2025高考物理步步高同步练习必修2第七章专题强化 同步卫星及其综合问题含答案

2025高考物理步步高同步练习必修2第七章同步卫星及其综合问题[学习目标]1.掌握地球同步卫星的特点.2.知道“赤道上的物体”“同步卫星”“近地卫星”的区别与联系．一、地球同步卫星导学探究地球上空分布着许多的同步卫星，在地面上的人看来，始终静止不动．请思考：(1)这些同步卫星是否就真的静止不动呢？(2)这些同步卫星有什么共同的特点呢？答案(1)这些同步卫星都在绕地心做匀速圆周运动，其周期等于地球自转的周期，故卫星相对于地球静止．(2)这些卫星都在赤道上空(轨道平面与赤道平面重合)，周期一定、高度一定、线速度大小和角速度一定．知识深化同步卫星的特点(1)定周期：所有同步卫星周期均为T＝24h.(2)定轨道：同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致，即由西向东．(3)定高度：由Geq\f(mm地,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)可得，同步卫星离地面高度为h＝eq\r(3,\f(Gm地T2,4π2))－R≈3.58×104km≈6R.(4)定速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此线速度、角速度大小均不变．(5)定加速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此向心加速度大小也不变．[深度思考]不同的地球同步卫星受地球的引力大小相等吗？所需向心力大小相等吗？答案都不一定相等．如图1所示，中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．其中有静止轨道同步卫星和中轨道地球卫星．已知中轨道地球卫星的轨道高度为5000～15000km，则下列说法正确的是()图1A．中轨道地球卫星的线速度小于静止轨道同步卫星的线速度B．上述两种卫星的运行速度可能大于7.9km/sC．中轨道地球卫星绕地球一圈的时间小于24小时D．静止轨道同步卫星可以定位于北京的上空答案C解析地球同步卫星位于赤道上方高度约为36000km处，所以r同>r中，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，故v中>v同，A、D错误；两种卫星的轨道半径均大于地球的半径，运行速度均小于7.9km/s，B错误；由eq\f(GMm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，故T中<T同＝24h，C正确．针对训练1(2021·江苏南通市高一期中)北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星构成，某北斗卫星属于地球静止轨道卫星，该卫星()A．可以经过南通地区上空B．绕地球运行的速度比月球绕地球运行的速度小C．卫星中物体处于完全失重状态，不受重力作用D．线速度小于地球的第一宇宙速度答案D解析地球静止轨道卫星必须定位于赤道上空，A错误；根据Geq\f(mm地,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(Gm地,r))，月球绕地球运行的轨道半径大于地球静止轨道卫星的轨道半径，卫星绕地球运行的速度比月球绕地球运行的速度大，B错误；卫星中物体处于完全失重状态，仍受重力作用，C错误；第一宇宙速度是绕地球做圆周运动的最大速度，而地球静止轨道卫星的轨道半径比地球的半径大，故地球静止轨道卫星的线速度小于第一宇宙速度，D正确．二、同步卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较导学探究1．同步卫星和赤道上物体有什么相同点和不同点？答案相同点：周期和角速度相同不同点：向心力来源不同对于同步卫星，有eq\f(Gmm地,r2)＝man＝mω2r对于赤道上物体，有eq\f(Gmm地,r2)＝mg＋mω2r，因此要通过v＝ωr，an＝ω2r比较两者的线速度和向心加速度的大小．2．同步卫星和近地卫星有什么相同点和不同点？答案相同点：都是万有引力提供向心力即都满足eq\f(Gmm地,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝man.不同点：轨道半径不同．近地卫星的轨道半径约等于地球的半径，同步卫星的轨道半径约等于地球半径的7倍．3．若已知地球半径为R，同步卫星离地高度为h，同步卫星的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，地球赤道上物体的线速度大小为v2，向心加速度大小为a2，求v1与v2及a1与a2的比值．答案v1∶v2＝(R＋h)∶Ra1∶a2＝(R＋h)∶R4．若近地卫星的线速度大小为v3，向心加速度大小为a3，求v1与v3及a1与a3的比值．答案v1∶v3＝eq\r(\f(R,R＋h))，a1∶a3＝eq\f(R2,R＋h2)如图2所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星．三颗卫星质量相同，三颗卫星的线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度大小分别为aA、aB、aC，则()图2A．ωA＝ωC<ωB B．TA＝TC<TBC．vA＝vC<vB D．aA＝aC>aB答案A解析同步卫星与地球自转同步，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及an＝ω2r得vC>vA，aC>aA，对同步卫星和近地卫星，根据eq\f(Gmm地,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝man，知vB>vC，ωB>ωC，TB<TC，aB>aC.