云南专升本数学（多元函数微分学）模拟试卷1（共140题）

云南专升本数学（多元函数微分学）模拟试卷1（共6套）（共140题）云南专升本数学（多元函数微分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、曲面x2-y2+z2-2z=-1在点P处的切平面平行于平面x+y+z=1，则点P的坐标是()A、(0，0，1)B、(-1，1，2)C、(1，-1，2)D、(-1，-1，2)标准答案：A知识点解析：令F(z，y，z)=x2-y2+z2-2z+1，则Fx=2x，Fz=-2y，Fz=2z-2，设切点为P(x0，y0，z0)，故曲面在切点处的切平面的法向量为n1={2x0，-2y0，2z0-2}。平面x+y+2=1的法向量n2={1，1，1}，因为n1∥n2，所以2x0=-2y0=2z0-2，则x0=-y0，z0=1-y0，代入到x2-y2+z2-2z=-1中得y0=0，解得P(0，0，1)。2、函数z=x3+y3-4xy的驻点为()A、(0，0)和(1，1)B、(k，k)，k∈RC、(0，0)和(4/3，4/3)D、(1，1)和(4/3，4/3)标准答案：C知识点解析：3、函数f(x，y)=-x2+xy-2y2+2x-y的极大值点是()A、(1，-1)B、(1，0)C、(0，1)D、(1，1)标准答案：B知识点解析：令fx(x，y)=-2x+y+2=0，fy(x，y)=x-4y-1=0，得驻点(1，0)。又A=fxx(1，0)=-2＜0，B=fxy(1，0)=1，C=fyy(1，0)=-4，B2-AC=-7＜0，所以驻点(1，0)是函数的极大值点。4、函数z=f(x，y)=x2-xy+y2+9x-6y+18有()A、极大值f(4，1)=61B、极大值f(0，0)=18C、极大值f(-4，1)=-3D、极小值f(-4，1)=-3标准答案：D知识点解析：5、设z=x3-3x-2y，则它在点(1，0)处()A、取得极大值B、取得极小值C、不取极值D、无法判定是否取得极值标准答案：C知识点解析：=3x2-3，=-2≠0，显然点(1，0)不是驻点但在该点处可微，故在此处不取极值。6、已知二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处偏导数存在，则fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0是函数f(x，y)在该点取得极值的()A、必要不充分条件B、充分不必要条件C、充要条件D、无关条件标准答案：A知识点解析：两个偏导数都为0的点为二元函数f(x，y)的驻点，但驻点不一定是极值点。反之，若二元函数在一点处偏导数存在且取极值，则函数在该点处的两个偏导数均为0。7、点(0，0)是函数z=ex+y的()A、驻点B、极值点C、连续点D、间断点标准答案：C知识点解析：显然(0，0)为函数的连续点，=ex+y＞0，=ex+y＞0，故(0，0)不是函数的驻点，也不是函数的极值点。8、斜边长为ι的直角三角形的最大周长为()A、ιB、(+1)ιC、ιD、+1标准答案：B知识点解析：设直角三角形的两直角边分别为x，y，则由题意可知x2+y2=ι2，周长S=x+y+ι(0＜x＜ι，0＜y＜ι)。作拉格朗日函数F(x，y)=x+y+z+λ(x2+y2-ι2)，二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)9、曲线x=z2+2z，y=z3+1在点(-1，0，-1)处的法平面方程为__________，切线方程为__________。标准答案：3y+z+1=0，(x+1)/0=y/3=(z+1)/1知识点解析：x’(z)=2z+2，y’(z)=3z2，z’(z)=1，x’(-1)=0，y’(-1)=3，z’(-1)=1，所以曲线在点(-1，0，-1)处的法平面的法向量为{0，3，1)，法平面方程是0(x+1)+3(y-0)+(z+1)=0，整理得3y+2+1=0，切线方程是下(x+1)/0=y/3=(z+1)/1。10、曲面x2+3z2=y在点(1，13，2)处的法线方程为__________，切平面方程为__________。标准答案：(x-1)/2=(y-13)/(-1)=(z-2)/12，2x-y+12z-13=0知识点解析：记F(x，y，z)=x2+3z2-y，M0(1，13，2)，则可取法线的方向向量n={Fx，Fy，Fz}={2x，-1，6z}={2，-1，12}，故所求法线方程为(x-1)/2=(y-13)/(-1)=(z-2)/12，切平面方程是2(x-1)-(y-13)+12(z-2)=0，即2x-y+12z-13=0。11、曲面z/c=x2/a2+y2/b2在点(x0，y0，z0)处的切平面方程为__________。标准答案：(2x0/a2)x+(2y0/b2)y-z/c=z0/c知识点解析：12、二元函数f(x，y)=x2(3+y2)+2ylny的驻点为__________。标准答案：(0，1/e)知识点解析：13、函数f(x，y)=x2-10x+y2+16y+100的极小值是__________。