24.1.2 垂直于弦的直径 课件 2024-2025学年 人教版数学九年级上册_第1页
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24.1.2垂直于弦的直径知识导航1.圆的对称性圆是轴对称图形,

都是圆的对称轴.注意:对称轴是直径所在的直线.任何一条直径所在的直线2.垂径定理垂直于弦的直径

弦,并且

弦所对的

.符号语言:如图,∵AB为☉O的直径,AB⊥CD,∴

=

,

=

,

=

.平分两条弧

平分CEDE

注意:在圆的有关计算和证明中,常作圆心到弦的垂线段,并连接半径构造直角三角形,这样不仅为利用垂径定理创造条件,而且为利用勾股定理沟通已知量与未知量之间的关系创造条件.3.垂径定理的推论平分弦

的直径垂直于弦,并且

弦所对的两条弧.(不是直径)平分符号语言:如图,在☉O中,AB是直径,非直径的弦CD与AB相交于点E,且CE=DE.∵AB是直径,CE=DE,∴

,

,

.AB⊥CD

注意:对于下列5个条件:①垂直于弦;②过圆心(直径);③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.如果满足其中两个,就能推出其他三个.典例导思题型一垂径定理的理解及其应用例1(1)如图1,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则BE的值为(

)A.2cm B.3cm C.5cm D.8cmA

C

(3)已知☉O的半径为10cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是

cm.

[方法点拨]

在弦长、半径、弦心距(圆心到弦的距离)三个量中,可通过勾股定理建立方程知二求一.2或14跟踪训练

B

2题型二垂径定理在生活中的应用例2如图是某风景区的一个圆拱形门,路面AB宽为2m,净高5m,求圆拱形门所在圆的半径.

在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=OD2+AD2,即r2=(5-r)2+12,解得r=2.6.答:圆拱形门所在圆的半径是2.6

m.跟踪训练3.(2023·浙江)一次综合实践的主题为:只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直紧贴杯口上,纸条的上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D四点,利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm,AB=3cm,CD=4cm.请你帮忙计算出纸杯的直径为(

)A.4cm B.5cm C.6cm D.7cmB4.一座桥,桥拱是圆弧形(水面以上部分),测量时只测到桥下水面宽AB为16m(如图),桥拱最高处离水面4m.

(1)求桥拱的半径;

设☉O的半径为x

m,则OD=(x-4)m.在Rt△AOD中,OA2=AD2+OD2,即x2=8

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