专升本（高等数学一）模拟试卷18（共112题）

专升本（高等数学一）模拟试卷18（共4套）（共112题）专升本（高等数学一）模拟试卷第1套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、下列函数中在点x=0处可导的是()A、B、|x|C、D、|x|2标准答案：D知识点解析：因为在x=0处无定义不可导，|x|在x=0处不可导；|x|2=x2可导，故选D。2、设f(x)在点x0处取得极值，则()A、f’(x0)不存在或f’(x0)=0B、f’(x0)必定不存在C、f’(x0)必定存在且f’(x0)=0D、f’(x0)必定存在，不一定为零标准答案：A知识点解析：若点x0为f(x)的极值点，可能为两种情形之一：(1)若f(x)在点x0处可导，由极值的必要条件可知f’(x0)=0；(2)如f(x)=|x|在点x=0处取得极小值，但f(x)=|x|在点x=0处不可导，这表明在极值点处，函数可能不可导。故选A。3、下列等式不成立的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：利用重要极限Ⅱ的结构式，可知选项C不成立，故选C。4、点(-1，-2，-5)关于yOz平面的对称点是()A、(-1，2，-5)B、(-1，2，5)C、(1，2，5)D、(1，-2，-5)标准答案：D知识点解析：关于yOz平面对称的两点的横坐标互为相反数，故选D。5、设I1=，I2=，则()A、I1＞I2＞I3B、I1＞I3＞I2C、I3＞I1＞I2D、I2＞I1＞I3标准答案：D知识点解析：所以I2＞I1＞I3，故选D。6、函数y=x+的单调递减区间为()A、(-∞，-2)，(2，+∞)B、(-2，2)C、(-∞，0)，(0，+∞)D、(-2，0)，(0，2)标准答案：D知识点解析：令f(x)=x+，导数f’(x)=1-令f’(x)=0，分界驻点为x1=-2,x2=-2，且在x=0处无定义。当x=-2时，左侧f’(x)＞0，f(x)单调递增，右侧(到x=0)f’(x)＜0，f(x)单调递减；当x=2时，左侧(到x=0)f’(x)＜0，f(x)单调递减，右侧f’(x)＞0，f(x)单调递增。所以，在(-2，0)，(0，2)内函数f(x)为减函数，故选D。7、在空间中，方程y=x2表示()A、xOy平面的曲线B、母线平行于Oy轴的抛物柱面C、母线平行于Oz轴的抛物柱面D、抛物面标准答案：C知识点解析：方程F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，故选C。8、下列反常积分收敛的是()A、∫1+∞xdxB、∫1+∞x2dxC、D、标准答案：D知识点解析：A，∫1+∞xdx==∞发散；9、幂级数的收敛半径为()A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：由于可知收敛半径R==1．故选A。10、设()A、1B、-1C、0D、2标准答案：A知识点解析：二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)11、幂级数的收敛半径为________。标准答案：1知识点解析：所给幂级数为不缺项情形，可知ρ=1，因此收敛半径R==1。12、设f(x)=esinx，则=________。标准答案：-1知识点解析：由f(x)=esinx，则f’(x)=cosxesinx。再根据导数定义有=cosπesinπ=-1。13、已知当x→0时，-1与x2是等价无穷小，则a=________。标准答案：2知识点解析：当x→0时，-1与x2等价，应满足所以当a=2时是等价的。14、y"+8y’=0的特征方程是________。标准答案：r2+8r=0知识点解析：本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特征方程的概念。y"+8y’=0的特征方程为r2+8r=0。15、若f’(ex)=1+e2x，且f(0)=1，则f(x)=________。标准答案：知识点解析：因为f’(ex)=1+e2x，则等式两边对ex积分有16、已知f(0)=1，f(1)=2，f’(1)=3，则∫01xf"(x)dx=________。标准答案：2知识点解析：由题设有∫01xf"(x)dx=∫01xf’(x)=xf’(x)|01-|01f’(x)dx=f’(1)-f(x)|01=f’(1)-f(1)+f(0)=3-2+1=2。17、空间直角坐标系中方程x2+y2=9表示的曲线是________。