经管类微积分-课件

应用技术型高等教育“十二五”规划教材经济数学——微积分

微积分

第一章函数与极限一、集合二、函数第一节函数一、集合的概念1.集合(set):具有确定性质的对象的总体.组成集合的每一个对象称为该集合的元素.例如：太阳系的九大行星； 教室里的所有同学。如果a是集合M中的元素，则记作否则记作由有限个元素组成的集合称为有限集由无限个元素组成的集合称为无限集2．分类：3．表示方法：①列举法②描述法4.集合之间的关系例如：例如：规定空集为任何集合的子集.不含任何元素的集合称为空集5.数集分类:N—自然数集Z—整数集Q—有理数集R—实数集数集间的关系:—正整数集研究某一问题时所考虑的对象的全体称为全集，用I表示；把差集I\A特别称为余集或补集，记作Ac.1.并集:2.交集:3.差集:4.余集:二、集合的运算三、区间和邻域1.区间(interval):是指介于某两个实数之间的称为开区间,称为闭区间,全体实数.这两个实数叫做区间的端点.有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.称为半闭半开区间,称为半开半闭区间,2.邻域(neighborhood):点的去心邻域把开区间称为a的左δ邻域，把开区间称为a的右δ邻域，因变量自变量D称为定义域，记作Df，即Df=

D

.函数值的全体构成的数集称为值域，记为：四、函数的概念自变量因变量对应法则f2.函数的两要素:定义域与对应法则.约定:

定义域是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值.定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．是多值函数(1)符号函数3.几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线显然:在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例综上，有:M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性(bounded)五、函数的几种特性2．函数的奇偶性(parity)偶函数yxox-x奇函数yxox-x3．函数的单调性(monotonicity)xyoxyo4．函数的周期性(periodicity)（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.六、反函数(inversefunction)DWDW反函数.定理（反函数存在定理）：单调函数f必存在单调的反函数，且此反函数与f具有相同的单调性.例解反函数的相关视频反函数1反函数2反函数3反函数4七、复合函数(compoundfunction)定义:复合函数，其中例因此能够形成复合函数注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.幂函数八、初等函数指数(exponentialfunction)和对数函数指数函数

对数函数正弦函数三角函数余弦函数正切函数余切函数反三角函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.九、常见的经济函数一、需求函数

如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为Q是P的函数。记作则f称为需求函数.二、供给函数

如果价格是决定供给量的最主要因素，可以认为Q是P的函数。记作则G称为供给函数.一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：线性函数：幂函数：指数函数：

在同一个坐标系中作出需求曲线D和供给曲线S，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为供需平衡价格.E供需平衡点供需平衡价格三、市场均衡四、成本函数成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本两部分组成.支付固定生产要素的费用支付可变生产要素的费用五、收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用Q表示出售的产品数量，R表示总收益,表示平均收益，则如果产品价格P保持不变，则成本、收益、利润函数公开课

视频——成本、收益、利润函数1

视频——成本、收益、利润函数2

视频——成本、收益、利润函数3

第一章山东交通学院高等数学教研室第二节数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质“一尺之棰，日取其半，万世不竭”

——庄周1.引例：截丈问题第一天截剩下的部分第二天截剩下的部分第n天截剩下的部分一、数列极限的定义称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项，按自然数称为通项(一般项)。如一般项这个引例反映了数列的某种特性：对数列无限的接近这个常数a，a称为其极限，如果存在某个常数a，当n无限增大时，2.数列的定义编号依次排列的一列数数列记为否则称为发散数列。则称这个数列为收敛数列，如一般项一般项一般项一般项收敛到0收敛到1发散发散收敛数列的特性：无限地接近某个常数a随n的无限增大，3.数列的变化趋势——极限观察数列时的变化趋势当播放播放观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当通过对演示的观察，得当n无限增大时，无限接近于1。两个数a和b之间的接近程度可以用两数之差的绝对值来度量给定由只要有给定由只要有给定由只要有给定只要有定义：设为一数列，如果存在常数a，对于任意记或或者称数列收敛于a.给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数N，使得当时，则称a是数列的极限，使时，证明欲使即使只要因此，取则时,有故证明数列的极限为1.