故可知vB>vC>vA，ωB>ωC＝ωA，TB<TC＝TA，aB>aC>aA.选项A正确，B、C、D错误．针对训练2(2020·南京市大厂高级中学月考)地球同步卫星与地心的距离为r，运动速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，已知地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G，则下列关系式正确的是()A．M＝eq\f(a1r2,G) B．a1r2＝a2R2C．Rv1＝rv2 D．v2＝eq\r(a2R)答案A1.(2020·天津卷)如图1所示，北斗问天，国之夙愿．我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍．与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星()图1A．周期大 B．线速度大C．角速度大 D．加速度大答案A解析根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r、Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)、Geq\f(Mm,r2)＝mω2r、Geq\f(Mm,r2)＝ma可知T＝2πeq\r(\f(r3,GM))、v＝eq\r(\f(GM,r))、ω＝eq\r(\f(GM,r3))、a＝eq\f(GM,r2)，因为地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的周期大、线速度小、角速度小、向心加速度小，故选项A正确．2．(2021·江苏淮安市高一期中)2018年5月4日0点6分，我国使用长征三号乙(CZ－3B)运载火箭，在西昌卫星发射中心成功发射了一颗亚太6C同步通信卫星．它的发射正为国家“一带一路”倡议提供更多支持．关于这颗卫星，下列说法正确的是()A．在轨速度等于第一宇宙速度B．加速度等于地面重力加速度C．可以通过江苏淮安的正上方D．运行周期等于地球的自转周期答案D解析由万有引力提供向心力Geq\f(mm地,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(Gm地,r))，同步卫星轨道半径大于近地卫星的轨道半径，所以同步卫星在轨速度不等于第一宇宙速度，A错误；由万有引力提供向心力得Geq\f(mm地,r2)＝ma，解得a＝eq\f(Gm地,r2)，同步卫星轨道半径大于地球半径，所以加速度不等于地面重力加速度(近地)，B错误；同步卫星是人造卫星，绕地球转动周期和地球自转同步，位于赤道上方，所以不会通过江苏淮安的正上方，C错误；同步卫星转动和地球自转同步，运行周期等于地球的自转周期，D正确．3．(2021·江苏淮安市高一期中)关于“亚洲一号”地球同步通信卫星，下述说法正确的是()A．若将它的质量增为原来的2倍，其同步轨道半径变为原来的2倍B．它的运行速度大于7.9km/s，它处于完全失重状态C．它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播D．它的周期是24h，其轨道平面与赤道平面重合且距地面高度一定答案D解析地球同步卫星距离地球的高度约为36000km，与质量无关，故A错误；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是物体绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度．同步卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，根据v＝eq\r(\f(Gm地,r))，可知同步卫星运行的线速度一定小于第一宇宙速度，故B错误；同步卫星都在赤道上空，轨道平面与赤道平面重合，所以同步卫星不可能经过北京的正上方，故C错误；根据万有引力提供向心力Geq\f(m地m,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，解得h＝eq\r(3,\f(Gm地T2,4π2))－R，可知周期一定，则距地面高度一定，故D正确．4．“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空．与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380km的圆轨道上飞行，则下列说法不正确的是()A．角速度小于地球自转角速度B．线速度小于第一宇宙速度C．周期小于地球自转周期D．向心加速度小于地面的重力加速度答案A解析由万有引力提供向心力得Geq\f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)ω2＝meq\f(v2,R＋h)＝m(R＋h)eq\f(4π2,T2)＝man，解得v＝eq\r(\f(GM,R＋h))，ω＝eq\r(\f(GM,R＋h3))，T＝eq\r(\f(4π2R＋h3,GM))，an＝eq\f(GM,R＋h2)，由题意可知，“天舟一号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，也大于地球的自转角速度，“天舟一号”的周期小于地球的自转周期，选项A错误，C正确；第一宇宙速度大小为eq\r(\f(GM,R))，可知“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项B正确；由地面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2)可知，“天舟一号”的向心加速度小于地面的重力加速度，选项D正确．