【三对角行列式的计算方法探究4100字（论文）】

三对角行列式的计算方法研究目录TOC\o"1-2"\h\u11776前言 1260581三对角行列式的概念 185242三对角行列式计算方法 292992.1化三角形法 282062.2数学归纳法 3281862.3递推法 543932.4特征根法（线性递归法） 8198642.5用幂级数变换计算三对角行列式 10327433斐波那契数列与三对角行列式 13268324小结 1519075参考文献 16摘要：行列式是高等数学中重要的组成部分，是线性方程组、向量空间和线性代数的基础，而三对角行列式是行列式中一种重要且特殊常见的类型，近年来也备受考研命题人所青睐，并且随着阶数的增加计算变得更加复杂，因此对三对角行列式计算方法的研究显得尤为重要，本文首先介绍三对角行列式的概念，然后把三对角行列式计算方法进行归纳总结，包括化三角形法、数学归纳法、递推法、特征根法、幂级数变换等，并例举出相应例题巩固方法理论，最后简要介绍利用三对角行列式求与斐波那契数列的通项公式，体现出三对角行列式理论与实际相结合的价值.关键词：三对角行列式；特征根法；三角形法；数学归纳法；递推法;前言三对角行列式的产生伴随着行列式的出现而出现，而行列式理论产生于17世纪末，在19世纪末理论体系已基本形成，先是由英国数学家马克劳林给出的比德国数学家莱布尼茨更明确的概念，随后瑞士数学家克拉默、法国数学家拉普拉斯和柯西等人前后对行列式做出了很多的研究与贡献，为数学的发展奠定了重要的基础，因此三对角行列式的到来伴随着这些数学家的理论而相继出现，具体背景可以参看文献[1-3]，随着越来越多人对特殊行列式的研究，三对角行列式就备受着关注，包括三对角行列式的概念、表达式、应用、解法等.近几年的一些考研数学辅导书籍或者相关文献等对三对角行列式的解法层次不穷。比如有文献[4-6]等，但是如果知识储备的数量和质量有限的话对于有些文献提到的求解三对角行列式的方法理解起来会些许复杂，比如文献[7-10],因此综合这些文献的影响，把容易理解的三对角行列式求解方法和三对角行列式的应用在本文中进行阐述，并例举出例题巩固相应的方法，通过学习加深自己对行列式进一步理解，扩宽知识视野，提高自己归纳能力和独立探究能力.1三对角行列式的概念三对角行列式是指主对角线上的元素与主对角线上方和下方第一条次对角线上的元素不全为零，行列式其余元素为零[11]，可以形象的表示为：或者.2三对角行列式计算方法2.1化三角形法依据行列式的性质将其转化为上三角型或者下三角型行列式，这个方法是我们化解行列式的一种最常见的方法，将此方法放到三对角行列式中有时候也是使用，特别是针对低阶的三对角行列式来说非常实用，可参看文献[12].例1解将主对角线下方的元素化为零，可尽量使首行首位元素为1，这样化简不涉及分数运算.例2[13]解将主对角下方元素化为零2.2数学归纳法如果阶行列式结构上有很好的规律性且行列式的值与有关，可以考虑用数学归纳法.数学归纳法有两种形式：验证时，命题成立，假设时命题正确，证明时命题也正确；验证和时命题成立，假设命题正确，证明命题也正确.应用这方法主要是解决三对角行列式中的高阶或者证明题，第一步往往不难，难的是第二步的证明，关键在于要灵活运用归纳假设，常常是按照某一行或者某一列展开，求出阶行列式的递推式形如：，因为三对角行列式的展开式是联系三个相邻阶行列式的等式，所以分别与是相同形式的阶行列式，阶行列式，具体文献可以参看文献[14].例3[15]证明证明因为运用数学归纳法第二种可猜测，对时成立，假设命题也成立由数学归纳法知对，均有，此题得证例4[16]计算三对角行列式的值解因为（假设）不妨设，则有根据数学归纳法即知，若，可直接算得.此题也可以用其他方法来计算行列式的值，在后续的方法中会有所提及并且做了相应的说明.2.3递推法使用递推法求解有关三对角行列式的题应注意的是要求三对角行列式中三条对角线中的每条对角线的元素相同，若每一条元素不一样可能使用递推法无法递推下去，也就是说除了个别行（列）外，各行（列）所含元素结构形式相同的三对角线性行列式可以使用递推法求解.并且这种方法对求解这种三对角行列式的题型来说是非常经典的.在考研数三必刷1000题中必会的题型和方法.递推法分为直接递推法和间接递推法.直接递推法：是指，意思是由1阶行列式的值得出2阶行列式得值，由2阶行列式的值得出3阶行列式的值，最后一直得出阶行列式的值.但注意的是它们形式是相同的，只是阶数不一样.间接递推法：根据行列式中元素的对称性，构造出关于和的方程组，从而消去得到.下面先看一些阶行列式用递推法求解的例子，学会阶的递推后不是阶的便会得心应手.并且遇到不是阶的例子时如果想到绝对一般性的结论那么就从开始推，得到结论一定是正确的.例5[17]，求解的值.解当时，依次递推下去得到：则当时，所以有例6设阶行列式则，解按第一行展开，则例7设阶行列式求解用递推法可得：2.4特征根法（线性递归法）由所确定的数列称为二阶线性递归数列，方程称为二阶线性递归数列所对应的特征方程.关于特解问题分为两种情况：若方程有不相等的两实根，则，（为待定系数），令得；若方程有相等的两实根，则，（为待定系数），令得[18].例8，求的值.