例1已知思考：取可不可以？成立成立，即可。成立。注意（1）的作用在于衡量与a的接近程度，只要求（2）一经给出，暂看作是固定的，由其决定N

（3）也可用代替，<号也可换成号，

N的相应性（1）N与相关的，越小，N越大，但N不是的函数（2）重要的是N的存在性，找到即可，但N不唯一几何解释最多只有有限项落在该邻域之外不能说有无限项在该邻域内，如的任意性证明等比数列证明欲使只要则当n>N

时,有故亦即例2设的极限为0.即因此，取1.收敛数列极限的唯一性定理1收敛数列的极限唯一。二、收敛数列的性质2.收敛数列的有界性有界性否则无界。有界，无界定理2

收敛数列一定有界。使对一切有界成立，则如注意收敛必有界，发散不一定无界无界必发散，有界不一定收敛，虽有界但不收敛数列3.收敛数列的保号性如果且则当时，定理3且则推论：如果从某项起且极限是a。定理4

如果数列收敛于a，则其任一子数列也收敛，注意如果数列有两个子数列收敛于不同极限，发散。则证明数列发散的方法：a.定义c.找到的一个发散子列d.找到的两个有不同4.收敛数列与其子列的关系子列：在数列中任意抽取无限多项并保持其在原数列中的如都是其子列先后次序，这样得到的数列称为原数列的子数列(或子列)。b.无界必发散极限的子列1.数列极限的两种定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限小结练习：P241;3.3。证明时,就有存在则当即反例：原数列发散

第一章山东交通学院高等数学教研室第三节函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质问题的引入对应函数值无限接近于确定的数a.即当时，而数列极限如果自变量可以取全体实数函数当自变量在某一变化趋势下的极限一、函数极限的定义13分两种情况讨论：1.自变量趋于无穷大时函数的极限

如果函数则称记作时的极限,

A为函数当定义1设函数无限增大时,当或无限接近确定的常数A，如直线y＝0是的水平渐近线。则y＝C是的水平渐近线。一般的，如果2.自变量趋于有限值时函数的极限(1)如果时，就说A是当时的极限。包含两层意思：①②用表示是指可以任意小，这是在的过程中实现的，所对应的函数值满足即与充分接近的x而这些x必在的某邻域内，用表示，与在处是否有定义或有定义而是多少没有关系。即当时，成立，就说A是当时的极限定义2则称常数

A

为函数当时的极限,或记作即在点设的某去心邻域内有定义，时,有当时,有当如果在处是否有定义或有定义时是多少当时的变化趋势,注意①②几何解释：不影响例1

证明解：当时，成立，所以要使需要(2)单侧极限有些函数在定义域内某些点两侧表达式不同，如而有些函数仅在定义域内某点一侧有定义这时只能单侧的讨论极限，如上例。的左侧无限接近于则称

A为函数如果

当无限接近确定的常数A，左极限：时的左极限当右极限：注意存在定义常用于判定分段点处的极限例4

求求解：1.唯一性2.局部有界性则使3.局部保号性如果使或则或且如果如果存在，则唯一。推论若在或且或则二、函数极限的性质时，时，内，1.唯一性2.局部有界性3.局部保号性小结1.自变量趋于有限值时函数的极限2.自变量趋于无穷大时函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质极限的相关公开课1.极限的概念2.极限例题3.极限例题

第一章山东交通学院高等数学教研室第四节无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系当定义1若时,函数则称函数例如：函数当时为无穷小;函数时为无穷小;数列当为时的无穷小.时为无穷小.一、无穷小说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为当时,显然C只能是0!CC其中

为时的无穷小量.定理1(无穷小与函数极限的关系)

定义2

若任给M>0,一切满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大,

使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在二、无穷大1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.例如,函数但不是无穷大!但反之不真!注意:若则直线为曲线的铅直渐近线.铅直渐近线说明:若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2在自变量的同一变化过程中,说明:三、无穷小与无穷大的关系性质1有限个无穷小的和仍是无穷小.四、无穷小、无穷大的运算法则性质2有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.推论1

常数与无穷小的乘积仍是无穷小.性质3

有限个无穷小的乘积仍是无穷小.有限个无穷大的和仍是无穷大.无限个无穷小的和仍是无穷小.如如有界函数与无穷大的乘积仍是无穷大.如常数与无穷大的乘积仍是无穷大.非零有限个无穷大的乘积仍是无穷大.√例求解：利用定理2可知说明:

y=0是的渐近线.1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系Th13.无穷小与无穷大的关系Th2小结

第一章山东交通学院高等数学教研室第五节极限运算法则

一、函数极限的运算法则二、数列的极限运算法则则有定理1若一、函数极限的运算法则（3）若B≠0,则（1）（2）例2例3注意：①②都存在时才可以用此法则，型需变换