标准答案：以Oz为轴的圆柱面知识点解析：方程F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，方程x2+y2=32=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程。18、直线的方向向量为________。标准答案：{-2，1，2)知识点解析：直线l的方向向量为19、设z=x2y+siny，=________。标准答案：2x知识点解析：由于z=x2y+siny，可知。20、已知∫01f(x)dx=π，则∫01dx∫01f(x)f(y)dy=________。标准答案：π2知识点解析：因为∫01f(x)dx=π，所以∫01dx∫01(x)f(y)dy=∫01f(x)dx∫01f(y)dy=(∫01f(x)dx)2=π2。三、简单解答题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)21、设，求f’(x)。标准答案：f(x2)=f’(x2).。令u=x2，则f(x2)=f(u)。由于由题设有。知识点解析：这是一道一般形式的复合函数求导和求函数值的小综合题。22、计算标准答案：令，x=t2，dx=2tdt。当x=4时，t=2；当x=9时，t=3。则有.2tdt=2∫23sintdt=-2cost|23=2(cos2-cos3)。知识点解析：本题采用凑微分法。即=-2(cos3-cos2)=2(cos2-cos3)，也可采用下面的方法来解。23、设f(x)=e3x，求标准答案：直接求解法知识点解析：本题属于求函数值与积分的小综合题。24、试证：|arctanb-arctana|≤|b-a|．标准答案：证明对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系．因此可以设y=f(x)=arctanx，不妨设a＜b。则y=arctanx在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导。进而可知，y=arctanx在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，因此必定存在点ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。由于由于1+ξ2≥1，因此|arctanb-arctana|≤|b-a|。知识点解析：由于拉格朗日中值定理描述了函数的增量与自变量的增量及导数在给定区间内某点值之间的关系，因而微分中值定理常可用来证明某些有关可导函数增量与自变量的增量，或它们在区间内某点处函数值有关的等式与不等式。25、计算，其中D为x2+y2≤2y与x≥0的公共部分．标准答案：将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分的步骤：(1)将x=rcosθ，y=rsinθ代入被积函数；(2)将积分区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限；(3)将面积元dxdy换为rdrdθ。采用极坐标，则D可表示为0≤θ≤，0≤r≤2sinθ，知识点解析：本题考查极坐标系下二重积分的计算。四、复杂解答题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)26、判定的敛散性。标准答案：设un=υn=，由于为公比r=的几何级数，因此为收敛级数，而为公比r=的几何级数，因此为收敛级数，进而知收敛，故收敛。知识点解析：，因为，即这两个正项级数都是公比小于1的几何级数，因此上述级数收敛。27、已知z=，y=et，x=t3+t，求，dz。标准答案：知识点解析：此题可将x=t3+t，y=et直接代入z=，然后利用一元复合函数求导法，即当然也可采用下面方法。28、设f(x)为[0，1]上的连续函数，试证eyf(x)dx=∫01(e-ex2)f(x)dx。标准答案：由于二重积分区域D可以表示为：0≤y≤1，0≤x≤，其图形如图阴影部分所示。如果换为先对y积分，作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正向看，入口曲线为y=x2，出口曲线为y=1，因此x2≤y≤1，在区域D中0≤x≤1，因此原等式成立。知识点解析：本题实际上是一道交换积分次序的题，对左式可先根据x的积分限画出积分区域D的草图，再由草图所示转化为先对y积分，求出后即得右式。专升本（高等数学一）模拟试卷第2套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、等于()．