2018-2019学年九年级数学下册第二十七章相似测试新版新人教版

PAGEPAGE33第二十七章相似27．1图形的相似01基础题知识点1相似图形1．下列各组图形相似的是(B)2．下列各项中不是相似图形的是(C)A．放大镜里看到的三角板与原来的三角板B．同一张底片洗出的2寸相片和1寸相片C．哈哈镜里看到的人像与真人像D．课本里的中国地图和教室墙上挂的中国地图知识点2成比例线段3．下列各组线段成比例的是(D)A．2cm，5cm，6B．1cm，2cm，3C．3cm，6cm，7D．3cm，6cm，4．已知线段a，b，c，d成比例，且eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，其中a＝8cm，b＝4cm，c＝12cm，则d＝6cm.5．在比例尺为1∶200000的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5cm，则A，B两地间的实际距离为9__000知识点3相似多边形6．两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为(A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,9)D.eq\f(9,4)7．(2018·重庆A卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5A．3cmB．4cmC．4.5cm8．下列四组图形中，一定相似的是(D)A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形9．如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x＝eq\f(32,5)，α＝80°．10．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．理由：∵A′，B′分别是OA，OB的中点，∴A′B′∥AB，A′B′＝eq\f(1,2)AB.∴∠OA′B′＝∠OAB，eq\f(A′B′,AB)＝eq\f(1,2).同理，∠OA′D′＝∠OAD，eq\f(A′D′,AD)＝eq\f(1,2).∴∠B′A′D′＝∠BAD，eq\f(A′B′,AB)＝eq\f(A′D′,AD).同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，∠C′B′A′＝∠CBA，eq\f(A′B′,AB)＝eq\f(A′D′,AD)＝eq\f(D′C′,DC)＝eq\f(B′C′,BC)，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．易错点没有分情况讨论导致漏解11．已知三条线段的长分别为1cm、2cm、eq\r(2)cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为eq\r(2)__cm，2eq\r(2)__cm或eq\f(\r(2),2)__cm.02中档题12．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C)A．150°B．105°C．15°D．无法确定大小13．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为(B)A．2B．3C．－314．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B)A．2DE＝3MNB．3DE＝2MNC．3∠A＝2∠FD．2∠A＝3∠F15．(教材P28习题T5变式)如图，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AD＝1.5，AB＝4.5，AE＝1.8，AC＝5.4.(1)求eq\f(AD,AB)，eq\f(AE,AC)，eq\f(DE,BC)的值；(2)求证：△ADE与△ABC相似.解：(1)eq\f(AD,AB)＝eq\f(1.5,4.5)＝eq\f(1,3)，eq\f(AE,AC)＝eq\f(1.8,5.4)＝eq\f(1,3)，eq\f(DE,BC)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).(2)证明：∵DE∥BC,∴∠D＝∠B，∠E＝∠C.又∵∠DAE＝∠BAC，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)，∴△ADE与△ABC相似．16．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°.又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.∴AE＝EG＝FG＝AF.又∵∠EAF＝90°，∴四边形AFGE为正方形．∴eq\f(AF,AB)＝eq\f(FG,BC)＝eq\f(GE,CD)＝eq\f(AE,AD)，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．03综合题17．(教材P28习题T8变式)如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．解：(1)若设AD＝x(x＞0)，则DM＝eq\f(x,2).∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DC,DM)，即eq\f(x,4)＝eq\f(4,\f(x,2)).解得x＝4eq\r(2)(舍负)．∴AD的长为4eq\r(2).(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为eq\f(DC,AD)＝eq\f(4,4\r(2))＝eq\f(\r(2),2).