标准答案：11知识点解析：方法一令解得驻点(5，-8)，又fxx=2，fxy=2，故在点(5，-8)处，B2-AC=0-2×2=-4＜0，A=2＞0，故点(5，-8)为函数f(x，y)的极小值点，极小值为f(5，-8)=11。方法二f(x，y)=(x-5)2+(y+8)2+11≥11，当且仅当x=5，y=-8时，等号成立，所以f(x，y)=x2-10x+y2+16y+100的极小值是11。14、二元函数z=2-x2-y2的极大值点为__________。标准答案：(0，0)知识点解析：因zx=-2x，zy=-2y，于是令zx=0，zy=0，得驻点(0，0)。又因为zxx=-2，zxy=0，zyy=-2，于是在点(0，0)处，B2-AC=-4＜0，且A=-2＜0，故点(0，0)为极大值点。15、二元函数z=xy在z+y=1下的极值为__________。标准答案：1/4知识点解析：化为无条件极值。把y=1-x代入z=xy中，得z=x(1-x)=x-x2。又因为z’=1-2x，则令z’=0，得唯一驻点x=1/2，此时y=1/2，由z”｜x=1/2=-2＜0知，当x=1/2时，z取得极大值，即点(1/2，1/2)为极大值点，且极大值f(1/2，1/2)=1/4。16、设(x0，y0)是函数z=f(x，y)的驻点且有fxx(x0，y0)=A＜0，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，若B2-AC＜0，则f(x0，y0)一定是__________。(填“极大值”或“极小值”)标准答案：极大值知识点解析：由二元函数极值的充分条件知，点(x0，y0)是函数f(x，y)的极大值点，则f(x0，y0)一定是函数的极大值。三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)17、求曲线x=-cost，y=sint，z=2t在点(0，1，π)处的法平面方程。标准答案：x’(t)=sint,y’(t)=cos￡，z’(t)=2，点(0，1，π)对应的t=π/2，此时有x’(π/2)=1，y’(π/2)=0，z’(π/2)=2，所以曲线在点(0，1，π)处的法平面的法向量为{1，0，2}，法平面方程是x+2(z-π)=0，整理得x+2z=2π。知识点解析：暂无解析18、设球面方程为x2+(y-1)2+(z+1)2=4，求它在点(0，1，1)处的切平面方程和法线方程。标准答案：设F(x，y，z)=x2+(y-1)2+(z+1)2-4，可得Fx=2x，Fy=2(y-1)，Fz=2(z+1)，则Fx(0，1，1)=0，Fy(0，1，1)=0，Fz(0，1，1)=4。所以球面在点(0，1，1)处的切平面的法向量为{0，0，4}，因此可得切平面方程为4(z-1)=0，即z-1=0；法线的方向向量也为{0，0，4}，故法线方程为x/0=(y-1)/0=(z-1)/4。知识点解析：暂无解析19、求空间曲线：x=∫0teucosudu，y=2sint+cost，z=1+e3t在t=0的对应点处的切线方程和法平面方程。标准答案：当t=0时，x=0，y=1，z=2，x’(t)=etcost，y’(t)=2cost-sint，z’(t)=3e3t，则x’(0)=1，y’(0)=2，z’(0)=3，于是所求切线方程为(x-0)/1=(y-1)/2=(z-2)/3，法平面方程为x+2(y-1)+3(z-2)=0，即x+2y+3z-8=0。知识点解析：暂无解析20、在椭球面x2+2y2+3z2=21上求一点M(x0，y0，z0)，使该点处的切平面π过直线L：(x-6)/2=(y-3)/1=(2z-1)/(-2)，并求切平面π的方程。标准答案：令F(x，y，z)=x2+2y2+3z2-21，则Fx=2x，Fy=4y，Fz=6z，椭球面在点M处的切平面π的法向量为{Fx，Fy，Fz}｜M={2x0，4y0，6z0}，切平面方程为2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+6z0(z-z0)=0，即x0x+2y0y+3z0z=21。因为平面π过直线L上任意两点，比如点A(6，3，1/2)，B(0，0，7/2)在直线L上，应满足π的方程，代入有6x0+6y0+(3/2)z0=21，z0=2。又因为x02+2y02+3z02=21，所以x0=3，y0=0，z0=2或x0=1，y0=2，z0=2。故点M的坐标为(3，0，2)或(1，2，2)，所求切平面π的方程为x+2z=7或x+4y+6z=21。知识点解析：暂无解析21、求曲面z=x2/2+y2上平行于平面2x+4y-z=0的切平面方程。标准答案：设切点为P(x0，y0，z0)，令F(x,y,z)=x2/2+y2-x，则曲面z=x2/2+y2在P点处切平面的法向量为{Fx，Fy,Fz}={x0，2y0，-1}，所给平面的法向量为{2,4,-1}，则x0/2=2y0/4=-1/-1，得x0=2，y0=2，z0=x02/2+y02=6。于是所求切平面方程2(x-2)+4(y-2)-(z-6)=0，即2x+4y-z-6=0。知识点解析：暂无解析已知椭球面方程2x2+y2+3z2=6。