A、0B、C、D、∞标准答案：A知识点解析：2、设函数f(x)在点x0处连续，则下列结论肯定正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：本题考查的知识点为连续性的定义，连续性与极限、可导性的关系．由函数连续性的定义：若在x0处f(x)连续，则可知选项D正确，C不正确．由于连续性并不能保证f(x)的可导性，可知A不正确．自于连续必定能保证极限等于f(x0)，而f(x0)不一定等于0，B不正确．故知应选D．3、设函数f(x)在x=1处可导，且，则f’(1)等于()．A、1/2B、1/4C、-1/4D、-1/2标准答案：B知识点解析：本题考查的知识点为可导性的定义．当f(x)在x=1处可导时，由导数定义可得可知f’(1)=1/4，故应选B．4、函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是()．A、(-5，5)B、(-∞，0)C、(0，+∞)D、(-∞，+∞)标准答案：C知识点解析：本题考查的知识点为判定函数的单调性．y=ln(1+x2)的定义域为(-∞，+∞)．当x＞O时，y’＞0，y为单调增加函数．当x＜0时，y’＜0，y为单调减少函数．可知函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是(0，+∞)，故应选C．5、设曲线y=x-ex在点(0，-1)处与直线l相切，则直线l的斜率为()．A、∞B、1C、0D、-1标准答案：C知识点解析：本题考查的知识点为导数的几何意义．由于y=x-ex，y’=1-ex，y’|x=0=0．由导数的几何意义可知，曲线y=x-ex在点(0，-1)处切线斜率为0，因此选C．6、已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()．A、2B、1C、-1D、-2标准答案：D知识点解析：本题考查的知识点为可变限积分求导．由原函数的定义可知(cos2x)’=ksin2x，而(cos2x)’=(-sin2x)·2，可知k=-2．7、下列关系正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：本题考查的知识点为不定积分的性质．由不定积分的性质可知，故选B．8、设f(x)为连续函数，则等于()．A、f(x)-f(a)B、f(a)-f(x)C、f(x)D、f(a)标准答案：C知识点解析：本题考查的知识点为可变限积分求导．由于当f(x)连续时，，可知应选C．9、设函数z=y3x，则等于()．A、y3xlnyB、3y3xlnyC、3xy3xD、3xy3x-1标准答案：D知识点解析：本题考查的知识点为偏导数的计算．z=y3x是关于y的幂函数，因此故应选D．10、级数(a为大于0的常数)()．A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、收敛性与a有关标准答案：A知识点解析：本题考查的知识点为级数绝对收敛与条件收敛的概念．注意为p=2的p级数，因此为收敛级数，由比较判别法可知收敛，故绝对收敛，应选A．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)11、标准答案：知识点解析：本题考查的知识点为微分的四则运算．注意若u，v可微，则12、标准答案：知识点解析：本题考查的知识点为重要极限公式．13、设f(0)=0，f’(0)存在，则标准答案：f’(0)知识点解析：本题考查的知识点为导数的定义．由于f(0)=0，f’(0)存在，因此本题如果改为计算题，其得分率也会下降，因为有些考生常常出现利用洛必达法则求极限而导致运算错误：因为题设中只给出f’(0)存在，并没有给出，f’(z)(x≠0)存在，也没有给出，f’(x)连续的条件，因此上述运算的两步都错误．14、y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______．标准答案：-24知识点解析：本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：(1)求出f’(x)．(2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk．(3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点．y=x3-27x+2,则y’=3x2-27=3(x-3)(x+3),令y’=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内．