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文档简介
经济数学基础辅导第15讲顾静相4.1不定积分的概念教学要求
理解原函数与不定积分的概念.原函数
对每一个可微函数
F(x)都对应一个导函数f(x)，使得F
(x)=f(x)．那么，如果已知一个函数
f(x)，能否找到一个函数
F(x)，使它的导数为
f(x)呢？如果函数
F(x)能够找到，我们称它是
f(x)的一个原函数．原函数定义
定义4.1设
f(x)是定义在区间(a,b)
内的已知函数．如果存在函数
F(x)，使对于任意的x
(a,b)，都有
F
(x)=f(x)或
dF(x)=f(x)dx
则称
F(x)是
f(x)在(a,b)
上的一个原函数．原函数
2x
的一个原函数是
x2，这是因为(x2)
=2x．而且x2+2，x2－
等也都是2x
的原函数，甚至对任意常数
C，x2+C还是2x
的原函数，因为它们的导数都是2x．因此，我们可以说2x
的所有原函数由
x2+C给出．原函数
如果F(x)是f(x)的一个原函数，则(C
为任意常数)．所以
F(x)+C也是
f(x)的原函数．原函数
另一方面，如果
F(x)和
G(x)都是
f(x)的原函数，即F
(x)
=G
(x)
=f(x)，则由中值定理的推论可知，F(x)和
G(x)
仅差一常数，即存在常数
C0
，使得F(x)
=G(x)
=
C0．
不定积分的定义定义4.2函数
f(x)的全部原函数，称为
f(x)的不定积分，记作其中：“
”称为积分号，x
称为积分变量，f(x)称为被积函数，
f(x)dx
称为积分表达式．不定积分
如果F(x)是f(x)的一个原函数，则(C
为任意常数)．C
称为积分常数．
因此，求函数f(x)的不定积分，只需求出f(x)的一个原函数再加上积分常数C．不定积分例1求函数
f(x)=sinx
的不定积分．不定积分例1求函数
f(x)=sinx
的不定积分．解因为(－cosx)
=sinx，所以
(C为任意常数)．
不定积分例2求函数
f(x)=xα
的不定积分，其中α
≠－1为常数．不定积分例2求函数
f(x)=xα
的不定积分，其中α
≠－1为常数．解因为
，所以
（
C为任意常数）．不定积分例3求函数
f(x)=的不定积分．不定积分例3求函数
f(x)=的不定积分．解当
x>0时，有
，所以当
x<0时，有
，所以合并以上两式，有(x
0)．原函数的一个结论
若函数
f(x)在某区间上连续，那么在此区间上
f(x)一定有原函数．
由于初等函数在其定义区间内必连续，所以初等函数在其定义区间内都有原函数．不定积分的几何意义如果F(x)是f(x)一个原函数，那么f(x)的不定积分为
．对于每一给定的常数
C，F(x)+C表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为
f(x)的一条积分曲线．不定积分的几何意义如果F(x)是f(x)一个原函数，那么f(x)的不定积分为
．对于每一给定的常数
C，F(x)+C表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为
f(x)的一条积分曲线．
由于
C可以取任意值，因此不定积分
表示
f(x)
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