62

在RtADHB，中,B'D2=DH2+B'H2=32+(Z-2)2=？-4/+13,过点A/作MNA.DH于N,

则MN=HE=t,NH=ME=2-L,：.DN=DH-NH=3-(2-L)=L+1,在RtADMN中，

222

DM2=D!^+MN2=^t2+t+l,

4

2

(I)若NDB，M=90。,贝即52+H上,2?+8)+(z-4/+i3),解

44

得：z=2p,

7

(n)若N度MD=90。,则夕。2=夕序+。序，即/-4什13=&-2什8)+&+什1),

44

解得：；1=-3+VTT>h=-3-V1V(舍去)，，片-3+717

(III)若N8'0A/=9O°,贝118'/02=Q。2+。序，即：42_2f+8=(；2-4Z+13)+(-^2+/+1),

44

此方程无解，

综上所述，当片干或-3+0万时，△夕DM是直角三角形；

(3)①如图③，当尸在8上时，EF：DH=CE：CH,即2：3=CE：4,：.CE=^,

3

：.t=BB'=BC-B'E-EC=6-2--§=-^,'：ME=2-；.FM=L,当g江&时，

33223

224

②当G在/C上时，t=2,;EK=EC”anNDCB=EC•咽2(4-f)=3-3,：.FK=2-EK=3

CH444

-1,

，：NL旦D=&,：.FL=t-&,：.当乌〈也2时，S=SMMN--3(f-9)(昌-1)=

33334234

-lt2+t-2

83

③如图⑤，当G在CD上时，B'C：CH=B'G-DH,即夕C：4=2：3,解得：B'C=^,

3

EC=4-t=B'C-2=Z，片以，"/B'N=h'C=l(6-f)=3-L,VGN=GB'-B'N=4-1,

332222

2

当时，S=S稀彩GNMF-5AFKZ.=1X2X(1/-1+L)-1(r-J)(昌-1)=-^t+2t

32222348

④如图⑥，当理〈"4时,，"：B'L=^B'C=1(6-Z),EK=^EC=^(4-/),B'N=1B'C=1(6

3444422

-t)EM=1EC=1(4-/),

22

S=S梯形A/NLLS梯形8'EKL~S梯形S'£A/N=-L+也.综上所述：

22

当0&三&寸，s=l?,当9＜栏2时，S=-2?+L2；当2＜二心时，S=-多+2/一旦当理

343833833

〈性4时，S=-L+百

图⑤图⑥

福建福州1。.如图，过点C(l,2)分别作X轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于/、

8两点，若反比例函数y=kx(x>0)的图像与△N8C有公共点，则％的取值范围是

A.2W及9B.2<k<SC.2<k<5D.5W长8

解答：解：：点C(l,2),8C〃P轴，/C〃x轴，.•.当x=l时，y=-l+6=5,

当y=2时，-x+6=2,解得x=4,，点N、2的坐标分别为N(4,2),5(1,

5)，

根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，4=卜2=2最

小，

设与线段N8相交于点(x,—x+6)时左值最大，则4=x(—x+6)=—x?+6x=—

(X-3)2+9,

Vl<x<4,A当x=3时，左值最大，此时交点坐标为(3,3),因此，%的取值

范围是2W上9.

故选4

15.如图，己知△48C,AB=4C=l,N/=36。，N/2C的平分线8。交NC于点。，则

AD的长是,cosA的值是.(结果保留根号)

解答：/XABC,N8=ZC=1,NZ=36。，/.ZABC^ZACB=180°-ZA2=72°.

；8。是//8C的平分线，AZABD=ZDBC=12ZABC=36°.：.ZA=ZDBC=36°,

又：NC=/C,:.△ABCS^BDC,ACBC=BCCD,

设/。=x,则8D=BC=x.则lx=xl-x,解得：x=5)+12(舍去)或5)—12.故x=5)

—12.

如右图，过点。作。于点E,VAD=BD,

...£1为中点，即/E=1248=12.在RfA4ED中,cos4=AEAD=12\r(52=5)+14.

故答案是：5)-12；5)+14.

福建福州21.如图①，在放△MC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,动点、P从点4开

始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点。从点C开始沿边CB向点8以

每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD〃BC,交AB于点D,连接尸。.点尸、0分

别从点/、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为

t秒伦0).

(1)直接用含f的代数式分别表示：QB=,PD=.

(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说

明理由.并探究如何改变点0的速度(匀速运动)，使四边形PA80在某一时刻为

菱形，求点。的速度；

(3)如图②，在整个运动过程中，求出线段P。中点M所经过的路径长.

