电机与拖动技术第三章

第三章传感器的误差及其分析－－3.1测量误差的基本概念第三章传感器的误差及其分析测量的目的是为了获得被测量的真实值，但是由于种种原因，任何测量都不可能绝对准确，都存在误差，只要误差在允许范围内即可认为符合标准。所谓测量误差，即测量的输出值与理论输出值的差值。因此，在设计和制造传感器时允许有误差，但必须在规定误差的指标之内。为了使其能满足一定的精度要求，必须掌握误差的种类、分析产生误差的原因以及克服与减少误差的方法。3.1.1真值真值，是指在一定的时间及空间（位置或状态）条件下，被测量所体现的真实数值。它是一个理想的概念，一般是无法得到的。所以在计算误差时，一般用约定真值或相对真值来代替。约定真值是一个接近真值的值，它与真值之差可忽略不计。实际测量中以在没有系统误差的情况下，足够多次的测量值之平均值作为约定真值。相对真值也叫实际值，由于系统误差不可能完全被排除掉，故通常只能把精度更高一级的标准器具所测得的值作为“真值”。为了强调它并非是真正的“真值”，故把它称为实际值。3.1.2测量误差及其表示方法测量结果与被测量真值之差称为测量误差。在实际测试中真值无法确定，因此通常用约定真值或相对真值代替真值来确定测量误差。测量误差可以用以下几种方法来表示。绝对误差△

是指测量值Ax与约定真值A０的差值，即△=Ax-A0相对误差是针对绝对误差有时不足以反映测量值所偏离约定真值的程度而设定的。在实际测量中，相对误差有下列表示形式：①实际相对误差；②标称相对误差；1.绝对误差2.相对误差绝对误差△

是指测量值Ax与约定真值A０的差值，即△=Ax-A0。（1）实际相对误差：实际相对误差γA用绝对误差△与约定真值A的百分比表示，即：3.1.2测量误差及其表示方法（2）标称相对误差：标称相对误差用绝对误差与被测量值的百分比表示，即：（3）引用误差：引用误差γx用绝对误差△

与仪器量程Ax的百分比表示，即:在上式中当

△取为△m时，引用误差就被用来确定仪表的精度等级S，即:其中，Amax

和Amin

分别为仪表刻度盘的上限与下限。我国电工仪表等级分为七级，即0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5和5.0级。（4）容许误差容许误差是指检测仪器在规定使用条件下可能产生的最大误差范围，它也是衡量检测仪器的最重要的质量指标之一。当仪表显示值下限不为零时，精度等级S应用下式表达：3.1.2测量误差及其表示方法主要有：①工作误差②固有误差③影响误差④稳定性误差3.1.3测量误差的来源测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。具体来说，测量误差主要来自以下三个方面：主要指观测环境中气温、气压、空气湿度、风力以及气流扰动等因素所引起的误差。（1）外界条件测量仪表本身以及仪表组成元件不完善所引入的误差。为了减小测量装置误差应该不断的提高仪表及组成元件本身的质量。（2）仪器条件（3）光测者的自身条件由于观测者自身能力所限，若所选择的测量方法不正确，则可能引起误差。3.2误差的分类在测量中由不同因素产生的误差是混合在一起同时出现的。为了便于分析研究误差的性质、特点和消除方法，下面将对各种误差进行分类讨论。3.2.1按误差出现的规律分类在相同的条件下，对同一物理量进行多次测量，如果误差按照一定规律出现，则把这种误差称为系统误差，简称系差。系统误差又可分为恒值误差和变值误差。恒值误差是指在一定条件下，误差的数值及符号都保持不变的系统误差；变值误差是指在一定条件下，误差按某一确切规律变化的系统误差。系统误差表明了一个测量结果偏离真值和实际值的程度。系统误差愈小，测量愈准确，所以常常用准确度来表征系统误差大小。3.2.1按误差出现的规律分类随机误差的绝对值不会超过一定的界限；（1）有界性绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的概率大；（2）单峰性等值反号的随机误差出现的概率接近相等；（3）对称性随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。（4）抵偿性当对某一物理量进行多次重复测量时，若误差出现的大小和符号均以不可预知的方式变化，则该误差为随机误差。根据数理统计原理，随机误差具有下列特征：明显超出规定条件下的预测值的误差称为粗大误差。3.2.1按误差出现的规律分类从性质上看，粗大误差并不是单独的类别，它本身既具有系统误差的性质，也可能具有随机误差的性质，只不过在一定测量条件下其绝对值特别大而已。粗大误差是由于测量方法不妥，各种随机因素的影响以及测量人员粗心所造成的。3.2.2按被测量随时间变化的速度分类静态误差是指在测量过程中，被测量随时间变化很缓慢或基本不变时的测量误差。动态误差是在被测量随时间变化时所测得的误差。动态误差是在动态测量时产生的，动态测量的优点是检测效率高和受环境影响小。3.2.3按使用条件分类基本误差是指检测系统在规定的参比条件下，仪器仪表的示值误差。基本误差是检测仪表在额定条件下工作所具有的误差，检测仪表的精确度就是由基本误差决定的。附加误差是指当仪表的使用工作条件与额定工作条件存在偏差时出现的误差。如由于温度超过标准引起的温度附加误差以及电源附加误差、频率附加误差等。这些附加误差在使用时应叠加到基本误差上去。3.2.4测量精度测量精度是从另一角度评价测量误差大小的量，它与误差大小相对应，即误差大，精度低。通常，精度可按误差原因分类如下：是系统误差大小的反映，系统误差小，则准确度高。（1）准确度（2）精密度