27．2相似三角形27．2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例01基础题知识点1相似三角形的有关概念1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A)A.eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)B.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)C.eq\f(AD,AE)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(DE,BC)D.eq\f(AE,EC)＝eq\f(DE,BC)2．已知△ABC和△A′B′C′相似，且△ABC与△A′B′C′的相似比为R1，△A′B′C′与△ABC的相似比为R2，则R1与R2的关系是(D)A．R1＝R2B．R1R2＝－1C．R1＋R2＝0D．R1R2＝1知识点2平行线分线段成比例定理及推论3．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(C)A.eq\f(AC,CE)＝eq\f(BD,DF)B.eq\f(AC,AE)＝eq\f(BD,BF)C.eq\f(BD,CE)＝eq\f(AC,DF)D.eq\f(AE,CE)＝eq\f(BF,DF)4．(教材P31练习T2变式)如图，在△ABC中，DE∥BC.若eq\f(AD,DB)＝eq\f(2,3)，则eq\f(AE,EC)＝(C)A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,5)5．(2017·临沂)如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若eq\f(BO,OC)＝eq\f(2,3)，AD＝10，则AO＝4．6．(2018·嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F.已知eq\f(AB,AC)＝eq\f(1,3)，则eq\f(EF,DE)＝2．7．如图，EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．解：∵EG∥BC，∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(AG,GC).∵GF∥CD，∴eq\f(AG,GC)＝eq\f(AF,FD).∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(AF,FD)，即eq\f(3,2)＝eq\f(6,FD).∴FD＝4.∴AD＝AF＋FD＝10.知识点3相似三角形判定的预备定理8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.若BD＝2AD，则(B)A.eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)B.eq\f(AE,EC)＝eq\f(1,2)C.eq\f(AD,EC)＝eq\f(1,2)D.eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)9．(2017·自贡)如图，在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为1.10．如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.易错点图形的不唯一导致漏解11．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点P是直线AB上一点，且AP＝2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为6或12．02中档题12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE＝2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为(C)A．4B．3C．2.413．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4cm，则线段BC＝1214．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10米，BC＝18米，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)，即eq\f(AD,AD＋8)＝eq\f(10,18).∴AD＝10.答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.15．如图，已知：AB＝AD，AC＝AE，FG∥DE.求证：△ABC∽△AFG.证明：∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC≌△ADE.∴BC＝DE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED.∵FG∥DE，∴△AFG∽△ADE.∴eq\f(AF,AD)＝eq\f(AG,AE)＝eq\f(FG,DE).∴eq\f(AF,AB)＝eq\f(AG,AC)＝eq\f(FG,BC).又∵∠C＝∠AED＝∠G，∠B＝∠ADE＝∠F，∠BAC＝∠FAG，∴△ABC∽△AFG.03综合题16．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．解：∵在△ABC中，EG∥BC，∴△AEG∽△ABC.∴eq\f(EG,BC)＝eq\f(AE,AB)，即eq\f(EG,10)＝eq\f(3,5).∴EG＝6.∵在△BAD中，EF∥AD，∴△BEF∽△BAD.∴eq\f(EF,AD)＝eq\f(BE,BA)，即eq\f(EF,6)＝eq\f(5－3,5).∴EF＝eq\f(12,5).∴FG＝EG－EF＝eq\f(18,5).

第2课时相似三角形的判定定理1，201基础题知识点1三边成比例的两个三角形相似1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，eq\r(2)，eq\r(5)，乙三角形木框的三边长分别为5，eq\r(5)，eq\r(10)，则甲、乙两个三角形(A)A．一定相似B．一定不相似C．不一定相似D．无法判断2．(教材P34练习T3变式)已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4A．2cm，3cmB．4C．5cm，6cmD．63．下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(B)4．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵eq\f(AC,AE)＝eq\f(20,12)＝eq\f(5,3)，eq\f(AB,AD)＝eq\f(25,15)＝eq\f(5,3)，eq\f(BC,DE)＝eq\f(40,24)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(AC,AE)＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE).∴△ABC∽△ADE.知识点2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似5．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(C)6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(C)A.eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AE)B.eq\f(AC,AD)＝eq\f(BC,DE)C.eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,DE)D.eq\f(AC,AD)＝eq\f(BC,AE)7．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝3时，△ABC∽△A′B′C′.8．如图，已知AB·AD＝AC·AE，∠B＝30°，则∠E＝30°．9．如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a.∵Q是CD的中点，BP＝3PC，∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a.∴eq\f(DQ,PC)＝eq\f(AD,CQ)＝eq\f(2,1).又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.易错点对应边没有确定时容易漏解10.(2017·随州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝eq\f(12,5)或eq\f(5,3)时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．02中档题11．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处(C)A．P1B．P2C．P312．如图，在等边△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有(B)A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且eq\f(AD,AC)＝eq\f(DF,CG).(1)求证：△ADF∽△ACG；(2)若eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,2)，求eq\f(AF,FG)的值．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∴∠ADF＝∠C.又∵eq\f(AD,AC)＝eq\f(DF,CG)，∴△ADF∽△ACG.(2)∵△ADF∽△ACG.∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AF,AG)＝eq\f(1,2).∴eq\f(AF,FG)＝1.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm解：由题意，得BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm.①∵∠PBQ＝∠ABC，∴若△BPQ∽△BAC，则还需eq\f(BP,BA)＝eq\f(BQ,BC)，即eq\f(5t,10)＝eq\f(8－4t,8).解得t＝1.②∵∠PBQ＝∠CBA，∴若△BPQ∽△BCA，则还需eq\f(BP,BC)＝eq\f(BQ,BA)，即eq\f(5t,8)＝eq\f(8－4t,10).解得t＝eq\f(32,41).综上所述，当t＝1或eq\f(32,41)时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．03综合题15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝eq\f(\r(5)－1,2)，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；(2)求∠ABD的度数．解：(1)∵AD＝BC＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴AD2＝(eq\f(\r(5)－1,2))2＝eq\f(3－\r(5),2).∵AC＝1，∴CD＝1－eq\f(\r(5)－1,2)＝eq\f(3－\r(5),2).∴AD2＝AC·CD.(2)∵AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即eq\f(BC,CD)＝eq\f(AC,BC).又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(AC,BC).又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.设∠A＝∠ABD＝x°，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°.∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x°.∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x°＋2x°＋2x°＝180°.解得x＝36.∴∠ABD＝36°.