22、求椭球面在点M(1，1，1)处的切平面方程；标准答案：设f(x，y，z)=2x2+y2+3z2-6，则fx(1，1，1)=4x｜(1，1，1)=4，fy(1，1，1)=2y｜(1，1，1)=2，fz(1，1，1)=6z｜(1，1，1)=6，故椭球面在点M(1，1，1)处的切平面方程为4(x-1)+2(y-1)+6(z-1)=0，即2x+y+3z=6；知识点解析：暂无解析23、当k为何值时，(1)中所求的切平面与平面7x+ky-5z=0互相垂直?标准答案：由(1)可知所求切平面的法向量为{2，1，3}，平面7x+ky-5z=0的法向量为{7，k，-5}，因为两平面垂直，则有2×7+k+3×(-5)=0，解得k=1。知识点解析：暂无解析云南专升本数学（多元函数微分学）模拟试卷第2套一、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、已知矩形的周长为2a(a为常数)，问矩形的边长各为多少时，才能使矩形的面积最大?标准答案：设矩形的两临边长分别为x，y，面积为S。依题意即是求S=xy在条件x+y=a下的极值。方法一化为无条件极值。由x+y=a，得y=a-x，于是S=xy=x(a-x)=ax-x2。因为S’=a-2x，故令S’=0，得x=a/2。又S”=-2，故S”｜x=a/2＜0。于是x=a/2时，S有极大值，此时x=y=a/2。因为实际问题中面积的最大值一定存在，所以矩形的各边长为a/2时，矩形的面积最大。方法二拉格朗日乘数法。知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)2、函数z=+lny的定义域为()A、{(x，y)｜xy＞0}B、{(x，y)｜xy≥0}C、{(x，y)｜x＞0，y＞0}D、{(x，y)｜x≥0，y＞0}标准答案：D知识点解析：要使函数有意义，必须满足x≥0，y＞0，所以函数的定义域为{(x，y)｜x≥0，y＞0}。3、函数z=arcsin(x+4y)的定义域为()A、{(x，y)｜x＞0，x+4y＜1}B、{(x，y)｜x＞0，｜x+4y｜≤1}C、{(x，y)｜x≥0，｜x+4y｜≥1}D、{(x，y)｜x≥0，x+4y≥1}标准答案：B知识点解析：要使函数有意义，必须同时满足x＞0，｜x+4y｜≤1，所以函数的定义域为{(x，y)｜x＞0，｜x+4y｜≤1}。4、设f(x，y)=ln(x-)，其中x＞y＞0，则f(x+y，x-y)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：5、设函数f(x，y)=(x3-y3)/(x2+y2)，则下列各式中正确的是()A、f(x，-y)=f(x，y)B、f(x+y，x-y)=f(x，y)C、f(y，x)=-f(x，y)D、f(0，y)=y标准答案：C知识点解析：f(x，-y)=[x3-(-y)3]/[x2+(-y)2]=(x3+y3)/(x2+y2)≠f(x，y)；f(x+y，x-y)=[(x+y)3-(x-y)3]/[(x+y)2+(x-y)2]=y(3x2+y2)/(x2+y2)≠f(x，y)；f(y，x)=(y3-x3)/(y2+x2)=-f(x，y)；f(0，y)=-y2/y2=-y。6、()A、-1/18B、1C、-1D、1/18标准答案：D知识点解析：7、()A、0B、1C、1/2D、+∞标准答案：B知识点解析：当x→0，y→1时，1-xy→1，x2+y2→1，所以8、考虑二元函数f(x，y)的四条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)的一阶偏导数在点(x0，y0)处连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的一阶偏导数存在，则下列关系正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：这是讨论函数f(x，y)在一点处的连续性、偏导数的存在性、可微与偏导数的连续性之间的关系。由于函数f(x，y)在点(x0，y0)处的一阶偏导数连续是函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微的充分条件，而函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微是f(x，y)在点(x0，y0))处连续的充分条件，故选A。9、设f(x，y)在点(a，b)处有偏导数，则()A、3fy(a，b)B、7fx(a，b)C、3fx(a，b)D、7fy(a，b)标准答案：B知识点解析：10、设f(x，y)=，则()A、fx(0，0)，fy(0，0)都存在B、fx(0，0)不存在，fy(0，0)存在C、fx(0，0)存在，fy(0，0)不存在D、fx(0，0)，fy(0，0)都不存在标准答案：B知识点解析：三、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)11、函数z=的定义域为__________。标准答案：{(x，y)｜x2≥y≥0，x≥0}知识点解析：要使函数z有意义，必须满足x-≥0，y≥0，即x2≥y≥0，x≥0，所以函数的定义域为{(x，y)｜x2≥y≥0，x≥0}。