高等数学（第五版）课件 1.5 函数的连续性

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第一章极限与连续第五节函数的连续性一、函数连续性

在现实生活中，许多量都是连续变化的，例如，水的流动、气温的变化、植物的生长，等等.这些现象反映在数学上就是函数的连续性.它与极限是密切相关的.为了定义函数的连续，首先必须引入函数增量的概念.1、函数的增量

2、函数连续的定义

因为由上，定义2可改写成以下定义:

有了函数在一点处连续，就可以进一步定义函数在区间上连续.

3、初等函数的连续性

可以证明：基本初等函数在其定义域内都是连续函数；初等函数在其定义区间内都是连续函数.

例2

计算下列极限。

二、函数的间断点

间断点分类:

第二类间断点第一类间断点

如果说连续是蜿蜒不断的万里长城，那么间断则不仅有“抽刀断水水更流”的可去间断，有“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”的跳跃间断，更有“我欲乘风归去”的无穷间断。不论是连续还是间断，我们都可以发现它的美好。

例如:

(3)

(4)

总结：判断函数间断点的一般步骤：Step1：找出函数无定义的点（分段函数还需考虑分段点）Step2：求出该点的左右极限。观察极限是否存在，左右极限是否相等。Step3：根据定义判断间断点类型。

三、闭区间上连续函数的性质为什么必须是闭区间，必须是连续函数？由以上两个图可以看出，如果函数不是闭区间或者连续函数，有可能没有最大值或者最小值.

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