第3课时相似三角形的判定定理301基础题知识点1两角分别相等的两个三角形相似1．有一个角为30°的两个直角三角形一定(B)A．全等B．相似C．既全等又相似D．无法确定2．(教材P36练习T2变式)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法中错误的是(C)A．△ACD∽△CBDB．△ACD∽△ABCC．△BCD∽△ABCD．△BCD∽△BAC3．(2018·永州)如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为(B)A．2B．4C．64．(2018·邵阳)如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：答案不唯一．如：△EFC∽△AFD，△EAB∽△AFD，△EFC∽△EAB．5．已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是△EFD，△HGK.6．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE.证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B＝∠FDE，∠C＝∠FED.∴△ABC∽△FDE.7．甲、乙两位同学同解一道题目：“如图，F，G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DF∥CB，∠E＝∠C，请写出与△ABC相似的三角形，并加以证明”．甲同学的解答得到了老师的好评．乙同学的解答是这样的：“与△ABC相似的三角形只有△AFD，证明如下：∵DF∥CB，∴△AFD∽△ABC.”乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正．解：乙同学的解答不正确．与△ABC相似的三角形还有△GFE，应该补上．证明如下：∵DF∥BC，∴∠GFE＝∠ABC.又∵∠E＝∠C，∴△GFE∽△ABC.知识点2斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似8．在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(DA．∠B＝∠B1B.eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(AC,A1C1)C.eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(BC,B1C1)D.eq\f(AB,B1C1)＝eq\f(AC,A1C1)9．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8cm和15cm，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为6cm和eq\f(45,4)cm，这两个直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形．10．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝10时，△ABC∽△A′B′C′.易错点斜边和直角边比例不唯一导致漏解11．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝eq\r(6)，AC＝2，则AD的长为3或3eq\r(2)时，图中两直角三角形相似．02中档题12．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是(D)A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC.eq\f(AP,AB)＝eq\f(AB,AC)D.eq\f(AB,BP)＝eq\f(AC,CB)13．如图，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于(A)A.eq\f(15,4)B.eq\f(12,5)C.eq\f(20,3)D.eq\f(17,4)14．下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个角是50°的两个等腰三角形相似；③有一个角是60°的两个等腰三角形相似；④有一个角是110°的两个等腰三角形相似；⑤所有的等腰直角三角形都相似．其中真命题是③④⑤(填序号)．15．(2017·齐齐哈尔)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为113°或92°．16．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，求AE的长．解：∵△ABC是边长为9的等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝9.∴∠BAD＋∠ADB＝120°.∵∠ADE＝60°，∴∠CDE＋∠ADB＝120°.∴∠BAD＝∠CDE.又∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE.∴eq\f(AB,DC)＝eq\f(BD,CE)，即eq\f(9,9－3)＝eq\f(3,CE).∴CE＝2.∴AE＝9－2＝7.03综合题17．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠APQ＝∠CDQ.又∵∠AQP＝∠CQD，∴△APQ∽△CDQ.(2)当t＝5时，DP⊥AC.理由：∵t＝5，∴AP＝5.∴eq\f(AP,AD)＝eq\f(5,10).又∵eq\f(DA,DC)＝eq\f(10,20)，∴eq\f(AP,AD)＝eq\f(DA,DC).又∵∠PAD＝∠ADC＝90°，∴△PAD∽△ADC.∴∠ADP＝∠DCA.∵∠ADP＋∠CDP＝∠ADC＝90°，∴∠DCA＋∠CDP＝90°.∴∠DQC＝90°，即DP⊥AC.

