数学八年级苏科版（上册）第四章实数同步辅导

第页错解剖析易犯错误展示初学平方根、算术平方根和立方根等内容，由于概念不清、考虑不周等原因，经常会出现各种错误.下面将个别同学出现的错误展示如下，希望大家也能有针对性地预防.易错点1漏掉一个解致错例１（-4）2的平方根是_____．错解：（-4）2的平方根是-4．剖析：一个正数的平方根是互为相反数的两个数，错解漏掉了一个正的平方根．正解：.易错点2忽视隐含条件致错例2（π-3.142）2的算术平方根是______．错解：=π-3.142.剖析：错解忽视了π＜3.142，即π-3.142＜0的条件.事实上，一个非负数的算术平方根仍然是一个非负数．正解：.易错点3理解题意不当致错例3的平方根是______．错解：的平方根是±4．剖析：错解将的平方根当成了的平方根，其实是求的算术平方根的平方根.正解：.例4的立方根是______．错解：的立方根是-3．剖析：错解在于没有很好地理解题意，-3是-27的立方根，而不是的立方根.正解：.易错点4混淆平方根与立方根致错例564的立方根是_____.错解：64的立方根为±4.剖析：错解将平方根与立方根混淆了，一个正数的立方根仍为正数，一个负数的立方根仍为负数，0的立方根是0．正解：.参考答案：例1±4例23.142-π例3±2例4例54重点难点“方根”兄弟的家庭聚会自主学习1.①25的平方根是______；②0的平方根是_______；③25的算术平方根是_______；帮你归纳：平方根与算术平方根的联系与区别如下：联系：①具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个；②存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.区别：①个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个；②表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为.2.①64的立方根是________；②-8的立方根是________；③0的立方根是_________.帮你归纳：任何数的立方根都只有1个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.中的被开方数可以是任何实数，且始终满足=-.课堂直播1.求一个非负数的平方根（算术平方根）例1分别求出下列各数的平方根和算术平方根.（1）16；（2）；（3）0.0036.思路点拨：根据平方和开平方互为逆运算，再借助平方根和算术平方根的意义，即可确定出一个非负数的平方根和算术平方根.2.求一个数的立方根例2求下列各数的立方根.（1）-216；（2）；（3）-0.125.思路点拨：根据立方和开立方互为逆运算，再借助立方根的意义，即可确定出一个数的立方根.3.运用方根的性质解方程例3求下列各式中x的值：（1）（x-1）2=25；（2）2（x-1）3=-.思路点拨：把括号里的式子看成一个整体（即先求出x-1的值），把问题转化为求平方根（或立方根）的问题.注意一个正数的平方根有两个，解答时不要漏解.4.算术平方根的非负性例4已知x，y为任意有理数，若，则（x+y）2017=.思路点拨：由绝对值、算术平方根都是非负数，利用非负数的性质“若干个非负数的和为零，则其中每一个非负数均为零”可得到x+1=0，y-2=0，解出x，y的值代入（x+y）2017中求解即可.交流探索王师傅准备从一块面积为25平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为18平方分米的长方形的工件．（1）求正方形工料的边长；（2）若要求长方形工件的长与宽之比为3:2，问：这块正方形工料是否能裁出符合要求的长方形工件？（参考数据：≈1.414，≈1.732）思考：（1）根据正方形的面积公式求出的值即可；（2）根据题意，列出方程，即可求解.同学们如果在探索过程中遇到困难，请到《生活中的方根》中去寻找答案吧！参考答案：自主学习：1.①±5②0③52.①4②-2③0课堂直播：例1（1）±4，4；（2）±，；（3）±0.06，0.06.例2（1）-6；（2）；（3）-0.5.例3（1）x=6或x=-4；（2）x=.例41比较实数大小有绝招一、利用数轴比较例1在eq\f(1,3)，0，-1，eq\r(2)这四个实数中，最大的是（）A．eq\f(1,3)B．0C．-1D．eq\r(2)解析：如图1，将这四个数表示在数轴上，最右边的点表示的数是eq\r(2)，所以这四个数中，最大的数是eq\r(2).故选D.点评：利用数轴比较实数的大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数.二、用求差法比较例2比较大小：1（填“＞”、“＜”或“=”）.解析：-1=-=.因为＜=3，所以-3＜0，所以＜0，即＜1.故填＜.点评：本题利用求差法比较实数大小，关键是判断出差的符号.三、利用取近似值法比较例3将实数eq\r(5)，π，0，-6按由小到大用“＜”号连起来.解析：问题集中在比较eq\r(5)和π的大小，因为eq\r(5)≈2.236，π≈3.14，所以eq\r(5)＜π.