高考数学 2-2-2等差数列的性质课后强化作业 新人教A版必修5

【成才之路】-学年高考数学2-2-2等差数列的性质课后强化作业新人教A版必修5一、选择题1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0C．a3＋a100≤0 D．a51＝0[答案]D[解析]由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51∴a51＝0.2．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝()A．64 B．30C．31 D．15[答案]D[解析]解法一：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a6＋a9＝16,a4＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋13d＝16,a1＋3d＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5,d＝2))，∴a11＝a1＋10d＝15.解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a4＋a11＝a6＋a9＝16，∴a11＝15.3．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21C．28 D．35[答案]C[解析]∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4又a1＋a2＋…＋a7＝7a44．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于A．120 B．105C．90 D．75[答案]B[解析]∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2又∵a1a2a3＝80，∴a即(a2－d)(a2＋d)＝16，∵d>0，∴d＝3.则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d5．在a和b之间插入n个数构成一个等差数列，则其公差为()A.eq\f(b－a,n) B.eq\f(a－b,n＋1)C.eq\f(b－a,n＋1) D.eq\f(b－a,n－1)[答案]C[解析]∵a1＝a，an＋2＝b，∴公差d＝eq\f(an＋2－a1,n＋2－1)＝eq\f(b－a,n＋1).6．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()A．－1 B．1C．3 D．7[答案]B[解析]∵{an}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.二、填空题7．等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝__________.[答案]18[分析]利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出2a1＋11d[解析]解法1：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11∴a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d解法2：根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.8．已知等差数列{an}中，a3、a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝__________.[答案]15[解析]∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋eq\f(1,2))(a3＋a15)＝eq\f(5,2)×6＝15.三、解答题9．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．[解析]设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得，(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94⇒2a2＋10d2＝47.又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18⇒8d2＝18⇒d＝±eq\f(3,2)代入①得a＝±eq\f(7,2)，故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1.能力提升一、选择题1．数列{an}中，a2＝2，a6＝0且数列{eq\f(1,an＋1)}是等差数列，则a4等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)[答案]A[解析]令bn＝eq\f(1,an＋1)，则b2＝eq\f(1,a2＋1)＝eq\f(1,3)，b6＝eq\f(1,a6＋1)＝1，由条件知{bn}是等差数列，∴b6－b2＝(6－2)d＝4d＝eq\f(2,3)，∴d＝eq\f(1,6)，∴b4＝b2＋2d＝eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，∵b4＝eq\f(1,a4＋1)，∴a4＝eq\f(1,2).2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2[答案]A[解析]∵a1＋a2＋a3＝3a2＝3，∴a2又a5＝10，∴3d＝a5－a2＝9，∴d＝3.∴a1＝a2－d＝－2.3．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根 B．有两个相等实根C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根[答案]A[解析]∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5即3a5＝9，∴a5方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．4．下列命题中正确的个数是()(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；(4)若a，b，c成等差数列，则eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)可能成等差数列．A．4个 B．3个C．2个 D．1个[答案]B[解析]对于(1)取a＝1，b＝2，c＝3⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错．对于(2)，a＝b＝c⇒2a＝2b＝2对于(3)，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正确；对于(4)，a＝b＝c≠0⇒eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,c)，(4)正确，综上选B.二、填空题5．在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，，则am＝__________.[答案]eq\f(1,2)(A＋B)[解析]∵m－n，m，m＋n成等差数列，又{an}是等差数列．∴am－n，am，am＋n成等差数列，∴2am＝am－n＋am＋n＝A＋B，∴am＝eq\f(1,2)(A＋B)．6．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．[答案]4,6,8[解析]设这三个数为a－d，a，a＋d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝18,a－d2＋a2＋a＋d2＝116))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6,d＝±2))，∴三数为4,6,8.三、解答题7．在△ABC中，三边a、b、c成等差数列，eq\r(a)、eq\r(b)、eq\r(c)也成等差数列，求证△ABC为正三角形．[证明]∵eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，平方得a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，又∵a＋c＝2b，∴eq\r(ac)＝b，故(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0，∴a＝b＝c.故△ABC为正三角形．8．设数列{an}是等差数列，bn＝(eq\f(1,2))an又b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求通项an.[解析]∵b1b2b3＝eq\f(1,8)，又bn＝(eq\f(1,2))an，∴(eq\f(1,2))a1·(eq\f(1,2))a2·(eq\f(1,2))a3＝eq\f(1,8).∴(eq\f(1,2))a1＋a2＋a3＝eq\f(1,8)，∴a1＋a2＋a3＝3，又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，∴b1b3＝eq\f(1,4)，b1＋b3＝eq\f(17,8)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝2,b3＝\f(1,8)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝\f(1,8),b3＝2))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1,a3＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3,a