小专题(四)相似三角形的基本模型模型1X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD，则△ABO∽△CDO.1．(2018·恩施)如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知FG＝2，则线段AE的长度为(D)A．6B．8C．102．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则eq\f(BE,EC)的值是eq\f(\r(3),3)．3．如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．解：∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF.又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF.∴eq\f(BD,EC)＝eq\f(DF,CF)，即eq\f(8,4)＝eq\f(DF,2).∴DF＝4.模型2A字型及其变形(1)如图1，公共角的对边平行，则△ADE∽△ABC；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC；(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD∽△ABC.常见的结论有：AC2＝AD·AB.)4．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(B)A．4B．4eq\r(2)C．6D．4eq\r(3)5．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.证明：∵AF⊥DE，AG⊥BC，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AEF＝∠ACG.又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.6．如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB.∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(DF,DB).又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴eq\f(EF,CD)＝eq\f(BF,BD).∴eq\f(EF,AB)＋eq\f(EF,CD)＝eq\f(DF,DB)＋eq\f(BF,BD)＝eq\f(BD,BD)＝1.∴eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).模型3双垂型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.7．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3eq\r(5)，则斜边AB的长为(B)A．3eq\r(6)B．15C．9eq\r(5)D．3＋3eq\r(5)8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC＝3eq\r(13)．模型4一线三等角型(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB；(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠ACD＝∠E，则△ABC∽△CED.特殊地，连接AD，当点C为BE的中点时，△ABC∽△CED∽△ACD.图1图29．(2017·江西)如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°.∴∠BEF＝∠CFG.∴△EBF∽△FCG.10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，且∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF.∴△BDE∽△CEF.(2)∵△BDE∽△CEF，∴eq\f(BE,CF)＝eq\f(DE,EF).∵点E是BC的中点，∴BE＝CE.∴eq\f(CE,CF)＝eq\f(DE,EF).∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF.∴∠DFE＝∠CFE，即FE平分∠DFC.11．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，∴AE＝DE＝2.由(1)知，△ABE∽△DEF，∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(AE,DF)，即eq\f(4,2)＝eq\f(2,DF).∴DF＝1.∴CF＝3.∵ED∥CG，∴△EDF∽△GCF.∴eq\f(ED,GC)＝eq\f(DF,CF)，即eq\f(2,GC)＝eq\f(1,3).∴GC＝6.∴BG＝BC＋GC＝10.

周测(27.1～27.2.1)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F.若eq\f(AB,BC)＝eq\f(1,2)，则eq\f(DE,EF)＝(B)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．12．下列两个图形一定相似的是(D)A．任意两个等腰三角形B．任意两个矩形C．任意两个菱形D．任意两个等边三角形3．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是(C)A.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,EC)B.eq\f(AC,GF)＝eq\f(AE,BD)C.eq\f(BD,AD)＝eq\f(CE,AE)D.eq\f(AG,AF)＝eq\f(AC,EC)4．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，则AB的长为(C)A.eq\f(16,3)B．8C．10D．165．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是(D)ABCD6．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD·AB；③AB边上与点C距离相等的点D有两个；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，以大于eq\f(1,2)AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M，N；第二步，连接MN分别交AB，AC于点E，F；第三步，连接DE，DF.若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是(D)A．2B．4 C．6 8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是(A)图1图2A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对二、填空题(每小题4分，共24分)9．在比例尺为1∶10000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为800__km10．如图，x＝2．11．如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB∥DE(答案不唯一)．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)12．如图，点O是△ABC中任意一点，且AD＝eq\f(1,2)OD，BE＝eq\f(1,3)BO，CF＝eq\f(1,3)CO，则△ABC∽△DEF，其相似比为3∶2．13．如图，在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝eq\f(1,3)DM.则当AM⊥BM时，BC的长为8．14．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB.其中正确结论的序号是①④．三、解答题(共44分)15．(10分)如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.求：(1)eq\f(AD,AB)的值；(2)BC的长．解：(1)∵AD＝4，DB＝8，∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12.∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AB).又∵DE＝3，∴eq\f(3,BC)＝eq\f(1,3).∴BC＝9.16．(10分)如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，∠DBC＝∠A.(1)求证：△BDC∽△ABC；(2)如果BC＝eq\r(6)，AC＝3，求CD的长．解：(1)证明：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△BDC∽△ABC.(2)∵△BDC∽△ABC，∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(CD,BC)，即eq\f(\r(6),3)＝eq\f(CD,\r(6)).∴CD＝2.17．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12cm，OB＝6cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/解：①∵∠POQ＝∠BOA，若△POQ∽△BOA，则eq\f(OQ,OA)＝eq\f(OP,OB)，即eq\f(6－t,12)＝eq\f(t,6).解得t＝2.②∵∠POQ＝∠AOB，若△POQ∽△AOB，则eq\f(OQ,OB)＝eq\f(OP,OA)，即eq\f(6－t,6)＝eq\f(t,12).解得t＝4.综上所述，当t＝2或4s时，△POQ与△AOB相似．18．(12分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.证明：(1)∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB.∴∠ADO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADO.又∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB.(2)由(1)，知△ADO∽△ACB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(OD,BC).∴AD·BC＝AC·OD.又∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.