12、设f(x，y)=x2+y2-exy，则f(2，0)=__________。标准答案：3知识点解析：f(x，y)=x2+y2-exy，将x=2，y=0代入得f(2，0)=22+02-e2×0=3。13、若f(x+y，xy)=2x2+xy+2y2，则f(x，y)=__________。标准答案：2x2-3y知识点解析：因为f(x+y，xy)=2x2+xy+2y2=2(x+y)2-3xy，所以f(x，y)=2x2-3y。14、[3tan(x2+y2)/(x2+y2)]=__________。标准答案：3知识点解析：令u=x2+y2，则。四、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、求二元函数z=ln[(x2-1)(1-y2)]的定义域。标准答案：要使函数z有意义，需满足(x2-1)(1-y2)＞0，则知识点解析：暂无解析16、设f(x+y，x-y)=(x2-y2)，求f(x，y)和f(，)的值。标准答案：令u=x+y，v=x-y，则x=(u+v)/2，y=(u-v)/2，由f(x+y，x-y)=(x2-y2)可得知识点解析：暂无解析17、计算极限(x+y)sin[1/(x2+y2)]。标准答案：因为x→0，y→0时，x+y→0，又｜sin[1/(x2+y2)]｜≤1，所以(x+y)sin[1/(x2+y2)]=0。知识点解析：暂无解析18、讨论二元函数f(x，y)=当P(x，y)→(0，0)时的极限是否存在。标准答案：当P(x，y)趋于原点(0，0)时，x→0。又0≤y2/(x2+y2)≤1，故f(x，y)=[y2/(x2+y2)]=0。(无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量)所以当P(x，y)→(0，0)时，f(x，y)的极限存在。知识点解析：暂无解析19、讨论f(x，y)=在点(0，0)处的连续性。标准答案：令u=x2+y2，则(x，y)→(0，0)时，u→0+，故所以f(x，y)在点(0，0)处连续。知识点解析：暂无解析20、设z=sin(xy)+cos2(xy)，求dz。标准答案：=cos(xy)·y+2cos(xy)[-sin(xy)]y=ycos(xy)-ysin(2xy)，=cos(xy)·x+2cos(xy)[-sin(xy)]x=xcos(xy)-xsin(2xy)，dz=[ycos(xy)-ysin(2xy)]dx+[xcos(xy)-xsin(2xy)]dy=y[cos(xy)-sin(2xy)]dx+x[cos(xy)-sin(2xy)]dy，=[cos(xy)-sin(2xy)](ydx+xdy)。知识点解析：暂无解析21、求函数f(x，y)=e2x(x+y2+2y)的极值。标准答案：知识点解析：暂无解析22、确定函数f(x，y)=3axy-x3-y3(a＞0)的极值点。标准答案：知识点解析：暂无解析23、求函数f(x，y)=3x2y+y3-3x2-3y2+2的极值。标准答案：令解得驻点为(0，0)，(0，2)，(1，1)，(-1，1)，fxx=6y-6，fxy=6x，fyy=6y-6，在驻点(0，0)处，A=-6＜0，B=0，C=-6，B2-AC=-36＜0，所以该点是函数的极大值点，极大值f(0，0)=2；在驻点(0，2)处，A=6＞0，B=0，C=6，B2-AC=-36＜0，所以该点是函数的极小值点，极小值f(0，2)=-2；在驻点(1，1)处，A=0，B=6，C=0，B2-AC=36＞0，所以该点不是函数的极值点；在驻点(-1，1)处，A=0，B=-6，C=0，B2-AC=36＞0，所以该点不是函数的极值点。综上，函数的极大值为2，极小值为-2。知识点解析：暂无解析云南专升本数学（多元函数微分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)1、设f(x，y)=则下列四个结论中，①f(x，y)在(0，0)处连续；②fx(0，0)，fy(0，0)存在；③fx(x，y)，fy(x，y)在(0，0)处连续；④f(x，y)在(0，0)处可微，错误结论的个数为()A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：2、设二元函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域有定义，且当x≠0时，[f(x，0)-f(0，0)]/x=2x2+7x+5，则fx(0，0)=()A、0B、3C、7D、5标准答案：D知识点解析：由偏导数的定义知，fx(0，0)=[((x，0)-f(0，0))/(x-0)]=(2x2+7x+5)=5。3、设函数f(x，y)=3x+2y+(y-1)，则fx(2，1)=()A、0B、1C、3D、e2标准答案：C知识点解析：因为f(x，1)=3x+2，所以fx(x，1)=3，fx(2，1)=fx(x，1)｜x=2=3。4、设函数z=4x3y2，则=()A、4y2B、8x3yC、8x3D、8x2y2标准答案：B知识点解析：因为z=4x3y2，对y求偏导时，其余变量看作常数，所以=8x3y。