5．(2021·江苏淮安市楚州中学月考)如图2所示，A表示地球同步卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是()图2A．ωA>ωB>ωC B．vB>vA>vCC．FA>FB>FC D．TA>TC>TB答案B解析A、C的角速度相等，由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，可知A的角速度小于B的角速度，因而ωC＝ωA<ωB，故A错误；A、C的角速度相等，由v＝ωr可知，vC<vA，对于卫星A、B，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知vA<vB，因而vB>vA>vC，故B正确；两颗卫星和物体C的质量都相同，由F＝Geq\f(Mm,r2)知，轨道半径越大，万有引力越小，故FA<FB<FC，故C错误；卫星A为同步卫星，周期与物体C周期相等，又由万有引力提供向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，则A的周期大于B的周期，即TC＝TA>TB，故D错误．6．(2021·昆山震川高级中学月考)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比()A．距地面的高度变小 B．向心加速度变小C．线速度变大 D．角速度变大答案B解析设同步卫星的质量为m，轨道半径为r，地球的质量为M，地球同步卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由题意知，地球自转在逐渐变慢，地球自转周期T变大，同步卫星绕地球做圆周运动的周期T变大，则同步卫星的轨道半径r增大，同步卫星距地面的高度变大，故A错误；地球同步卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，由于r变大，则向心加速度a变小，故B正确；地球同步卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，由于r变大，则线速度v变小，故C错误；同步卫星做圆周运动的角速度ω＝eq\f(2π,T)，由于周期T变大，则角速度ω变小，故D错误．7．2017年10月24日，在地球观测组织(GEO)全会期间举办的“中国日”活动上，我国正式向国际社会免费开放共享我国新一代地球同步静止轨道气象卫星“风云四号”和全球第一颗二氧化碳监测科学实验卫星(简称“碳卫星”)的数据．“碳卫星”是绕地球极地运行的卫星，在离地球表面700km的圆轨道对地球进行扫描，汇集约140天的数据可制作一张无缝隙全球覆盖的二氧化碳监测图，下列有关这两颗卫星的说法正确的是()A．“风云四号”卫星的向心加速度大于“碳卫星”的向心加速度B．“风云四号”卫星的线速度小于“碳卫星”的线速度C．“碳卫星”的运行轨道理论上可以和地球某一条经线重合D．“风云四号”卫星的线速度大于第一宇宙速度答案B解析“风云四号”卫星是地球同步卫星，其运行的轨道半径大于“碳卫星”的轨道半径，由an＝eq\f(Gm地,r2)可知其向心加速度小于“碳卫星”的向心加速度，选项A错误；由v＝eq\r(\f(Gm地,r))可知，“风云四号”卫星的线速度小于“碳卫星”的线速度，选项B正确；“碳卫星”的运行轨道是过地心及地球两极的固定平面，而地球的经线是随地球不断转动的，所以“碳卫星”的运行轨道不可能和地球某一条经线重合，选项C错误；“风云四号”卫星的轨道半径大于地球的半径，则其线速度小于第一宇宙速度，选项D错误．8．土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是()A．若v2∝R，则该层是土星的卫星群B．若v∝R，则该层是土星的一部分C．若v∝eq\f(1,R)，则该层是土星的卫星群D．若v2∝eq\f(1,R)，则该层是土星的一部分答案B解析若外层的环是土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，D错误；若是土星的卫星群，则由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得v2∝eq\f(1,R)，故A、C错误．卫星的变轨和双星问题[学习目标]1.知道卫星变轨的原因，会分析卫星变轨前后的物理量变化.2.知道航天器的对接问题的处理方式.3.掌握双星运动的特点，会分析双星问题．一、卫星的变轨问题导学探究1．图1是飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图．(1)请思考：从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？为什么？(2)从奔月轨道进入月球轨道，又应采取什么措施？为什么？图1答案(1)从绕地球运动的轨道上加速，使飞船做离心运动，当飞船加速时，飞船所需的向心力F向＝meq\f(v2,r)增大，万有引力不足以提供飞船所需的向心力，飞船将做离心运动，向高轨道变轨．(2)飞船从奔月轨道进入月球轨道应减速．当飞船减速时，飞船所需的向心力F向＝meq\f(v2,r)减小，万有引力大于所需的向心力，飞船将做近心运动，向低轨道变轨．2．如图2，发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，在Q点点火加速做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ，在P点点火加速，使其满足eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，进入圆轨道Ⅲ做圆周运动．