27．2.2相似三角形的性质01基础题知识点1相似三角形对应线段的比等于相似比1．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为4∶1.2．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，则AD∶A′D′＝3∶4．3．若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是8∶9，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6cm，则另一个三角形对应角平分线长为eq\f(27,4)__cm．4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD＝4cm，C′D′＝10cm，AE是△ABC的一条高，AE＝解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，且AE，A′E′是对应的高线，∴eq\f(AE,A′E′)＝eq\f(CD,C′D′)，即eq\f(4.8,A′E′)＝eq\f(4,10).∴A′E′＝12cm知识点2相似三角形周长的比等于相似比5．如图，AB∥CD，eq\f(AO,OD)＝eq\f(2,3)，则△AOB的周长与△DOC的周长的比是(D)A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,9)D.eq\f(2,3)6．如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和5cm，且较小三角形的周长为15cm7．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm，且BC＝5cm解：∵相似三角形周长的比等于相似比，∴eq\f(EF,BC)＝eq\f(25,20).∴EF＝eq\f(5,4)BC＝eq\f(5,4)×5＝eq\f(25,4)(cm)．同理，eq\f(AC,DF)＝eq\f(20,25).∴AC＝eq\f(4,5)DF＝eq\f(4,5)×4＝eq\f(16,5)(cm)．∴EF的长是eq\f(25,4)cm，AC的长是eq\f(16,5)cm.知识点3相似三角形面积的比等于相似比的平方8．(2018·内江)已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为(A．1∶1B．1∶3C．1∶69．(2018·自贡)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点．若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为(D)A．8B．12C．1410．(2018·荆门)如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG＝(C)A．1∶3B．3∶1C．1∶902中档题11．如图，在△ABC中，DE∥BC，eq\f(AD,DB)＝eq\f(1,2)，则下列结论中正确的是(C)A.eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,2)B.eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)C.eq\f(△ADE的周长,△ABC的周长)＝eq\f(1,3)D.eq\f(△ADE的面积,△ABC的面积)＝eq\f(1,3)12．(教材P43习题T12变式)(2018·随州)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则eq\f(BD,AD)的值为(C)A．1B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)－1D.eq\r(2)＋113．如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E和C，F.若BC＝2，则EF的长是5．14．在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD∶S△COB＝eq\f(1,9)或eq\f(4,9)．15．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，求△ACD的面积．解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA.∴eq\f(S△ACD,S△BCA)＝(eq\f(AD,AB))2＝(eq\f(2,4))2＝eq\f(1,4).∴eq\f(S△ACD,S△BAD＋S△ACD)＝eq\f(1,4).∵△ABD的面积为15，∴S△ACD＝5.16．两个相似三角形的一对对应边的长分别是35cm和14cm，它们的周长相差解：∵两个相似三角形的对应边的比是35∶14＝5∶2，周长的比等于相似比，∴可以设一个三角形的周长是5x，则另一个三角形的周长是2x.∵周长相差60cm∴这两个三角形的周长分别为100cm，4017．如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．解：(1)证明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB，∴AF＝DF.又∵点E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线．∴EF∥BD，即EF∥BC.(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.∴eq\f(S△AEF,S△ABD)＝(eq\f(AE,AB))2.又∵点E是AB的中点，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,2).∴eq\f(S△AEF,S△ABD)＝eq\f(1,4).∴S△AEF＝eq\f(1,4)S△ABD.∴S△ABD－6＝eq\f(1,4)S△ABD.∴S△ABD＝8.03综合题18．(2017·内江)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM＝eq\f(1,3)AB.若四边形ABCD的面积为eq\f(15,7)，则四边形AMCD的面积是1．eq\a\vs4\al()