（3）精确度是针对重复测量而言的，它反映测量结果的分散性，表示随机误差的大小。是系统误差和随机误差的综合反映，表征测量结果与真值之间一致的程度。3.3数据处理测量数据处理是对测量所获得的一系列数据进行深入的分析，找出变量之间相互制约、相互联系的依存关系，有时还需要用数学解析的方法，推导出各变量之间的函数关系。对测量结果进行数据处理是一个去伪存真的过程，针对不同性质的误差应采取不同的处理方法。误差分析的理论大多是基于测量数据的正态分布，而实际测量过程中由于受到各种因素的影响，测量数据的分布情况复杂，因此，测量数据必须消除系统误差、正态性检验和剔除粗大误差后，才能进一步处理，以得到可信的结果。3.3数据处理系统误差是有规律可循的，可以通过理论和实验分析找出原因和规律后进行消除或减少到允许的程度。粗大误差是小概率事件，可以根据经验和分析将含有粗大误差的数据剔除。在消除了系统误差和粗大误差后，只剩下随机误差了（实际上，无法认定的系统误差也作为随机误差处理）。含有随机误差的测量数据是随机数据，必须用统计方法进行分析和处理。3.3.1含随机误差的测量数据的特征量测量中，绝大多数的随机误差是由很多独立因素的微小变化共同作用而造成的，因此服从正态分布。但也有一些服从其他分布的随机误差，如量化误差符合均匀分布，对正弦噪声电压进行随机采集其分布为反正弦函数等。不论随机变量的分布规律如何，其主要数据特征量都为数学期望μ和标准偏差σ。在等精度重复测量中，当测量次数为无穷大时，测量数据的数学期望μ

就是其真值Ｘ0

，而标准偏差σ

是测量精密度的标志。总体期望的求得需要无限多次测量的结果，实际上是不可能实现，只能用有限次的测量来代替。用有限次的样本来推测总体参数的过程叫做估计，估计值用变量符号上加符号“^”表示。3.3.1含随机误差的测量数据的特征量

假设对同一被测量进行了ｎ次测量，测量结果为Xi(i=1,2,…,n)，这组数据是测量随机数据总体的一个样本，其算术平均为:

样本中各测量数据相对样本平均的分散程度用样本标准偏差s表示，计算公式为

:

样本平均仍是随机变量，也有其数学期望和标准偏差。可以证明，样本平均的数学期望仍是u，标准偏差为

:

如果用σ其估计值s代替，则:

3.3.2误差综合已定系统误差是大小和正负均确知的误差，合成时只需取代数和即可。为xi单值函数，则：设间接测量量与直接测量量的关系仍如下式所示，各直接测量量是互不相关的，则有：设直接测量为xi(i=1,2,…,m),

间接测量量记为y

，且3.3.3测量结果的表示方法

在直接测量的情况下，不确定度用样本平均值的标准偏差来表征，即：

1.多次测量结果的表示对于已经消除了系统误差和剔除了粗大误差的测量数据来说，利用随机误差数据处理的结果，便可以知道被测量的真值在哪个范围内取值以及在该范围内取值的概率。按目前国际通行的做法，测量结果x

可表示为测量结果=样本平均值±

不确定度不确定度表示对被测量真值所处量值范围的评定，表示对测量值不能肯定的程度。不确定度越小，测量结果可信度越高，其使用价值也越高。因为只有一次测量，无法从测量值中确定出种种误差。此时系统误差和随机误差只能根据事前的误差分析、以往的同等条件或相近条件下多次测量的统计结果或检测器具说明书中给出的误差限来确定标准偏差的估计值。2.单次测量结果的表示3.3.3测量结果的表示方法

也就是说，被测量的真值按某一置信概率处在区间内。可见增加测量次数可以减小置信区间。置信概率与误差的分布有关，对于正态分布来说，置信概率为68.27%。

若想增加置信概率，则只有扩大置信区间，将标准偏差乘上一系数。如正态分布时，要使置信概率提高为95%，这时的置信区间为，置信概率为99%时的置信区间为。3.4最小二乘原理及其回归分析－－3.4.1最小二乘法原理最小二乘法是处理实验数据的重要方法。设对某被测量进行了n次重复测量，测量值为x1,x2,…xn,则被测量的最佳估计应使残差的平方和为最小，即：这一使残差平方和为最小的原则称为最小二乘法原理。对上式求解可得：

一组测量数据的最佳估计值就是其算术平均值，这与随机误差分析中的无偏估计值是一致的。

3.4.2回归分析

设变量y和x之间存在某种函数关系，现已得到一组实验数据：(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，要求建立和之间的最佳函数关系式y=f(x)。

利用最小二乘法建立变量之间最佳函数关系式时，首先将检测结果在平面坐标上标出测量点，然后连接坐标点并观察曲线的趋势，建立最合适的数学模型，如直线、抛物线、双曲线或幂函数（经过对数变换可转化为线性问题）等。设已确定出最佳的曲线型式，函数关系式f(x)为x的m次多项式,即：

求得拟合曲线与坐标点的残差和残差平方和分别为：残差：残差平方和：3.4.2回归分析在一些实际问题中，某变量（目标变量）与另外一个或几个变量（自变量）之间既存在密切的关系，又无法通过机理分析建立目标变量与自变量之间的函数关系式，即不能由自变量的数值精确地求得目标变量，变量之间的这种关系为相关关系。回归分析是建立目标变量与自变量之间函数关系的数理统计方法，它通过对大量测量数据的处理，得出目标变量与各相关变量（自变量）间比较符合事物内部规律的数学表达式。回归分析在实验数据的处理、经验公式的求得、因素分析、产品质量控制以及系统模型的建立等方面有着广泛的应用，常常把回归分析作为最基本的一种数据分析手段。根据变量的个数及变量之间关系的不