解答：解：⑴08=8-21,PD=43t.

图，图3

(2)不存在.

在R/ZXABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,/8=10.

PD//BC,：.△APDsZCB,：.ADAB=APAC,即：AD10=t6,AAD

=537,8。=/8—4。=10-53人

VBQ//DP,：.当80=。尸时，四边形尸。8。是平行四边形，即8—2f=437,

解得：1=125.

当f=125时，尸。=43/125=165,80=10-53x125=6,DP丰BD,：.oPDBQ

不能为菱形.

设点。的速度为每秒v个单位长度，则8。=8—W,PD=43t,8。=10—53f.

要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ,

当包)=8。时，即43/=10—537,解得：7=103.

当PD=BQ时,1=103时，即43x103=8—103v,解得：n=1615.

(3)解法一：如图2,以C为原点，以NC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.

依题意，可知0WZS4,当r=o时，点/1的坐标为(3,0)；

当f=4时，点%的坐标为(1，4).设直线M%的解析式为

二3k+b=0k+b=4),解得：k=—2b=6).二直线Mi区的解析式为^=一

2x+6.

1•点。(0,2t),P(6-t,0),；.在运动过程中，线段尸0中点此的坐标为

(6-t2,/).

把x=6—12,代入y=-2x+6,得夕=一2乂6—12+6=八.•.点%在直线

M此上.

过点此作此N_Lx轴于点N,则此"=4,MN=2.AM]M2=25.

线段PQ中点/所经过的路径长为25单位长度.

解法二：如图3,设E是/C的中点，连接ME.

当f=4时，点。与点8重合，运动停止.设此时尸。的中点为R连接£厂.

过点M作A/MLZC,垂足为M则8c.^PMN^/\PDC.

：.MNQC=PNPC=PMPQ,即：MN2t=PN6—t=12.；.MN=t,PN=3-12t,：.CN

=PC-PN=(6-t)~(3-[2t)=3-12t.

:.EN=CE—CN=3—G—12t)=12r.，S〃/MEN=MNEN=2.

VtanZMEN的值不变，，点M在直线EF上.

过F作F，_L4C,垂足为H.则E//=2,FH=4.：.EF=25.

当f=0时，点"与点E重合；当尸4时，点M与点尸重合，.•.线段PQ中点M所

经过的路径长为25单位长度.

22.如图①，已知抛物线、=62+法(中0)经过1(3,0)、8(4,4)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将直线08向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D,

求m的值及点D的坐标;

(3)如图②，若点N在抛物线上，且NNBO=NABO,则在(2)的条件下，求出所有满

足△POOs△N08的点P的坐标(点P、。、。分别与点N、。、8对应).

解：(1)：抛物线y="2+以(存0)经过点工(3,0)、8(4,4).

9a+3b=016a+4b=4),解得：a=lb=-3).抛物线的解析式是y=

(2)设直线。8的解析式为歹=人n，由点8(4,4),得：4=4左，解得抬=1.直线

OB的解析式为y=x.

•••直线。8向下平移机个单位长度后的解析式为：y=x-m.

•点。在抛物线y=f—3x上.二可设。(x,X2-3X).又点。在直线y=x

~m上，

x2—3x=x—m,即》2—4工+机=0.

•••抛物线与直线只有一个公共点，•••A-16-4/W=0,解得：机=4.

此时X1=X2=2,y=x2—3x=-2,六。点坐标为(2,—2).

(3)V直线OB的解析式为y=x,且/(3,0),...点A关于直线OB的对称点A'

的坐标是(0,3).

设直线，8的解析式为y=^x+3,过点8(4,4),二4昭+3=4,解得：叫=

14.

直线，2的解析式是y=14x+3.

•/ZNBO=ZABO,：.点N在直线Z5上，设点N(〃，14〃+3),又点N

在抛物线y=d—3x上，

14〃+3="2—3〃，

解得：〃i=-34,“2=4(不合题意，会去)，，点N的坐标为(一34,4516).

方法一：如图1,将△NO8沿x轴翻折，得到△M05,则Ni(-34,—4516),

5(4,-4),

，。、D、当都在直线^=一》上.

△P\ODS/\NOB,△尸。。6/\乂081，,OP1ON1=ODOB1=12,二

点修的坐标为(-38,-4532).

将△。尸。沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点尸2(4532,38).

综上所述，点P的坐标是(-38,—4532)或(4532,38).

方法二：如图2,将△NO3绕原点顺时针旋转90。，得到△电。&,则M(4516,

34),&(4,-4),

/.。、D、生都在直线^=一彳