由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24．本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视．本题还可以采用下列解法：注意到y’=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y’＜0，因此y为单调减少函数。可知x=2为y的最小值点，最小值为y|x=2=-44．x=1为y的最大值点，最大值为y|x=1=-24．15、标准答案：知识点解析：本题考查的知识点为两个：参数方程形式的函数求导和可变上限积分求导．16、标准答案：e4-e．知识点解析：本题考查的知识点为定积分的基本公式．17、过点(1，-1，0)且与直线平行的直线方程为______．标准答案：知识点解析：本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系．由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，-1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为18、级数的收敛区间为______．标准答案：(-∞，+∞)知识点解析：本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．19、微分方程exy’=1的通解为______．标准答案：y=-e-x+C知识点解析：本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．可分离变量方程求解的一般方法为：(1)变量分离；(2)两端积分．由于方程为exy’=1，先变形为变量分离dy=e-xdx．两端积分为所求通解．20、设区域D由曲线y=x2，y=x围成，则二重积分标准答案：1/6知识点解析：本题考查的知识点为计算二重积分．积分区域D可以表示为：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此三、简单解答题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)21、计算标准答案：知识点解析：本题考查的知识点为不定积分的换元积分运算．22、设标准答案：知识点解析：本题考查的知识点为参数方程形式的函数的求导．只需依公式，先分别求出即可．23、设z=xy3+2yx2求标准答案：知识点解析：暂无解析24、求y"-2y’-8y=0的通解．标准答案：特征方程为r2-2r-8=0特征根为r1=-2,r2=4方程的通解为知识点解析：暂无解析25、将展开为x的幂级数．标准答案：知识点解析：本题考查的知识点为将函数展开为x的幂级数．将函数展开为x的幂级数通常利用间接法．先将f(x)与标准展开式中的函数对照，以便确定使用相应的公式．如果f(x)可以经过恒等变形变为标准展开式中函数的和、差形式，则可以先变形．四、复杂解答题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)26、求微分方程y"-y’-2y=3ex的通解．标准答案：相应的齐次微分方程为y"-y’-2y=0．其特征方程为r2-r-2=0．其特征根为r1=-1，r2=2．齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e2x．由于f(x)=3ex，1不是其特征根，设非齐次方程的特解为y*=Aex．代入原方程可得原方程的通解为知识点解析：本题考查的知识点为求解二阶线性常系数非齐次微分方程．由二阶线性常系数非齐次微分方程解的结构定理可知，其通解y=相应齐次方程的通解Y+非齐次方程的一个特解y*．其中Y可以通过求解特征方程得特征根而求出．而yq*可以利用待定系数法求解．27、设f(x)为连续函数，且标准答案：设，则f(x)=x3+3Ax．将上式两端在[0，1]上积分，得因此知识点解析：本题考查的知识点为两个：定积分表示一个确定的数值；计算定积分．由于定积分存在，因此它表示一个确定的数值，设，则f(x)=x3+3Ax．这是解题的关键!为了能求出A，可考虑将左端也转化为A的表达式，为此将上式两端在[0，1]上取定积分，可得得出A的方程，可解出A，从而求得f(x)．本题是考生感到困难的题目，普遍感到无从下手，这是因为不会利用“定积分表示一个数值”的性质．这种解题思路可以推广到极限、二重积分等问题中．28、设F(x)为f(x)的一个原函数，且f(x)=xlnx，求F(x)．