图2(1)设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上经过Q点和P点时的速率分别为vQ、vP，试比较这几个速度的大小关系．答案①圆轨道上v1>v3②从圆轨道Ⅰ在Q点加速进入椭圆轨道，则vQ>v1③从椭圆轨道Ⅱ在P点加速进入圆轨道Ⅲ，则v3>vP④在椭圆轨道上vQ>vP，所以vQ>v1>v3>vP.(2)试比较卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运行时的周期T1、T2、T3的大小关系．答案由开普勒第三定律知：T3>T2>T1.(3)试比较卫星在轨道Ⅰ上的加速度大小a1，轨道Ⅲ上的加速度大小a3，椭圆轨道上经过Q点和P点的加速度大小aQ、aP的大小．答案由eq\f(GMm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，知a与卫星到地心的距离有关，所以不同轨道上同一点的加速度相同，则a1＝aQ>aP＝a3.[深度思考]卫星从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ需要在Q点加速即vQ>v1；从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ需要在P点加速，即v3>vP；又v1>v3，它们矛盾吗？答案不矛盾．P、Q两点速度不相同，在椭圆轨道Ⅱ上，从Q点到P点卫星做减速运动，故不矛盾．2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图3所示，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道Ⅱ.在圆形轨道Ⅱ上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚．对于该过程，下列说法正确的是(图中A点为近日点)()图3A．沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道ⅡB．沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期C．沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度D．在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大答案B解析地球沿轨道Ⅰ运行至B点时，需向后喷气加速才能进入轨道Ⅱ，选项A错误；因轨道Ⅰ的半长轴小于轨道Ⅱ的半径，根据开普勒第三定律可知，地球沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期，选项B正确；根据a＝eq\f(GM,r2)可知，地球沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度大于在B点的加速度，选项C错误；根据开普勒第二定律可知，地球在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程中，地球逐渐远离太阳，速度逐渐减小，选项D错误．判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路1．判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断．2．判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小．3．判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析．4．判断卫星的加速度大小时，可根据a＝eq\f(F万,m)＝Geq\f(M,r2)判断．针对训练(2021·扬州市邗江中学期中)如图4所示，我国火星探测器“天问一号”在地火转移轨道1上飞行七个月后，进入近火点为400千米、远火点为5.9万千米的火星停泊轨道2，进行相关探测后将进入较低的轨道3开展科学探测．则探测器()图4A．在轨道2上近火点减速可进入轨道3B．在轨道2上的周期比在轨道3上的周期小C．在轨道2上近火点的机械能比远火点大D．从地球发射时的速度介于地球的第一宇宙速度和第二宇宙速度之间答案A解析在轨道2上近火点减速，探测器做近心运动，可进入轨道3，选项A正确；根据开普勒第三定律可知，T2>T3，选项B错误；在轨道2上运行时机械能守恒，故选项C错误；从地球发射探测器时，要脱离地球引力的束缚，则发射速度大于第二宇宙速度，选项D错误．二、航天器的对接问题若使航天器在同一轨道上运行，航天器加速会进入较高的轨道，减速会进入较低的轨道，都不能实现对接，故要想实现对接，可使航天器在半径较小的轨道上加速，然后进入较高的空间轨道，逐渐靠近其他航天器，两者速度接近时实现对接．如图5所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功．假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()图5A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接答案C解析飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可在两者速度接近时实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误．三、双星或多星问题1．双星模型(1)如图6所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”．图6(2)特点①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同．