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文档简介

经济数学基础辅导第15讲顾静相4.1不定积分的概念教学要求

理解原函数与不定积分的概念.原函数

对每一个可微函数

F(x)都对应一个导函数f(x)，使得F

(x)=f(x)．那么，如果已知一个函数

f(x)，能否找到一个函数

F(x)，使它的导数为

f(x)呢？如果函数

F(x)能够找到，我们称它是

f(x)的一个原函数．原函数定义

定义4.1设

f(x)是定义在区间(a,b)

内的已知函数．如果存在函数

F(x)，使对于任意的x

(a,b)，都有

F

(x)=f(x)或

dF(x)=f(x)dx

则称

F(x)是

f(x)在(a,b)

上的一个原函数．原函数

2x

的一个原函数是

x2，这是因为(x2)

=2x．而且x2+2，x2－

等也都是2x

的原函数，甚至对任意常数

C，x2+C还是2x

的原函数，因为它们的导数都是2x．因此，我们可以说2x

的所有原函数由

x2+C给出．原函数

如果F(x)是f(x)的一个原函数，则(C

为任意常数)．所以

F(x)+C也是

f(x)的原函数．原函数

另一方面，如果

F(x)和

G(x)都是

f(x)的原函数，即F

(x)

=G

(x)

=f(x)，则由中值定理的推论可知，F(x)和

G(x)

仅差一常数，即存在常数

C0

，使得F(x)

=G(x)

=

C0．

不定积分的定义定义4.2函数

f(x)的全部原函数，称为

f(x)的不定积分，记作其中：“

”称为积分号，x

称为积分变量，f(x)称为被积函数，

f(x)dx

称为积分表达式．不定积分

如果F(x)是f(x)的一个原函数，则(C

为任意常数)．C

称为积分常数．

因此，求函数f(x)的不定积分，只需求出f(x)的一个原函数再加上积分常数C．不定积分例1求函数

f(x)=sinx

的不定积分．不定积分例1求函数

f(x)=sinx

的不定积分．解因为(－cosx)

=sinx，所以

(C为任意常数)．

不定积分例2求函数

f(x)=xα

的不定积分，其中α

≠－1为常数．不定积分例2求函数

f(x)=xα

的不定积分，其中α

≠－1为常数．解因为

，所以

（

C为任意常数）．不定积分例3求函数

f(x)=的不定积分．不定积分例3求函数

f(x)=的不定积分．解当

x>0时，有

，所以当

x<0时，有

，所以合并以上两式，有(x

0)．原函数的一个结论

若函数

f(x)在某区间上连续，那么在此区间上

f(x)一定有原函数．

由于初等函数在其定义区间内必连续，所以初等函数在其定义区间内都有原函数．不定积分的几何意义如果F(x)是f(x)一个原函数，那么f(x)的不定积分为

．对于每一给定的常数

C，F(x)+C表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为

f(x)的一条积分曲线．不定积分的几何意义如果F(x)是f(x)一个原函数，那么f(x)的不定积分为

．对于每一给定的常数

C，F(x)+C表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为

f(x)的一条积分曲线．

由于

C可以取任意值，因此不定积分

表示

f(x)

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