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文档简介

第四节换元积分法

第五章

不定积分一、第一类换元法二、第二类换元法即是的一个原函数。设，则由复合函数的求导法则一、第一类换元法定理1设具有原函数，可导，则有证：所以有上面的定理告诉我们，在求时，如果被积表达式可以化为而的原函数可以求出，则可设，于是不定积分显然不等于，这是因为

。从上述可知：第一类换元法的基本思想就是将被积函数凑出一个微分，使凑微分后的被积函数易于求出其原函数。例1求解：但被积表达式可以整理为且因此，设，于是令，于是例2

求解：例3求因此，令，于是由于解：例4求因此，设，于是类似地可得解：由于例5求因此，令，于是在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量u。解：由于例6在上例中，实际上已经用了变量代换，并在求出积分之后，将代回，只是没有把这些步骤写出来。解：例7求解：例8求解：例9求解：例10求所以由于，解：例11求解：类似地，可求出

例12解：二、第二类换元法上面讲的第一类换元法是通过凑微分的途径，把积分化为积分，其中。如果可以求出，原积分就可以求出。但是，我们也常常会遇到相反的情形，即对于不易求出，但适当选择变量代换，得而的原函数可以求出，设为，即这种积分方法称为第二类换元法。如果存在反函数，则有由假设，又由复合函数及反函数微分法，有定理2设单调可微，且，若，则。其中是的反函数。即是的一个原函数，于是证：这个定理告诉我们：对于积分，可以作变量代换化为积分变量为t的积分，积分后再用的反函数回代即可。设，即，则

，于是例1求解：例2求设，即，则

，于是解：为了消去根号，可以设，则例3求于是解：将，，代入上式，即得（其中）。为了消去根号，可以设，则，例4

求解：可以作辅助三角形便有，所以例5

求则，，于是解：与上两例类似，也是为了消去根号，可以设为了把结果换成x的函数，可以根据作

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