②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比．(3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1，Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2.2．多星系统在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同．(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它万有引力的合力提供的．两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图7所示．已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T.图7答案见解析解析双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力，对m1：eq\f(Gm1m2,L2)＝m1r1ω2对m2：eq\f(Gm1m2,L2)＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L解得r1＝eq\f(Lm2,m1＋m2)，r2＝eq\f(Lm1,m1＋m2)由Geq\f(m1m2,L2)＝m1r1eq\f(4π2,T2)及r1＝eq\f(Lm2,m1＋m2)得周期T＝2πLeq\r(\f(L,Gm1＋m2)).(2021·重庆市第一中学高一下月考)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三颗星体的质量相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕中央星体做匀速圆周运动，如图8甲所示；另一种是三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，如图乙所示．设这两种构成形式中三颗星体的质量均为m，且两种系统中各星体间的距离已在图甲、乙中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是()图8A．直线三星系统中外侧每颗星体做匀速圆周运动的线速度大小为eq\r(\f(Gm,L))B．直线三星系统中外侧每颗星体做匀速圆周运动的周期为2πeq\r(\f(L3,5Gm))C．三角形三星系统中每颗星做匀速圆周运动的角速度为2eq\r(\f(3Gm,L3))D．三角形三星系统中每颗星做匀速圆周运动的加速度大小为eq\f(\r(3)Gm,L2)答案D解析直线三星系统中，外侧星体做匀速圆周运动的向心力由其他两颗星体对它的万有引力的合力提供，有Geq\f(m2,L2)＋Geq\f(m2,2L2)＝meq\f(v2,L)，解得v＝eq\f(1,2)eq\r(\f(5Gm,L))，由T＝eq\f(2πL,v)可得，T＝4πeq\r(\f(L3,5Gm))，ma，可得a＝eq\f(\r(3)Gm,L2)，故C错误，D正确．训练1卫星的变轨问题1．2018年12月12日，嫦娥四号探测器经过约110小时的奔月飞行到达月球附近．假设嫦娥四号在月球上空某高度处做圆周运动，运行速度为v1，为成功实施近月制动，使它进入更靠近月球的预定圆轨道，设其在预定圆轨道上的运行速度为v2.对这一变轨过程及变轨前后的速度对比正确的是()A．发动机向后喷气进入低轨道，v1>v2B．发动机向后喷气进入低轨道，v1<v2C．发动机向前喷气进入低轨道，v1>v2D．发动机向前喷气进入低轨道，v1<v2答案D解析设月球和嫦娥四号的质量分别为M、m，由万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，轨道半径越小，运行速度越大，可知v1<v2；要对嫦娥四号实施近月制动使其进入更靠近月球的预定圆轨道，嫦娥四号的发动机应向前喷气，选项D正确，A、B、C错误．2．(2019·江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图1所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则()图1A．v1＞v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) B．v1＞v2，v1＞eq\r(\f(GM,r))C．v1＜v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) D．v1＜v2，v1＞eq\r(\f(GM,r))答案B解析根据开普勒第二定律知，v1>v2，在近地点画出近地圆轨道，由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)可知，过近地点做匀速圆周运动的速度为v＝eq\r(\f(GM,r))，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v1>eq\r(\f(GM,r))，故B正确．3.(2021·江苏新沂市第一中学联考)2021年2月，我国“天问一号”火星探测器到达火星附近，进入环火轨道，进行火星科学探测．探测器着陆前运行的轨道分别如图2中1、2、3所示，则探测器()图2A．沿不同轨道运动，经过P点时的加速度相同B．由轨道2变到轨道3，需要在P点加速C．在轨道1上运行的周期比在轨道2上运行的周期小D．