标准答案：由题设可得知知识点解析：本题考查的知识点为两个：原函数的概念和分部积分法．专升本（高等数学一）模拟试卷第3套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、若∫f(x)dx=xln(x+1)+C，则等于()A、2B、一2C、一1D、1标准答案：A知识点解析：本题考查了一元函数的导数及其极限的知识点．因∫f(x)dx=xlb(x+1)+C，所以f(x)=[xln(x+1)+C]’=ln(x+1)+x/(x+1)，故2、设函数y=x2+1，则dy/dx=()A、1/3x2B、x2C、2xD、1/2x标准答案：C知识点解析：本题考查了一元函数的一阶导数的知识点．y=x2+1，dy/dx=2x．3、设函数y=ex—2，则dy=()A、ex—3dxB、ex—2dxC、ex—1dxD、exdx标准答案：B知识点解析：本题考查了一元函数的微分的知识点．因为y=ex—2，y’=ex—2，所以dy=ex—2dx4、设函数f(x)=(1+x)ex，则函数f(x)()A、有极小值B、有极大值C、既有极小值又有极大值D、无极值标准答案：A知识点解析：本题考查了函数极值的知识点．因f(x)=(1+x)ex，且处处可导，于是，f’(x)=ex+(1+x)·ex=(x+2)ex，令f’(x)=0得驻点x=一2；又x<一2时，f’(x)<0；x>—2时，f’(x)>0；从而f(x)在x=一2处取得极小值，且f(x)只有一个极值．5、曲线y=一1的水平渐近线的方程是()A、y=2B、y=一2C、y=1D、y=一1标准答案：D知识点解析：本题考查了曲线的水平渐近线的知识点．，所以水平渐近线为y=—1注：若则，一A是水平渐近线，若则x=c是铅直渐近线．6、过点(0，2，4)且平行于平面x+2x=1，y一3z=2的直线方程为()A、x/1=(y—2)/0B、x/0=(y—2)/1=(z—4)/—3C、x/—2=(y—2)/3=(z—4)/1D、一2x+3(y一2)+z—4=0标准答案：C知识点解析：本题考查了直线方程的知识点．两平面的交线方向即为所求直线的方向，所以所求直线方程为x/—2=(y—2)/3=(z—4)/17、由曲线y=1/x，直线y=x，x=2所围面积为()A、∫12(1/x—x)dxB、∫12(x—1/x)dxC、∫12(2—1/y)dy+∫12(2—y)dyD、∫12标准答案：B知识点解析：本题考查了曲线所围成的面积的知识点．曲线y=1/x与直线y=x，x=2所围成的区域D如下图所示，则S=∫12[x—(1/x)]dx8、二元函数z=x2一y2+3x2+3y2一9x的极小值点为()A、(1，0)B、(1，2)C、(一3，0)D、(一3，2)标准答案：A知识点解析：本题考查了二元函数的极值的知识点．因z=x3—y3+3x2+3y2一9x，于是=3x2+6x—9，=—3y2+6y，=6x+6，=0，=—6y+6，令，即得驻点(—3,0)，(—3,2)，(1,0)，(1,2).对于点(一3，0)，A=一18+6=一12，B=0，C=6，B2一AC=72>0，故此点为非极值点．对于点(一3，2)，A=一12，B=0，C=一12+6=一6，B2一AC=一72<0，故此点为极大值点．对于点(1，0)，A=12，B=0，C=6，B2一AC=一72<0，故此点为极小值点．对于点(1，2)，A=12，B=0，C=一6，B2一AC=72>0，故此点为非极值点．9、已知f(xy，x—y)=x2+y2，则等于()A、2B、2xC、2yD、2x+2y标准答案：A知识点解析：本题考查了复合函数的偏导数的知识点．因f(xy，x—y)=-x2+y2=(x—y)2+2xy，故f(x，y)=y2+2x,从而=2．10、设方程y"—2y’一3y=f(x)有特解y’，则它的通解为()A、y=C1e—x+C2e3x+y*B、y=C1e—x+C2e3xC、y=C1xe—x+C2e3x+y*D、y=C1ex+C2e—3x+y*标准答案：A知识点解析：本题考查了二阶常系数微分方程的通解的知识点．考虑对应的齐次方程y"一2y’—3y=0的通解．特征方程为r2一2r—3=0，所以r1=一1，r2=3，所以y"一2y’—3y=0的通解为所以原方程的通解为y=C1e—x+C2e3x+y*．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)11、函数在x=0连续，此时a________·标准答案：0知识点解析：本题考查了函数在一点处的连续性的知识点．由，又因f(x)在x=0处连续，则a/6=0，所以a=0．12、设函数y=x3，则y’________．标准答案：3x2知识点解析：本题考查了函数的导数的知识点．