2024-2025学年新教材高中数学 第七章 随机变量及其分布 7.5 正态分布（教师用书）教案 新人教A版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.5正态分布（教师用书）教案新人教A版选择性必修第三册主备人备课成员教材分析本节课为人教A版选择性必修第三册第七章随机变量及其分布的7.5节——正态分布。该节内容主要介绍正态分布的定义、性质及应用。学生通过学习正态分布，能够更好地理解随机现象，为后续的概率计算和统计学习打下基础。

本节课的内容与学生的日常生活和工农业生产密切相关，有利于提高学生的学习兴趣和积极性。同时，通过学习正态分布，学生能够培养逻辑思维能力和数据分析能力，提高解决实际问题的能力。

在教学过程中，应注重引导学生从实际问题中抽象出正态分布的概念，通过观察、分析、归纳等方法，让学生深刻理解正态分布的性质和特点。同时，结合多媒体教学手段，丰富教学形式，提高学生的学习兴趣。核心素养目标本节课旨在培养学生以下核心素养：

1.逻辑推理：通过观察实例，引导学生从具体问题中抽象出正态分布的概念，培养学生从现象到本质的逻辑推理能力。

2.数据分析：使学生掌握正态分布的性质和特点，能够运用正态分布解决实际问题，提高学生的数据分析能力。

3.数学建模：培养学生运用数学语言和工具描述现实世界中的随机现象，从而建立数学模型，提高数学建模能力。

4.直观想象：通过绘制正态分布曲线，培养学生直观想象能力，让学生能够形象地理解正态分布的特点。

5.数学运算：在学习正态分布的过程中，培养学生运用数学运算解决实际问题的能力。

6.数学抽象：使学生能够从具体问题中抽象出正态分布的概念，培养学生数学抽象能力。重点难点及解决办法重点：

1.正态分布的定义及其性质

2.正态分布曲线的特点及应用

难点：

1.正态分布的概率密度函数的理解和应用

2.利用正态分布解决实际问题

解决办法：

1.对于正态分布的定义及其性质，可以通过具体实例让学生从直观上感受，再通过数学推导加以证明，从而加深理解。

2.对于正态分布曲线的特点及应用，可以通过绘制图形，让学生直观感受曲线形状，再结合具体例子让学生理解其应用。

3.对于正态分布的概率密度函数的理解和应用，可以通过数学推导和实例分析相结合的方式，让学生加深理解。

4.对于利用正态分布解决实际问题，可以引导学生从实际问题中抽象出正态分布模型，再运用所学知识解决问题。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、白板、教学卡片、计算器、统计学软件等。

2.课程平台：人教A版选择性必修第三册教材、教师用书、教学课件等。

3.信息化资源：互联网上的相关教学视频、案例分析、正态分布的应用实例等。

4.教学手段：讲授法、案例分析法、小组讨论法、问题驱动法、实践活动法等。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对正态分布的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道正态分布是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于正态分布的图片或视频片段，让学生初步感受正态分布的魅力或特点。

简短介绍正态分布的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.正态分布基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解正态分布的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解正态分布的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍正态分布的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.正态分布案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解正态分布的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的正态分布案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解正态分布的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用正态分布解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与正态分布相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对正态分布的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调正态分布的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括正态分布的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调正态分布在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用正态分布。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于正态分布的短文或报告，以巩固学习效果。知识点梳理本节课的主要内容是正态分布，我们需要梳理以下知识点：

1.正态分布的定义：正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，两端无限延伸，对称轴为均值。

2.正态分布的性质：正态分布具有以下性质：

a.均值、中位数和众数相等。

b.概率密度函数在均值处取得最大值。

c.约68%的数据分布在均值的一个标准差范围内，约95%的数据分布在两个标准差范围内，约99.7%的数据分布在三个标准差范围内。

3.正态分布的参数：正态分布由两个参数确定，即均值和标准差。均值决定了分布的位置，标准差决定了分布的宽度。

4.正态分布的概率密度函数：正态分布的概率密度函数公式为f(x)=(1/σ√(2π))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。

5.正态分布的累积分布函数：正态分布的累积分布函数为F(x)=(1/2)*[1+erf((x-μ)/(σ√2))]，其中erf为误差函数。

6.正态分布的性质在实际中的应用：正态分布广泛应用于自然界、社会科学、医学、工程等领域，如身高、体重、考试成绩等。

7.正态分布的推导：正态分布可以通过中心极限定理推导得出，即大量独立同分布的随机变量的和趋向于正态分布。

8.正态分布的图形：正态分布的图形为一条对称的钟形曲线，曲线的高度在均值处达到最大值，随着距离均值的增加，曲线逐渐降低。

9.正态分布的区间概率：正态分布的区间概率可以通过标准正态分布表或计算机软件计算得出。

10.正态分布在实际问题中的应用：例如，在医学中，正态分布可以用来描述病人体检指标的数据分布；在工程中，正态分布可以用来描述产品质量指标的数据分布。重点题型整理本节课的重点是正态分布的相关知识，下面整理了一些重点题型并进行详细的补充和说明。