沿轨道2经过P点的速度大于沿轨道1经过P点的速度答案A解析根据牛顿第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝ma，由于经过P点的距离r相同，所以沿不同轨道运动，经过P点时的加速度相同，选项A正确；由轨道2变到轨道3，探测器做近心运动，因此需要在P点减速，选项B错误；根据开普勒第三定律知，在轨道1上运行的周期比在轨道2上运行的周期大，选项C错误；由轨道1变到轨道2，需要点火减速，选项D错误．4.现对发射地球同步卫星的过程进行分析，如图3所示，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，P点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则()图3A．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9km/sB．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2km/sC．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度7.9km/sD．在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度大于第一宇宙速度7.9km/s答案C解析第一宇宙速度是卫星在近地轨道运行的线速度，根据eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)可知v＝eq\r(\f(GM,r))，故轨道半径越大，线速度越小，所以同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A错误；该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B错误；P点为近地圆轨道上的一点，但要从近地圆轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P点加速，所以在Ⅰ轨道上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度，C正确；在Q点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q点加速，即卫星在轨道Ⅱ上经过Q点的速度大于在轨道Ⅰ上经过Q点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度小于第一宇宙速度，D错误．5.(2020·上海建平中学高一月考)发射同步卫星的一般程序：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q点)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道，如图4.设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆转移轨道的近地点P的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，则下列说法正确的是()图4A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时需要减速B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时需要加速C．T1<T3<T2D．v2>v1>v4>v3答案D解析由题图知，卫星在P点做离心运动，变轨时需要加速，同理，在Q点变轨时也需要加速，故A、B错误；由开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k可知，圆轨道的半径或椭圆轨道的半长轴越大，周期越大，因此T1<T2<T3，故C错误；卫星在近地圆轨道上的P点加速，使得万有引力小于所需向心力，进入椭圆转移轨道，所以卫星在近地圆轨道上经过P点时的速度小于在椭圆转移轨道上经过P点时的速度，即v1<v2，沿转移轨道刚到达Q点时的速率为v3，在Q点点火加速之后进入同步圆轨道，速率为v4，所以卫星在转移轨道上经过Q点时的速度小于在同步圆轨道上经过Q点时的速度，即v3<v4，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，同步轨道的半径大于近地轨道的半径，则v4<v1，综上可知v2>v1>v4>v3，故D正确．6．(2021·福建南平市高一期中)2020年11月24日，长征五号遥五运载火箭托举“嫦娥五号”向着月球飞驰而去.12月17日，在闯过月面着陆、自动采样、月面起飞、月轨交会对接、再入返回等多个难关后，历经重重考验的嫦娥五号携带月球样品，成功返回地面．如图5为“嫦娥五号”发射到达环月轨道的行程示意图，下列说法正确的是()图5A．在地月转移轨道上无动力奔月时，速率不断减小B．接近环月轨道时，需要加速才能进入环月轨道C．“嫦娥五号”在地月转移轨道上运动的最大速度小于11.2km/sD．“嫦娥五号”在地球表面加速升空过程中地球引力越来越小，处于失重状态答案C7.如图6，已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，轨道半径为r，r＝4R，到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．已知引力常量G，求：图6(1)第一次点火和第二次点火分别是加速还是减速；(2)飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；(3)飞船在轨道Ⅱ上的运行周期．答案(1)第一次点火与第二次点火都是减速(2)eq\f(1,2)eq\r(g0R)(3)eq\f(5\r(10)π,2)eq\r(\f(R,g0))解析(1)由高轨道到低轨道，半径减小，飞船做近心运动，所需要的向心力小于万有引力，故要减速才可实现，即第一次点火与第二次点火都是减速．