故填-6＜0＜eq\r(5)＜π.点评：适当取一些实数的近似值，通过比较近似值的大小来比较原数的大小.四、利用平方法比较例4比较和的大小.解析：因为（）2=，（）2=3=，又＜，所以＜.点评：将两个实数分别进行平方运算，通过比较平方结果的大小来确定原数的大小.身边数学生活中的方根数学来源于生活，又应用于生活．下面我们一起走进生活，去感受一下方根的“魅力”．一、平方根在生活中的应用例1学校准备在旗杆附近修建一个面积为81平方米的花坛，现有两种设计方案：方案一：建成正方形；方案二：建成圆形.如果请你决策，从节省材料的角度考虑，你选择哪一种方案？请说明理由.（π取3.14）分析：从节省材料的角度考虑，就是用料少，即花坛周长小，因此只需要由已知条件计算出两种方案中各图形的周长，然后比较大小即可.解：设正方形的边长为a米，由题意，得a2=81，解得a=±9.因为a＞0，所以a=9，则4a=36，即方案一建成正方形的花坛需要用料36米.设圆的半径为r米，由题意，得πr2=81，解得r=≈±5.08.因为r＞0，所以≈5.08，则2πr≈31.90，即方案二建成圆形的花坛需要用料约31.90米.由于31.90＜36，显然方案二用料少一些，所以选用方案二.二、立方根在生活中的应用例2老李是一位图书爱好者，平时爱好读书，拥有很多藏书．同时，他又是一位热心人，每逢月末他都将8只棱长为60厘米的正方体纸箱装满书后运到老年娱乐中心，供老年朋友们免费借阅．为了方便装运，现在他想把这些书都放入一个新制的正方体木箱内，正好放下，求新制的正方体木箱的棱长．分析：根据8只木箱内的书正好放入新制的木箱，说明8只木箱的体积之和等于新木箱的体积.可设出新木箱的棱长，建立方程解决．解：设新制的正方体木箱的棱长为x厘米.根据题意，得x3=8×603，解得x=120.答：新制的正方体木箱的棱长为120厘米．通过以上学习，我们现在来解析一下1版“交流探索”.（1）正方形工料的边长是5分米；（2）设长方形工件的长为3x分米，则宽为2x分米．根据题意，得3x·2x=18，解得x=．因为3x=3≈5.196＞5，所以这块正方形工料不能裁出符合要求的长方形工件．身边数学实数点缀精彩生活今天的世界丰富多彩，生活中新的数学问题不断涌现，只要你留心，便会发现实数正围绕在你身边.下面就让我们一起走进多彩生活，体会实数的美妙应用.例1在水平地面上有一个网球发射器向空中随机发射网球，一段时间内发射器连续发射分别贴有①②③④四个标签的网球，这四个标签上依次写有相应的数或式子：+3，×，-4，，接住贴有最大实数的网球才能得分，你认为应该接住贴有标签的网球是.（填标签号）解析：对于+3，-4，将它们分别进行适当变形，通过找中间值来比较大小，对于×，，可以转化为有理数，然后比较.因为+3＜+3=4+3=7，-4＞-4=11-4=7，×=-3×4=-12，==，所以-4＞+3＞＞×，所以贴有最大实数的网球是③，故填③.例2某农场拟建两间长方形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在图1所示的三处各留1m宽的门，垂直于墙的边AD的长为m，平行于墙的边AB的长为m，那么拟建墙体所需要的材料（不包括门）总长为___m.图1解析：由题意得AD===9，AB==12，则所需材料的总长为3·AD+AB-3=3×9+12-3=36（m）.故填36.例3陈老师要为他家的长方形餐厅（如图2）选择一张餐桌，并且想按如下要求摆放：餐桌一侧靠长230cm的墙放置，靠墙对面的桌边留出宽度不小于80cm的通道，另两边各留出宽度不小于60cm的通道．那么在图3所示的两张餐桌中，其大小规格符合要求的餐桌编号是(把符合要求的编号都写上)．230cm230cm图2餐厅180cm门桌面是面积为6400cm2的正方形①桌面是长、宽分别为cm和cm的长方形②图3解析：先计算出符合要求的最大尺寸：餐桌最长为230－60×2＝110（cm），最宽为180－80＝100（cm）．①号餐桌的边长为＝80（cm）＜100cm，符合要求．②号餐桌：＝＝＝34＝81（cm）＜100cm，cm＝100cm，符合要求．所以两张餐桌都符合要求.故填①②．专题讲座实数与数轴的完美对接一、比较大小例1已知a，b在数轴上的位置如图1所示，则下列结论中正确的是（）A．a＜-a＜bB．|a|＞b＞-aC．-a＞|a|＞bD．|a|＞|-1|＞|b|分析：先判断出a，b的符号及与1和-1的大小关系，再做出判断．解：观察数轴可知a＜-1＜0＜b＜1，所以-a＞b，选项A错误；又因为|a|=-a，所以选项B，C错误；易知|a|＞|-1|＞|b|.故选D.二、化简例2实数a，b在数轴上的对应点如图2所示，则|a-b|-的结果为（）A．bB．2a-bC．-bD．b-2a分析：由数轴得到a＜0＜b，根据绝对值的性质和算术平方根的性质化简计算即可．解：由数轴可知a＜0＜b，则a-b＜0.所以|a-b|-=-a+b+a=b.故选A.三、估算例3如图3，数轴上有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，判断在数轴上的位置会落在线段___上.分析：先估算的范围，再判断在数轴上的大概位置.解：因为＞=4，＜≈4.