因为Y=x3，所以y’=3x2．13、设f’(x2)=1/x，则f(x)=________．标准答案：知识点解析：本题考查了由导函数求原函数的知识点．令x2=t，则14、∫(tanθ+cotθ)2dθ________．标准答案：tanθ—cotθ+C知识点解析：本题考查了不定积分的知识点．∫(tanθ+cotθ)2dθ=∫(tan20+2+cot2θ)dθ=∫(sec20+csc2θ)dθ=tanθ—cotθ+C15、函数f(x)=在[0，3]上满足罗尔定理，则ζ________．标准答案：15.2知识点解析：本题考查了罗尔定理的知识点．由，得f(0)=f(3)=0，又因，故f’(ξ)=0,所以ξ=2.16、∫—11x7dx=________标准答案：0知识点解析：本题考查了定积分的知识点．∫1—1x7dx=1/8x8｜1—1=1/8—1/8=0．17、∫sec25xdx=________标准答案：1/5tan5x+C知识点解析：本题考查了不定积分的知识点．∫sec25xdx=1/5∫sec25xd(5x)=1/5tan5x+C18、设I=将此积分化为极坐标系下的积分，此时I________．标准答案：∫0π/2dθ∫0ar2dr知识点解析：本题考查了利用极坐标求积分的知识点．因积分区域D={(x，y)｜0≤y≤a，0≤x≤}，即D是圆x2+y2≤a2在第一象限部分，故I=∫0π/2dθ∫0ar2dr．19、微分方程y"+y=0的通解是________．标准答案：y=C1cosx+C2sinx知识点解析：本题考查了二阶线性微分方程的通解的知识点．微分方程y"+y=0的特征方程是r2+1=0，故特征根为r=±i，所以方程的通解为y=C1cosx+C2sinx．20、设D为x2+y2≤4且y≥0，则=________．标准答案：4π知识点解析：本题考查了二重积分的知识点．因积分区域为圆x2+y2=22的上半圆，则=2×1/2π×22=4π．三、简单解答题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)21、若函数在x=0处连续，求A标准答案：又因f(0)=a，所以当a=一1时，f(x)在x=0连续．知识点解析：暂无解析22、求∫0π/2sin3xsin2xdx．标准答案：∫0π/2sin2sin2xdx=∫0π/22sin3xsinxcosx知识点解析：暂无解析23、给定曲线y=x3与直线y=px一q(其中P>0)，求P与q为何关系时，直线y=px一q是y=x2的切线．标准答案：由题意知，在切点处有x3=px—q，两边对x求导得3x3=P，所以x3=3x3一q，即x=，因此p=．知识点解析：暂无解析24、求∫xcos/(sin3x)dx.标准答案：∫(xcosx/sin3x)dx=∫(x/sin3x)dsinx=—1/2∫xd(sinx)—2=—1/2(x/sin2x—∫(1/sin2x)dx)=—1/2x/sin2x—1/2cotx+C知识点解析：暂无解析25、计算，其中D是由y=x，y=2x，x=2与x=4围成．标准答案：积分区域D如下图所示．被积函数f(x，y)=y/x，化为二次积分时对哪个变量皆易于积分；但是区域D易于用X—型不等式表不，因此选择先对y积分，后对x积分的二次积分次序．D可表示为故=∫24dxx2xy/xdy=∫24(y2/2x)｜x2xdx=∫243/2xdx=3/4x2｜24知识点解析：暂无解析四、复杂解答题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)26、求(x3+y)dxdy，其中D是由曲线y=x2与直线y=1所围成的有界平面区域．标准答案：由于积分区域D关于y轴对称，因此记D1为区域D在第一象限的部分，则所以知识点解析：暂无解析27、求方程y"一2y’+5y=ex的通解．标准答案：y"一2y’+5y=0的特征方程为r2—2r+5=0，故特征根为r=1±2i，非齐次项的特解可设为y=Aex，代入原方程得A=1/4，所以方程的通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+1/4ex．知识点解析：暂无解析28、求标准答案：知识点解析：暂无解析专升本（高等数学一）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、当x→0时，无穷小x+sinx是比x【】A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：C知识点解析：本题考查了无穷小量阶的比较的知识点．因=2，所以选C．