(2)由题意可知轨道Ⅰ的半径为4R，设飞船的质量为m，月球的质量为M，飞船在轨道Ⅰ上的运行速率为v，由万有引力提供向心力有：Geq\f(Mm,4R2)＝meq\f(v2,4R)，假设在月球表面有一个质量为m′的物体，根据月球表面物体的重力近似等于物体受到的月球的引力，则m′g0＝Geq\f(Mm′,R2)，联立可得v＝eq\f(1,2)eq\r(g0R).(3)由题意可知轨道Ⅲ的半径为R，设飞船在轨道Ⅲ上的运行周期为T，根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，且M＝eq\f(g0R2,G)可得T＝2πeq\r(\f(R,g0)).由开普勒第三定律有eq\f(R\o\al(Ⅱ3),R3)＝eq\f(T\o\al(Ⅱ2),T2)又RⅡ＝eq\f(r＋R,2)＝eq\f(5,2)R解得TⅡ＝eq\f(5\r(10)π,2)eq\r(\f(R,g0)).训练2双星及多星问题1．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，冥王星与星体卡戎的质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上的某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的()A．轨道半径约为卡戎的eq\f(1,7)B．角速度约为卡戎的eq\f(1,7)C．线速度大小约为卡戎的7倍D．向心力大小约为卡戎的7倍答案A解析双星系统内的两颗星运动的角速度相等，B错误；双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相等，D错误；根据m1ω2r1＝m2ω2r2，得eq\f(r1,r2)＝eq\f(m2,m1)＝eq\f(1,7)，A正确；根据v＝ωr，得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(1,7)，C错误．2．如图1所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星中心之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是()图1A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2C．m1做圆周运动的半径为eq\f(2,5)LD．m2做圆周运动的半径为eq\f(2,5)L答案C解析设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得Geq\f(m1m2,L2)＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2所以可得r1＝eq\f(2,5)L，r2＝eq\f(3,5)Lm1、m2运动的线速度分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω，故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.综上所述，选项C正确．3．(2021·深圳外国语学校月考)美国宇航局利用开普勒太空望远镜发现了一个新的双星系统，命名为“开普勒－47”，该系统位于天鹅座内，距离地球大约5000光年．这一新的系统有一对互相围绕运行的恒星，运行周期为T，其中大恒星的质量为M，小恒星的质量只有大恒星质量的三分之一．已知引力常量为G，则下列判断正确的是()A．小恒星、大恒星的转动半径之比为1∶1B．小恒星、大恒星的转动半径之比为1∶2C．两颗恒星相距eq\r(3,\f(GMT2,3π2))D．两颗恒星相距eq\r(3,\f(GMT2,4π2))答案C解析设两恒星间的距离为L，小恒星、大恒星的轨道半径分别为r1、r2，小恒星质量为M1，则M1＝eq\f(1,3)M，两恒星运动的周期相同，角速度相同，所需的向心力由万有引力提供，有Geq\f(M1M,L2)＝Mr2ω2＝M1r1ω2，可得eq\f(r1,r2)＝eq\f(M,M1)＝3，故A、B错误；由A、B项分析知，r1＝eq\f(3,4)L，又eq\f(GMM1,L2)＝M1r1eq\f(4π2,T2)，解得L＝eq\r(3,\f(GMT2,3π2))，故C正确，D错误．4.如图2所示为两个中子星相互吸引旋转并靠近最终合并成黑洞的过程，科学家预言在此过程中释放引力波．根据牛顿力学，在中子星靠近的过程中()图2A．中子星间的引力变大B．中子星的线速度变小C．中子星的角速度变小D．中子星的加速度变小答案A解析设两中子星的距离为L，由F＝Geq\f(m1m2,L2)可知，当L减小时引力增大，选项A正确；两中子星绕其连线上某点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，因此有m1r1ω2＝m2r2ω2＝Geq\f(m1m2,L2)，r1＋r2＝L，解得ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3))，r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq\f(m1,m1＋m2)L，可知L变小，中子星的角速度增大，对质量为m1的中子星v1＝ωr1＝eq\r(\f(Gm\o\al(22),m1＋m2L))，加速度a1＝Geq\f(m2,L2)，可知L变小，线速度变大，加速度变大，对质量为m2的中子星同理，选项B、C、D错误．5．2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A．质量之积 B．质量之和C．速率