解为二阶线性递归数列为特征方程当时，，所以，当，，综上所述另外有一种快速求解的方法，我们可以把称为该线性递归数列的初始条件，关于满足初始条件的特解问题分两种情形：若，方程有不相等的两实根，初始条件，时，由递归数列的通项公式与求和公式可得线性递归数列的通项为（1）若方程有相等的两实根，初始条件时，由递推数列一般项的求法可知，线性递归数列的求和通项为（2）以后可以直接记住（1）（2）两式直接代入做题，比如就例8来说，先将行列式按第一列展开，右端第二个阶行列式再按第一行展开得到二阶递归数和对应的特征方程，它的两个根分别是，将初始条件以及特征根代入公式（1）中，得在例4结束时提到还有其他方法求解，正是这里的特征法，由于例和例是相同形式的，只是字母不同而已，所以不再用特征根法对例4的求解做介绍.从此方法可以看出行列式和数列之间有着密切的关系，可以相互转化.2.5用幂级数变换计算三对角行列式把一类级行列式转化为差分方程，在利用幂级数变换求解差分方程，即可求出行列式的值.任给一个数列，则可以相应的做出一个幂级数，将称为数列的幂级数变换，反过来，给定一个幂级数，它的系数序列就是唯一确定的数列，数列与幂级数之间有一一对应关系.若是数列的幂级数变换，由幂级数的加法和乘法运算有数列之间的运算关系同幂级数变换之间的关系是对应的，差分方程的结构是由数列之间的递推关系而确定的，把行列式转化为差分方程，引入幂级数变换，通过幂级数的分析运算可求出三对角行列式的值[19].例9计算级行列式解将按第一列展开，得，此行列式序列可表示为差分方程初始值条件为令.设是的生成函数（3）用乘得所以，当时，方程有两个根，设为，则，（4）比较(3)式与(4)式的系数，得当时，（5）比较(3)式和(5)式的系数，得当时，，显然故综上所述运用幂级数变换求解时，往往要找到行列式得递推关系式，设出与行列式序列对应的幂级数，根据递推关系式出现的具体情况对假设出来的幂级数进行运算，最后求出幂级数，通过比较幂级数的系数就可以得到行列式的值.3斐波那契数列与三对角行列式数学家列昂纳多斐波那契于1202年提出的斐波那契数列，又称黄金分割数或者兔子数列，所谓斐波那契数列是一列数列1，1，2，3，5，8，13，21，……，满足递推公式：，简单来说后一项等于前两项之和.详叙可以参看文献[20]，此数列在数学和生活以及自然界中都有着非常的作用,而他的通项公式（又称比内公式）的推导方法也有很多，下面用三对角行列式与之建立联系，证明出斐波那契数列的通项公式：.证明作以下阶行列式[21]显然当时，将按第一列展开得此行列式序列是斐波那契数列数列，开始项为1和2，以后各项均为前两项之和，上式变形为设是的生成函数（6）用乘(6)式得（7）用再乘(6)式得（8）将以上三式相加得由于且，所以方程的两根为，且有.所以比较这结果与(6)式的系数得也可以特征根法来证明此通项公式.也是需要构造一个行列式，具体方法参看文献[20].4小结三对角行列式是行列式中一种特殊的类型，其计算方法灵活多样，和幂级数变换、斐波那契数列通项都有着密切的关系，并且此行列式在一些考研复习书籍中是必复习的知识点，曾也在试题上出现,具体可以参看文献[11]和文献[15]，而对于高价的来说计算往往比较复杂，因此三对角行列式计算方法的学习和掌握非常有必要，这些方法不仅使计算得以简化，同时也锻炼我们的逻辑思维能力、运算能力，学会把问题化繁为简.结合一些考研书籍和相关文献把其计算方法归纳为以上，并例举出一些的例题巩固这些方法，使我们能够掌握这特殊且重要的行列式求解,同时提高知识素养.参考文献[1]赵建英.三对角线性行列式的求法[D].内蒙古商贸职业学院学士学位论文，2015.[2]杨立英.李成群．三对角行列式的计算方法与技巧[J]．广西师范学院学报(自然科学版),2006.23(98—105).[3]缪应铁.n阶行列式计算方法[N].滇西科技师范学院学报，2009.02.[4]卢潮辉.三对角行列式的计算[N].漯河学院学报，2010.9(5).[5]王丽梅.三线行列式的一种计算方法[N].枣庄学院学报，2015.32（5).[6]陈文灯.黄先开，曹显兵，施明存.线性代数复习指导[M].北京：清华大学出版社，20[7]王海鹰.王文信.大型块三对角行列式的分解[N].天津工业大学学报，2001.20(0)[8]许胤龙.孙淑玲.组合数学引论［M］.合肥：中国科学技术出版社，2010:4—9.[9]刘永健.分块三对角行列式的计算及其推广[N].襄樊学院学报，2002.23（5）.[10]王敬林.几类组合序列和生成函数的性质[D].天津工业大学硕士学位论文，2018.[11]丁勇.考研数学线性代数高分解码[M].北京：中国政法大学出版社，2016：3—7.[12]曹重光，张显，唐孝敏.高等代数选讲[M].北京：科学教育出版社,2011:30—34.[13]毛纲源.线性代数解题方法解题技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社，2000：41—48.[14]陈会平.浅谈N阶行列式计算方法的研究[J].黑龙江科技信息，2010.17(2):84—86.[15]毛纲源.经济数学（线性代数）解题方法技巧归