5、设三元函数u=xy+ycosx+3zy，则=()A、y-ysinxB、x+ysinxC、y-cosxD、y+ysinx标准答案：A知识点解析：因为u=xy+ycosx+32zy，对x求偏导数时，其余变量看作常数，所以=y-ysinx。6、已知f(xy，x-y)=x2+y2，则=()A、2B、2xC、2yD、2x+2y标准答案：C知识点解析：因为f(xy，x-y)=x2+y2=(x-y)2+2xy，所以f(x，y)=y2+2x，从而=2y。7、设z=ln(x4+y3)，则dz｜(1，1)=()A、dx+dyB、4dx+3dyC、2dx+(3/2)dyD、2(dx+dy)标准答案：C知识点解析：=4x3/(x4+y3)，=3y2/(x4+y3)，所以dz=(4x3dx+3y2dy)/(x4+y3)，故dz｜(1，1)=2dx+(3/2)dy。8、设函数z=7xy3+4xy4，则=()A、21y2+16y3B、21y3+4y4C、21y3D、21y3+16xy3标准答案：A知识点解析：=7y3+4y4，=21y2+16y3。9、若z=tan(y/x2+x2/y)，则｜(1，-1)=A、0B、1C、2D、3标准答案：A知识点解析：因为z(1，y)=tan(y+1/y)，所以｜(1，y)=sec2(1+1/y)·(1-1/y2)，故｜(1，-1)=0。10、设z=f(x3-y2，x2+3y)，其中f(u，v)的偏导数存在，则=()A、-2yf’1+3f’2B、-2yf’1-3f’2C、3x2f’1+3f’2D、3x2f’1-2f’2标准答案：A知识点解析：=f’1·(-2y)+f’2·3=-2yf’1+3f’2。11、设z=z(x，y)是由方程x=ln(z/y)确定的隐函数，则=()A、1B、exC、yexD、y标准答案：C知识点解析：方法一该函数可化为z=yex，故=yex。方法二方程可化为x-ln(z/y)=0。令F(x，y，z)=x-ln(z/y)，则Fx=1，Fz=-1/(z/y)·(1/y)=1=-1/z，于是当Fx≠0时，=-Fx/Fz=-1/(-1/x)=z=yex。12、设函数z=z(x，y)由方程z5-5xyz=32a5确定，其中a≠0，则｜(2，0)=()A、1/4a3B、1/8a4C、0D、2a标准答案：A知识点解析：令F(x，y，z)=z5-5xyz-32a5，则Fy=-5xz，Fz=5z4-5xy，故当Fz≠0时，=-Fy/Fz=-5xz/(5z4-5xy)=xz/(z4-xy)，当x=2，y=0时，可得z=2a，故｜(2，0)=4a/16a4=1/4a3。13、设函数z=3xy+，则｜(0，1)=()A、eB、1C、2D、4标准答案：D知识点解析：因为z=3xy+，所以z(x，1)=3z+ex，zx(x，1)=3+ex，于是｜(0，1)=3+e0=4。14、设f(x，y，z)=zxyyz，则=()A、xxyz-1(ylnx+z)B、zxyyzlnyC、xy-1yz+1zD、xy-1yz+1+xyyzlnz标准答案：C知识点解析：=zyxy-1·yz=xy-1yz+1z。15、设u=f(3x2+2y2+z2)，其中f可导，则=()A、f(3x2+2y2+z2)B、4yf’(3x2+2y2+z2)C、fy(3x2+2y2+z2)D、4yf(3x2+2y2+z2)标准答案：B知识点解析：=f’(3x2+2y2+z2)·(3x2+2y2+z2)’y=4yf’(3x2+2y2+z2)。16、设函数z=u2lnv，而u=x/y，v=4x-3y，则=()A、(2x/y2)ln(4x-3y)+4x2/(4x-3y)y2B、(2x/y)ln(4x-3y)+4x2/(4x-3y)y2C、(2x/y2)ln(4x-3y)+x2/(4x-3y)y2D、(x/y2)ln(4x-3y)+x2/(4x-3y)y2标准答案：A知识点解析：=2ulnv·(1/y)+(u2/v)·4=[2xln(4x-3y)/y2]+4x2/y2(4x-3y)。17、若函数f(u，v)为二元可微函数，设z=f(xy，lnx)，则=()A、f’1B、f’2C、0D、1标准答案：B知识点解析：由于=f’1·(xy)’x+f’2·(lnx)’x=yf’1+(1/x)f’1，=f’1·(xy)’y=xf’1，因此=x[yf’1+(1/x)f’2]-yxf’1=f’2。18、若函数u=xyf[(x+y)/xy]，其中f可微，且x2-y2=G(x，y)u，则函数G(x，y)=()A、x+yB、x-yC、x2-y2D、(x+y)2标准答案：B知识点解析：19、设z=excosy，则=()A、excosyB、-excosyC、exsinyD、-exsiny标准答案：D知识点解析：=ex·(-siny)=-exsiny，故选D。20、设函数z=，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：21、设函数z=ln(3x2y3)，则=()A、-3/y2B、3/y2C、1/xy2D、1/xy标准答案：A知识点解析：22、若函数z=f(x，y)满足fyy(x，y)=2，且f(x，1)=x+4，fy(x，1)=x+1，则下列说法不正确的是()A、fx(1，1)=1B、fyy(1，1)=0C、f(x，y)=y2+(x-1)y+4D、fyx(1，1)=1标准答案：B知识点解析：f(x，1)=x+4，则fx(x，1)=1，所以fx(1，1)=1，故A项正确；fyy(x，y)=2，故fyy(1，1)=2，故B项错误；容易验证，选项C中的函数满足题设的三个条件：fyy(x，y)=2，f(x，1)=x+4，fy(x，1)=x+1，故C项正确；fy(x，1)=x+1，则fyy(x，1)=1，fyy(1，1)=1，故D项正确。