小专题(五)三角形内接特殊四边形问题——教材P58T11的变式与应用教材母题：如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？【母题分析】(1)从总体上讲本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比．(2)解决本题的关键点：由EF∥GH，得到△AEF∽△ABC.(3)考查形式：正方形内接于三角形，解决正方形的边长与三角形边长之间的关系．解：设正方形的边长为xmm，则EF＝xmm，∵AD⊥BC，AD＝80mm∴AK＝(80－x)mm.∵正方形EFHG内接于△ABC，∴EF∥GH.∴△AEF∽△ABC.∴eq\f(EF,BC)＝eq\f(AK,AD)，即eq\f(x,120)＝eq\f(80－x,80).解得x＝48.∴这个正方形零件的边长是48mm解决本题的关键：(1)“内接”，所谓内接就是正方形的四个顶点都在三角形的边上，正因如此，故：①正方形的一边与三角形的一边平行，从而得到三角形相似；②大三角形的高等于正方形的边长与小三角形的高之和．(2)方程思想：利用相似三角形的性质——“相似三角形对应高的比等于相似比”这个等量关系，将已知边和未知边放在一个方程中．1．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，点D在边AB上，点G在边AC上，△ADG的面积是40，△ABC的面积是90，AM⊥BC于点M，交DG于点N，则AN∶AM＝2∶3．2．(2018·岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是eq\f(60,17)步．3．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝eq\f(2,3)EH，那么EH的长为eq\f(3,2)．4．如图，已知锐角三角形ABC中，边BC长为12，高AD长为8.矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K.(1)求eq\f(EF,AK)的值；(2)设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．解：(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∵AK，AD分别是△AEF，△ABC的高，∴eq\f(AK,AD)＝eq\f(EF,BC).∴eq\f(EF,AK)＝eq\f(BC,AD)＝eq\f(3,2).(2)∵EH⊥BC，AD⊥BC，∴EH∥AD.∴△BEH∽△BAD.∴eq\f(EH,AD)＝eq\f(BE,BA)①.∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∴eq\f(EF,BC)＝eq\f(AE,AB)②.①＋②，得eq\f(EH,AD)＋eq\f(EF,BC)＝1.∵EH＝x，AD＝8，BC＝12，∴EF＝12－eq\f(3,2)x.∴S＝EH·EF＝－eq\f(3,2)x2＋12x＝－eq\f(3,2)(x－4)2＋24.∵0＜x＜8，∴当x＝4时，S有最大值，最大值为24.

小专题(六)相似三角形的性质与判定类型1利用相似三角形求线段长1．(2018·北京)如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F.若AB＝4，AD＝3，则CF的长为eq\f(10,3)．2．如图，已知菱形BEDF内接于△ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上．若AB＝15cm，BC＝12cm，则菱形的边长为eq\f(20,3)cm.3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AB上，且∠ADE＝∠B.如果DE∶AD＝2∶5，BD＝3，那么AC＝eq\f(15,2).4．(2017·深圳)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝3.5．(2018·江西)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC.又∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD.∴∠DBC＝∠D.∴BC＝CD＝4.∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED.∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(AE,CE).∴eq\f(AE,CE)＝eq\f(8,4)＝2.∴AE＝2EC，即EC＝eq\f(1,2)AE.∵AC＝AE＋EC＝6，∴AE＋eq\f(1,2)AE＝6，即AE＝4.类型2利用相似三角形求角度6．如图，A，B，C，P四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC的度数是135°.7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且AB2＝BD·CE.若∠BAC＝40°，则∠DAE＝110°.类型3利用相似三角形求比值8．如图，AB∥DC，AC与BD交于点E，EF∥DC交BC于点F，CE＝5，CF＝4，AE＝BC，则eq\f(DC,AB)等于(B)A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,5)9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O.若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是(B)A．1∶3B．1∶4C．1∶510．(2018·达州)如图，E，F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝CF＝eq\f(1,4)AC.连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则eq\f(S△ADG,S△BGH)的值为(C)A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D．111．