2、设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且f(x0)为f(x)的一个极小值，则等于【】A、—2B、0C、1D、2标准答案：B知识点解析：本题考查了函数的极值的知识点．因f(x)在x=x0处取得极值，且可导，于是f′(x0)=0，又=2f′(x0)=0．3、设函数f(x)=e—x2，则f′(x)等于【】A、—2e—x2B、2e—x2C、—2xe—x2D、2xe—x2标准答案：C知识点解析：本题考查了一元函数的一阶导数的知识点．因f(x)=e—x2，则f′(x)=e—x2.(—2x)=—2xe—x2．4、函数y=x—arctanx在(—∞，+∞)内【】A、单调增加B、单调减少C、不单调D、不连续标准答案：A知识点解析：本题考查了函数的单调性的知识点．因y=x—arctanx，则y′=1—≥0，于是函数在(—∞，+∞)内单调增加．5、设∫f(t)dx=ex+C，则∫xf(1—x2)dx为【】A、xe1—x2+CB、(1—x2)2+CC、e1—x2+CD、e1—x2+C标准答案：D知识点解析：本题考查了换元积分法求不定积分的知识点．另解：将∫f(x)dx=ex+C两边对x求导得f(x)=ex，则∫xf(1—x2)dx=∫xe1—x2dx=．6、设Φ(x)=∫0x2tantdt，则Φ′(x)等于【】A、tanx2B、tanxC、sec2x2D、2xtanx2标准答案：D知识点解析：本题考查了复合函数(变上限积分)求导的知识点．因Φ(x)=∫0x2tantdt是复合函数，于是Φ′(x)=tanx2.2x=2xtanx2．7、下列反常积分收敛的【】A、∫1+∞B、∫0+∞C、∫1+∞D、∫1+∞标准答案：D知识点解析：本题考查了反常积分的敛散性的知识点．由当p≤1时发散，p＞1时收敛，可知应选D．注：本题容易看出A选项发散．而B选项，故此积分发散．对于C选项，由=∫1+∞lnxd(lnx)==+∞，故此积分发散．8、级数是【】A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、无法确定敛散性标准答案：C知识点解析：本题考查了p级数的敛散性的知识点．级数的通项为an=，此级数为p级数．又因，所以级数发散．9、方程x2+y2=R2表示的二次曲面是【】A、椭球面B、圆柱面C、圆锥面D、旋转抛物面标准答案：D知识点解析：本题考查了二次曲面(圆柱面)的知识点．由方程特征知，方程x2+y2=R2表示的二次曲面是圆柱面．10、曲线y=【】A、有水平渐近线，无铅直渐近线B、无水平渐近线，有铅直渐近线C、既有水平渐近线，又有铅直渐近线D、既无水平渐近线，也无铅直渐近线标准答案：C知识点解析：本题考查了曲线的渐近线的知识点．对于曲线y=，因=1，故有水平渐近线y=1；又=—∞，故曲线有铅直渐近线y=—1．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)11、函数F(x)=(x＞0)的单调递减区间是________．标准答案：0＜x＜知识点解析：本题考查了函数的单调区间的知识点．由F(x)=令F′(x)=0，得，故当0＜x＜时，F′(x)＜0，F(x)单调递减．12、设f″(x)连续，z==________．标准答案：yf″(xy)+f′(x+y)+yf″(x+y)知识点解析：本题考查了二元函数的混合偏导数的知识点．13、设I=x2ydxdy，D是圆域x2+y2≤a2，则I=________．标准答案：0知识点解析：本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点．用极坐标计算I=x2ydxdy=∫02πdθ∫0ar3cos2θsinθ.rdr=∫02πcos2θsinθdθ∫0ar4dr=—∫02πcos2θdcosθ∫0ar4dr==0．注：本题也可用对称性求出．由于D为x2+y2≤a关于x轴对称，且f(x，y)=x2y关于y为奇函数，则=0．14、设f(x)=ax3—6ax2+b在区间[—1，2]的最大值为2，最小值为—29，又知a＞0，则a，b的取值为________．标准答案：知识点解析：本题考查了函数的最大、最小值的知识点．f′(x)=3ax2—12ax，f′(x)=0，则x=0或x=4，而x=4不在[一1，2]中，故舍去．f″(x)=6ax—12a，f″(0)=—12a，因为a＞0，所以f″(0)＜0，所以x=0是极值点．又因f(—1)=—a—6a+b=b—7a，f(0)=b，f(2)=8a—24a+b=b—16a，因为a＞0，故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小．