23、已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy，且u(x，y)具有二阶连续偏导数。则()A、a=2，b=-2B、a=3，b=2C、a=2，b=2D、a=-2，b=2标准答案：C知识点解析：云南专升本数学（多元函数微分学）模拟试卷第4套一、证明题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设z是x，y的函数，且xy=xf(z)+yφ(z)，xf’(z)+yφ’(z)≠0，证明：[x-φ(z)]=[y-f(z)]标准答案：令F(x，y，z)=xy-xf(z)-yφ(z)，则Fx=y-f(z)，Fy=x-φ(z)，Fz=-xf’(z)-yφ’(z)=-[xf’(z)+yφ’(z)]，因为Fz≠0，所以知识点解析：暂无解析2、设z=xyf(y/x)，其中f(u)可导，证明：xzx+yzy=2z。标准答案：知识点解析：暂无解析3、设z=，求证：=1/4标准答案：知识点解析：暂无解析4、设函数z=z(x，y)由方程F(y/x，z/x)=0确定，其中F为可微函数，证明=z。标准答案：令G(x，y，z)=F(y/x，z/x)，则Gx=(-y/x)F’1-(z/x2)F’2，Gy=(1/x)F’1，Gz=(1/x)F’2，于是当Gz≠0时，知识点解析：暂无解析5、设r=，证明：=1/r。标准答案：知识点解析：暂无解析6、某工厂生产甲、乙两种型号的精密机床，其产量分别为x，y台，总成本函数为C(x，y)=x2+2y2-2xy(单位：万元)。根据市场调查知，这两种机床的需求量共10台。问应如何安排生产，才能使总成本最小?标准答案：由题意知应求函数C(x，y)=x2+2y2-2xy在条件x+y=10下的极值。令F(x，y)=x2+2y2-2xy+λ(x+y-10)，知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)7、函数u=xyz-2yz-3在点P(1，1，1)处沿向量ι=2i+2j+k的方向的方向导数为()A、B、-C、1/3D、-1/3标准答案：知识点解析：暂无解析8、函数u(x，y，z)=1+x2/6+y2/12+z2/18在点(1，2，3)处沿单位向量n={1，1，1}的方向的方向导数为()A、

B、

C、

D、

标准答案：知识点解析：暂无解析9、函数u=xy+yz+zx在点P(1，2，3)处沿的方向的变化率为()A、

B、

C、

D、

标准答案：知识点解析：暂无解析10、函数f(x，y)=sinx·cosy在点(0，1)处的梯度是()A、{cos1，0}B、-{cos1，0}C、{0，cos1}D、-{0，cos1}标准答案：知识点解析：暂无解析11、已知u=x2+2y-z3，则梯度gradu｜(1，1，-1)=A、{2，2，3}B、{2，2，-3}C、{-2，2，3}D、{2，-2，3}标准答案：gradu=2xi+2j-3z2k，gradu｜(1，1，-1)=2i+2j-3k={2，2，-3}。知识点解析：暂无解析12、设z=ln(x+y)，则梯度gradz(0，1)=()A、{-1，1}B、{1，1}C、{-1，-1}D、{1，-1}标准答案：知识点解析：暂无解析13、曲面z=F(2x，y，2z)在点(x，y，z)处切平面的法向量为()A、{2Fx，Fy，2Fz-1}B、{2Fx，Fy-1，2Fz-1}C、{Fx，Fy，2Fz}D、{-2Fx，-2Fy，1}标准答案：A知识点解析：令G(z，y，z)=F(2x，y，2z)-z，则Gx=2Fx，Gy=Fy，Gz=2Fz-1，故曲面在点(x，y，2)处切平面的法向量为{2Fx，Fy，2Fz-1}。14、在曲线x=t，y=-t2，z=t3的所有切线中，与平面-4x+2y+z=4平行的切线()A、只有1条B、只有2条C、至少有3条D、不存在标准答案：B知识点解析：三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)15、设z=，则z在点(1，2)处沿与x轴正向夹角α=π/3的方向的方向导数为__________。标准答案：知识点解析：16、函数u=2xy-z2在点A(2，-1，1)处沿点A到点B(3，1，-1)方向的方向导数为__________，在点A(2，-1，1)处的梯度为__________。标准答案：10/3，{-2，4，-2}知识点解析：17、函数u=xy2+z3-xyz在点(1，1，2)处沿方向ι(其方向角分别为π/3、π/4、π/3)的方向导数为__________，在点(1，1，2)处的梯度为__________。标准答案：5，{-1，0，11}知识点解析：18、grad(xy+z/y)｜(2，1，1)=__________。