(2017·桂林)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E.若AB＝3，BC＝4，则eq\f(AO,AE)的值为eq\f(7,24).类型4利用相似三角形证明等积式与比例式12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)DF·BF＝EF·CF.证明：(1)∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴AB＝3AD，AC＝3AE.∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,3).∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.(2)∵eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,3)，∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF.∴eq\f(DF,CF)＝eq\f(EF,BF).∴DF·BF＝EF·CF.13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E为AC的中点，ED，CB的延长线交于点F.求证：eq\f(DF,CF)＝eq\f(BC,AC).证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°.∴∠A＝∠BCD.∴△ABC∽△CBD.∴eq\f(BC,BD)＝eq\f(AC,CD)，即eq\f(BC,AC)＝eq\f(BD,CD).又∵E为AC中点，∴AE＝CE＝ED.∴∠A＝∠EDA.∵∠EDA＝∠BDF，∴∠FCD＝∠BDF.又∵∠F为公共角，∴△FDB∽△FCD.∴eq\f(DF,CF)＝eq\f(BD,CD).∴eq\f(DF,CF)＝eq\f(BC,AC).类型5利用相似求点的坐标14．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB并延长到C，连接CO.若△COB∽△CAO，则点C的坐标为(B)A．(1，eq\f(5,2))B．(eq\f(4,3)，eq\f(8,3))C．(eq\r(5)，2eq\r(5))D．(eq\r(3)，2eq\r(3))15．如图，已知直线y＝－eq\f(1,2)x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C，使B，O，C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)．

小专题(七)圆与相似1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC边于点E，AD＝5，BD＝2，则DE的长为(D)A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,25)C.eq\f(2,25)D.eq\f(4,5)2．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，D是eq\o(AC,\s\up8(︵))上一点，BD交AC于点E.若BC＝4，AD＝eq\f(4,5)，则AE的长是(C)A．3B．2C．13．(2018·巴中)如图所示，⊙O的两弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝4∶3．4．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，作PD∥AB，交CA的延长线于点P，连接AD，BD.求证：(1)PD是⊙O的切线；(2)△PAD∽△DBC.证明：(1)连接OD.∵∠DCA＝∠DCB，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).∴OD⊥AB.∵AB∥PD，∴OD⊥PD.∵点D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．(2)∵∠PAD＋∠CAD＝180°，∠DBC＋∠CAD＝180°，∴∠PAD＝∠DBC.由(1)可得：∠PDA＝∠BCD＝45°，∴△PAD∽△DBC.5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：(1)△ABC为等腰三角形；(2)AM·CP＝AN·CB.证明：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝90°.∵PC是⊙O的切线，∴∠BCP＝∠CAN.∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN.又∵AN⊥BC，∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形．(2)连接MN∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，∴∠PBC＝∠AMN.由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA.∴eq\f(CB,AM)＝eq\f(CP,AN)，即AM·CP＝AN·CB.6．(2018·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．解：(1)证明：连接OE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.∵BE平分∠ABC，∠OBE＝∠EBC.∴∠OEB＝∠EBC.∴OE∥BC.又∵∠C＝90°，∴∠OEA＝90°，即AC⊥OE.又∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．(2)在△BCE与△BED中，∵∠C＝∠BED＝90°，∠EBC＝∠DBE，∴△BCE∽△BED.∴eq\f(BE,BD)＝eq\f(BC,BE)，即BC＝eq\f(BE2,BD).∵BE＝4，BD是⊙O的直径，即BD＝5，∴BC＝eq\f(16,5).又∵OE∥BC，∴eq\f(AO,AB)＝eq\f(OE,BC).∵AO＝AD＋2.5，AB＝AD＋5，∴eq\f(AD＋2.5,AD＋5)＝eq\f(2.5,\f(16,5)).解得AD＝eq\f(45,7).