题型1：正态分布的定义和性质

题目：判断以下哪个选项是正态分布的性质？

A.概率密度函数在均值处取得最大值

B.约68%的数据分布在均值的一个标准差范围内

C.均值、中位数和众数相等

D.正态分布的概率密度函数呈钟形曲线

答案：A、B、C、D都是正态分布的性质。

题型2：正态分布的参数

题目：给定一个正态分布的数据集，均值为10，标准差为2，以下哪个选项是正确的？

A.约68%的数据分布在8到12之间

B.约95%的数据分布在6到14之间

C.约99.7%的数据分布在2到18之间

D.以上都是正确的

答案：D。根据正态分布的性质，约68%的数据分布在均值的一个标准差范围内，即8到12；约95%的数据分布在两个标准差范围内，即6到14；约99.7%的数据分布在三个标准差范围内，即2到18。

题型3：正态分布的概率密度函数

题目：给定一个正态分布的数据集，均值为0，标准差为1，以下哪个选项是正确的？

A.概率密度函数在x=0处取得最大值

B.概率密度函数在整个实数轴上都是均匀分布的

C.概率密度函数在x=1处取得最大值

D.以上都是正确的

答案：A。根据正态分布的概率密度函数，概率密度函数在均值处取得最大值，即在x=0处取得最大值。

题型4：正态分布的累积分布函数

题目：给定一个正态分布的数据集，均值为10，标准差为2，以下哪个选项是正确的？

A.F(x)=0.5*[1+erf((x-10)/(2√2))]

B.F(x)=0.5*[1-erf((x-10)/(2√2))]

C.F(x)=1-erf((x-10)/(2√2))

D.F(x)=erf((x-10)/(2√2))

答案：A。根据正态分布的累积分布函数，F(x)=(1/2)*[1+erf((x-μ)/(σ√2))]，其中μ为均值，σ为标准差。

题型5：正态分布的应用

题目：某工厂生产的产品质量服从正态分布，均值为100，标准差为10。以下哪个选项是正确的？

A.约68%的产品质量分布在90到110之间

B.约95%的产品质量分布在80到120之间

C.约99.7%的产品质量分布在70到130之间

D.以上都是正确的

答案：D。根据正态分布的性质，约68%的数据分布在均值的一个标准差范围内，即90到110；约95%的数据分布在两个标准差范围内，即80到120；约99.7%的数据分布在三个标准差范围内，即70到130。作业布置与反馈1.作业布置

本节课的主要内容是正态分布，为了让学生巩固所学知识并提高能力，布置以下作业：

作业1：请解释正态分布的定义，并给出一个具体的例子说明正态分布的特点。

作业2：已知一个正态分布的数据集，均值为10，标准差为2。请计算以下概率：

a.P(X<8)

b.P(8≤X≤12)

c.P(X>12)

作业3：根据正态分布的累积分布函数，计算以下概率：

a.P(X<10)

b.P(10≤X≤12)

c.P(X>12)

作业4：已知一个正态分布的数据集，均值为0，标准差为1。请计算以下概率：

a.P(X<0)

b.P(0≤X≤1)

c.P(X>1)

作业5：选择一个与正态分布相关的实际问题，运用所学知识进行分析，并撰写一篇短文。

2.作业反馈

及时对学生的作业进行批改和反馈，指出存在的问题并给出改进建议，以促进学生的学习进步。在批改作业时，注意以下几点：

-检查学生对正态分布的定义和性质的理解是否准确。

-验证学生计算的概率是否正确，并指出计算过程中的错误。

-评价学生运用正态分布解决实际问题的能力，并提供改进建议。

-对作业中的创新性和思考性问题给予肯定和鼓励。板书设计1.正态分布的定义

2.正态分布的性质

-均值、中位数和众数相等

-概率密度函数在均值处取得最大值

-约68%的数据分布在均值的一个标准差范围内

3.正态分布的参数

-均值（μ）

-标准差（σ）

4.正态分布的概率密度函数

-f(x)=(1/σ√(2π))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))

5.正态分布的累积分布函数

-F(x)=(1/2)*[1+erf((x-μ)/(σ√2))]

6.正态分布的应用

-实际问题分析

7.正态分布的图形

-对称的钟形曲线

8.正态分布的区间概率

-P(X<a)

-P(a≤X≤b)

-P(X>b)

9.正态分布在实际问题中的应用

-医学、工程等领域反思改进措施（一）教学特色创新

1.引入实际案例：在教学中引入与正态分布相关的实际案例，使学生能够更好地理解正态分布的应用和重要性。例如，通过分析医学数据中的正态分布，让学生了解正态分布在医学领域的应用。

2.利用信息技术：利用多媒体教学和互联网资源，丰富教学形式，提高学生的学习兴趣。例如，通过展示正态分布的动画演示，帮助学生直观地理解正态分布的性质和特点。

3.开展小组讨论：组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。例如，让学生分组讨论正态分布在实际问题中的应用，并分享讨论成果。

（二）存在主要问题

1.学生对正态分布的理解不够深入：部分学生在学习正态分布时，可能对概念和性质的理解不够深入，需要进一步的引导和解释。

2.计算能力的培养不足：在教