标准答案：{-1,0,11}知识点解析：19、函数u=x2+3y3-5z-2在点(1，1，0)处其值减少最快的方向上的单位向量a0是__________。标准答案：知识点解析：四、解答题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)20、求函数z=1-x2/2-y2/4在点P(1，)处沿向量ι={-，-1}所指方向的变化率。标准答案：知识点解析：暂无解析21、问函数u=xy/z在点P(1，2，1)处沿什么方向的方向导数最大?并求出此方向导数的最大值。标准答案：知识点解析：暂无解析22、求函数u=x2+y2-z2在点M1(1，0，1)、M2(0，1，0)的梯度之间的夹角。标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f(x，y，z)=xeyz+e-z+y，求gradf(0，0，0)及gradf(1，1，1)。标准答案：由题意得gradf(x，y，z)={fx，fy，fz}={eye，xzeyz+1，xyeyz-e-z}，则gradf(0，0，0)={1，1，-1}，gradf(1，1，1)={e，e+1，e-e-1}。知识点解析：暂无解析24、设z=x+y-2x2-2y2+1，求z在点(1，1)处的梯度，并求函数z在该点的方向导数的最大值和最小值。标准答案：知识点解析：暂无解析云南专升本数学（多元函数微分学）模拟试卷第5套一、填空题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)1、设z=e-x(2x-y)，则=__________。标准答案：e-x(2-2x+y)知识点解析：=-e-x·(2x-y)+e-x·2=e-x(2-2x+y)。2、设f(x，y)=ln(y+x2/2y)，则fy(2，1)=__________。标准答案：-1/3知识点解析：fy=[1/(y+(x2/2y))][1+(x2/2)(-1/y2)]=(2y2-x2)/(2y3+x2y)。令x=2，y=1，得fy(2，1)=1/3。3、设f(x，y)=ln(x4+y2)cos3xy2，则fx(2，0)=__________。标准答案：2知识点解析：f(x，0)=lnx4，fx(2，0)=(lnx4)’｜x=2=[(1/x4)·4x3]｜x=2=(4/x)｜x=2=2。4、设z=f(x2+y3，x/y)，f(u，v)可微，则=__________。标准答案：3y2f’1-(x/y2)f’2知识点解析：=f’1·3y2+f’2·(-x/y2)=3y2f’1-(x/y2)f’2。5、设f(u，v)为二元可微函数，z=f(3x-2y，2x-3y)，则=__________。标准答案：3f’1+2f’2知识点解析：[*]=708=f’1·(3x-2y)’x+f’2·(2x-3y)’x=3f’1+2f’2。6、已知z=(1+xy)y，则｜(2，1)=__________。标准答案：2+3ln3知识点解析：由z=(1+xy)y两边取对数得lnz=yln(1+xy)，则(1/z)·=ln(1+xy)+y·[x/(1+xy)]。所以=(1+xy)x[ln(1+xy)+xy/(1+xy)]，因此｜(2，1)=3(ln3+2/3)=2+3ln3。7、设z(x，y)=2x2-(3/2)x3y2+2y5，则=__________。标准答案：40y3-3x3知识点解析：=-3x3y+10y4，=40y3-3x3。8、设f″(u)连续，z=(1/x)f(xy)+yf(x+y)，则=__________。标准答案：yf″(xy)+f’(x+y)+yf″(x+y)知识点解析：=(-1/x2)f(xy)+(1/x)f’(xy)·y+yf’(x+y)，=(-1/x2)f’(xy)·x+(1/x)f’(xy)+(y/x)f”(xy)·x+f’(x+y)+yf”(x+y)=yf”(x+y)+f’(x+y)+yf”(x+y)。9、设u=x3+2y2+xy，x=cost，则(du/dt)｜(t=0)=__________。标准答案：5知识点解析：du/dt==(3x2+y)·(-sint)+(4y+x)et，当t=0时，x=1，y=1，故(du/dt)｜t=0=0+5=5。10、函数z=(x+y)/(x-y)的全微分dz=__________。标准答案：2(xdy-ydr)/(x-y)2知识点解析：z=(x+y)/(x-y)，dz=[(x-y)d(x+y)-(x+y)d(x-y)]/(x-y)2=2(xdy-ydx)/(x-y)211、设z=arctan[(x-y)/(1-xy)]，则dz｜(0，1)=__________。标准答案：(-1/2)dy知识点解析：12、设z=ycos(xy2)，则=__________。标准答案：cos(xy2)-2xy2sin(xy2)知识点解析：=cos(xy2)+y[-sin(xy2)·2xy]=cos(xy2)-2xy2sin(xy2)。13、设f(x，y)=e2y+(x-1)，则fy(1，y)=__________。标准答案：2e2y知识点解析：f(1，y)=e2y，fy(1，y)=2e2y。