小专题(八)相似的综合与探究1．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．猜想：如图1，点D在BC边上，BD∶BC＝2∶3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则eq\f(AP,PD)的值为eq\f(3,2)；探究：如图2，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD∶BC＝1∶2，求eq\f(AP,PD)的值；应用：在探究的条件下，若CD＝2，AC＝6，求BP的长．图1图2解：探究：过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，如图2，设DC＝k，则BC＝2k，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB.∴eq\f(BC,AF)＝eq\f(CE,AE)＝1，即AF＝BC＝2k，∵AF∥BD，∴△APF∽△DPB.∴eq\f(AP,PD)＝eq\f(AF,BD)＝eq\f(2k,3k)＝eq\f(2,3).应用：CE＝eq\f(1,2)AC＝3，BC＝2CD＝4，在Rt△BCE中，BE＝eq\r(32＋42)＝5，∴BF＝2BE＝10.∵AF∥BD，∴△APF∽△DPB.∴eq\f(PF,PB)＝eq\f(AP,DP)＝eq\f(2,3).∴BP＝eq\f(3,5)BF＝eq\f(3,5)×10＝6.2．如图1，先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；如图2再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B向右折纸片，使D，Q，A三点仍保持在一条直线上，得折痕PQ.(1)求证：△PBE∽△QAB；(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？若相似给出证明；若不相似请说明理由；(3)延长EB交AD于点H，请直接写出△AEH的形状为等边三角形．图1图2解：(1)证明：∵∠PBE＋∠ABQ＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB.在△PBE与△QAB中，∵∠PEB＝∠ABQ，∠BPE＝∠AQB＝90°，∴△PBE∽△QAB.(2)△PBE和△BAE相似．∵△PBE∽△QAB，∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(PE,BQ).∵BQ＝PB，∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(PE,PB).又∵∠EPB＝∠EBA＝90°，∴△PBE∽△BAE.3．感知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.D，E分别是AC，BC的中点，连接DE，则△CDE和△CAB的面积比是1∶4；探究：将图1中△CDE绕点C顺时针旋转，使点E在△CAB的内部．再连接AD，BE，延长BE交AC于点O，交AD于点F，如图2.求证：(1)△ACD∽△BCE；(2)AD⊥BF；拓展：将图1中的△CDE绕点C顺时针旋转90°，使点D恰好落在BC的延长线上，点E在AC上．连接AD，BE，并延长BE交AD于点F，其他条件不变，如图3.若AC＝8，BC＝6，求BF的长．图1图2图3解：探究：(1)证明：∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠ACD.∵D，E分别是AC，BC的中点，∴eq\f(CE,BC)＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(1,2).∴△ACD∽△BCE.(2)∵△ACD∽△BCE，∴∠CBE＝∠CAD.∵∠BOC＝∠AOF，∴∠AFO＝∠BCO＝90°.∴AD⊥BF.拓展：∵AC＝8，BC＝6，∴CE＝3，CD＝4.∴BD＝10.在Rt△BCE中，根据勾股定理得，BE＝3eq\r(5).∵BF⊥AD，∴∠BFD＝∠BCE＝90°.∵∠EBC＝∠DBF，∴△EBC∽△DBF.∴eq\f(BE,BD)＝eq\f(BC,BF).∴eq\f(3\r(5),10)＝eq\f(6,BF).∴BF＝4eq\r(5).4．(2018·襄阳)如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.(1)证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：eq\f(AG,GE)的值为eq\r(2)；(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H.若AG＝6，GH＝2eq\r(2)，则BC＝3eq\r(5)．图1图2图3解：(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°.∵GE⊥BC，GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°.∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°.∴EG＝EC.∴四边形CEGF是正方形．(2)连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，∵eq\f(CG,CE)＝eq\r(2)，eq\f(CA,CB)＝eq\r(2)，∴eq\f(CG,CE)＝eq\f(CA,CB)＝eq\r(2).∴△ACG∽△BCE，∴eq\f(AG,BE)＝eq\f(CA,CB)＝eq\r(2).∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝eq\r(2)BE.

27.2.3相似三角形应用举例01基础题知识点1测量物高1．如图，某一时刻，测得旗杆的影长为8m，李明测得小芳的影长为1m，已知小芳的身高为1.5m2．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球拍击球的高度h为1.4__m3．如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN＝2eq\r(3)米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为3米．4．如图，已知有两堵墙AB，CD，AB墙高2米，两墙之间的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外．将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为7.5米．5．如图是小玲设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是多少米？解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，∴△ABP∽△CDP.∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(BP,DP)，即eq\f(1.4,CD)＝eq\f(2.1,12).解得CD＝8.答：该古城墙CD的高度是8米．知识点2测量距离6．(教材P41练习T2变式)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20mA．60mB．40mC．30m7．(2018·义乌)学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1mA．0.2mB．0.3mC．0.4m8．(教材P57复习题T7变式)如图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10mm，则零件的厚度x＝2.5__9．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔60米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为30米02中档题10．(2018·临沂)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4mA．9.3mB．10.5mC．12.4mD．1411．(2017·绵阳)为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4A．10mB．12mC．12.4m12．(2018·泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为eq