14、设z=arctan(y/x)，则=__________。标准答案：1知识点解析：15、设f(x，y)=sin(3x3y2)，则df(x，y)=__________。标准答案：3x2ycos(3x3y2)(3ydx+2xdy)知识点解析：df(x，y)=cos(3x3y2)d(3x3y2)=cos(3x3y2)(9x2yx2+6x3ydy)=3x2ycos(3x3y2)(3ydx+2xdy)。16、设z=，则=__________。标准答案：-4xy/(2+x2+2y2)2知识点解析：17、已知函数z=z(x，y)具有二阶连续偏导数，且dz=y[ln(x2+y2)+2x2/(x2+y2)](x2+y2)xydx+x[ln(x2+y2)+2y2/(x2+y2)](x2+y2)dy，则｜(1，0)=__________。标准答案：0知识点解析：18、若二元函数z=2(x，y)的全微分dz=9x3y5dx+φ(x，y)dy，且其具有二阶连续偏导数，则φx(x，y)=__________。标准答案：45x3y4知识点解析：二、解答题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)19、设f(x，y)=xy+x2+y3，求fx(0，2)，fx(2，0)，fy(0,3)，fy(3，0)。标准答案：由已知得=y+2x，=x+3y2，则fx(0，2)=(y+2x)｜(0，2)=2，fx(2，0)=(y+2x)｜(2，0)=4，fy(0，3)=(x+3y2)｜(0，3)=27，fy(3，0)=(x+3y2)｜(3，0)=3。知识点解析：暂无解析20、设z=ln(tan(x/y))，求，。标准答案：知识点解析：暂无解析21、已知z=ln(3x2+y4)，求｜(2，1)，｜(2，1)。标准答案：知识点解析：暂无解析22、已知u=arctan(x-y)z，其中x＞y，求。标准答案：知识点解析：暂无解析23、设z=，求dz。标准答案：知识点解析：暂无解析云南专升本数学（多元函数微分学）模拟试卷第6套一、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、某工厂建一无盖的长方体排污池，其体积为V立方米，底面每平方米造价为a元，侧面每平方米造价为6元，为使其总造价最低，其长、宽、高各应为多少?标准答案：设长方体的长、宽分别为x米、y米，则高为V/xy米，又设总造价为z元，由题意可得知识点解析：暂无解析二、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)2、求z=x2y+y2ex的全微分。标准答案：因为zx=2xy+y2ex，zy=x2+2yex，所以dz=(2xy+y2ex)dx+(x2+2yex)dy。知识点解析：暂无解析3、已知u=xy/x，求du。标准答案：知识点解析：暂无解析4、已知z=ln(x2+y2)，求dz｜(1，2)。标准答案：所以dz｜(1，2)=(2/5)dx+(4/5)dy。知识点解析：暂无解析5、已知z=yln(xy)，求。标准答案：知识点解析：暂无解析6、求多元复合函数z=2u+v2的一阶偏导数，，其中u=x+y，v=xy2。标准答案：方法一将中间变量先代入，后求偏导数。因为z=2x+y+(xy2)2=2x·2y+x2·y4，所以=2xln2·2y+2x·y4=2x+yln2+2xy4，=2x·2y·ln2+x2·4y3=2x+yln2+4x2y3。方法二用链式法则求偏导数。=2u·ln2·1+2v·y2=2x+yln2+2xy4，=2u·ln2·1+2v·2xy=2x+yln2+4x2y3。知识点解析：暂无解析7、设函数z=x3siny+y2ex，求。标准答案：知识点解析：暂无解析8、求z=xln(x+y)的全部二阶偏导数。标准答案：知识点解析：暂无解析9、设方程e-xy-4z+ez=0确定了函数z=z(x，y)，求，。标准答案：令F(x，y，z)=e-xy-4z+ez，则Fx=-ye-xy，Fy=-xe-xy，Fz=-4+ez，于是当Fz≠0时，知识点解析：暂无解析10、设方程2cos(2x+3y-5z)=2x+3y-5z确定了函数z=z(x，y)，求+。标准答案：设F(x，y，z)=2cos(2x+3y-5z)-2x-3y+5z。则Fx=-2sin(2x+3y-5z)·2-2=-4sin(2x+3y-5z)-2。Fy=-2sin(2x+3y-5z)·3-3=-6sin(2x+3y-5z)-3，Fz=-2sin(2x+3y-5z)·(-5)+5=5+10sin(2x+3y-5z)，当Fz≠0时，有=-Fx/Fz-Fy/Fz=[5+10sin(2x+3y-5z)]/[5+10sin(2x+3y-5z)]=1。知识点解析：暂无解析11、设方程2x2-3y2+3z-2xyz=0所确定的隐函数为z=z(x，y)，求。标准答案：把x=0，y=1代入方程可得z=1．令F(x，y，z)=2x2-3y2+3z-2xyz，则Fx=4x-2yz，Fz=3-2xy，知识点解析：暂无解析12、若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=e3确定，求dz｜(0