黑龙江省大庆市铁人中学2025届高三数学上学期期中试题理含解析

PAGE20-黑龙江省大庆市铁人中学2025届高三数学上学期期中试题理（含解析）试题说明：1.本试题满分150分，答题时间120分钟.2.请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分.）1.A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：依据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算实力.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，，所以.故选择B.3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A.－ B.－ C. D.【答案】B【解析】【分析】依据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后依据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后依据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【详解】解：依据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故选：B．【点睛】此题考查学生驾驭直线的斜率与倾斜角之间的关系，敏捷运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．4.曲线在点处切线的斜率为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依据求导公式求出y′，由导数的几何意义求出在点（1，1）处的切线的斜率k．【详解】解：由题意知，，则，∴在点（1，1）处的切线的斜率k＝2，故选：B【点睛】本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．5.下列叙述正确的是（）A.命题“p且q”为真，则恰有一个为真命题B.命题“已知，则“”是“”的充分不必要条件”C.命题都有，则，使得D.假如函数在区间上是连绵不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点【答案】C【解析】【分析】由p且q的真值表，可推断正误；由充分必要条件的定义和特值法，可推断正误；由全称命题的否定为特称命题，可推断正误；由函数零点存在定理可推断正误.【详解】解：对于A，命题“P且q为真，则P，q均为真命题”，故错误；对于B，“a＞b”推不出“a2＞b2”，比如a＝1，b＝﹣1；反之也推不出，比如a＝﹣2，b＝0，“a＞b”是“a2＞b2”的不充分不必要条件，故错误；对于C，命题都有，则，使得，故正确；对于D，假如函数y＝f（x）在区间[a，b]上是连绵不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，由零点存在定理可得函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，故错误．其中真命题的个数为1，故选：C．【点睛】本题考查命题的真假推断，考查命题的否定和充分必要条件的推断，以及函数零点存在定理和函数的单调性的推断，考查推断实力和运算实力，属于中档题．6.若，满意约束条件，则的最大值为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】作出可行域,,比较斜率的大小找到最优解,依据最优解求得最大值.【详解】作出可行域,如图所示:将目标函数化为斜截式可得:,依据图象,比较斜率的大小可知,最优解为点,联立,解得,所以,将代入目标函数可得的最大值为6.故选:C.【点睛】本题考查了线性规划求最大值,属于中档题.7.若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：用特别值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项D错误，因为选项C正确，故选C．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8.在中，,为的中点，则=()A.2 B.-2 C. D.【答案】B【解析】∵为的中点∴，∵∴故选B.9.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，所以去掉A,B;因为，所以，因此去掉C，选D.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的推断技巧：（1）由函数的定义域，推断图象左右的位置，由函数的值域，推断图象的上下位置；②由函数的单调性，推断图象的改变趋势；③由函数的奇偶性，推断图象的对称性；④由函数的周期性，推断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟识的数学问题求解，要留意实际问题中的定义域问题．10.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】几何体如图，球心为O，半径为，表面积为，选B.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特别点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何学问找寻几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.11.不等式的解集为,且,则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：即不等式在是上恒成立，即，令，则，列表分析可得时取最小值，从而的取值范围是，选A.考点：不等式恒成立【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分别参数法：将原不等式分别参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，依据要求得所求范围.一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.12.已知定义在上的函数的导数为，且，若对随意恒成立，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0．x∈（0，+∞）．xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．可得函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调性，即可解出．【详解】解：令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0，x∈（0，+∞）．∵xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．由lnx，可得，即又∴g（x）＞0=g（e），∴x＞e．即不等式lnx的解集为{x|x＞e}．故选：C．【点睛】本题考查了构造法、利用导数探讨函数的单调性解不等式，考查了推理实力与计算实力，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知向量，若与反向则_________【答案】【解析】【分析】利用向量共线的坐标公式即可得到结果.【详解】∵向量，与反向∴，解得，故答案为：【点睛】本题考查实数值求法，是中档题，解题时要仔细审题，留意向量共线的性质的合理运用．14.函数最大值为_______【答案】6【解析】【分析】利用二倍角余弦公式，转化为关于t的一元二次函数，进而可依据二次函数的性质来解决．【详解】解：y＝﹣2sin2x+6sinx+2，设sinx＝t，则﹣1≤t≤1，f（t）＝﹣2t2+6t+2，对称轴为x，开口方向向下，在区间[﹣1，1]上单调增，∴f（t）max＝f（1）＝6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了三角函数的最值问题．解题过程中运用了函数思想和转化与化归思想．15.在中，角所对的边分别为的平分线交于点D，且，则的最小值为_________【答案】【解析】【分析】依据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．【详解】解：由题意得acsin60°asin30°csin30°，即ac＝a+c，得，得4a+c＝（4a+c）（）≥＝，当且仅当，即c＝2a时，取等号，故答案为：．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用与三角形的面积公式，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．16.设是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当时，，则当时，的解析式为______________【答案】【解析】【分析】依据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）＝x，可得答案．【详解】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）＝x，∴x∈[﹣2，﹣1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）＝f（4+x）＝4+x，x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，2﹣x∈[2，3]，此时f（x）＝f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x，综上可得：x∈[﹣2，0]时，f（x）＝3﹣|x+1|故答案为：点睛】本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）17.已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)，对称中心；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)先通过三角恒等变换把化简成一角一名一次式即的形式，由正弦函数的性质求得其最小正周期和对称中心；(Ⅱ)由求出的范围，结合图象找出函数的最值点，进而求得的最值，得解.试题解析：解：（Ⅰ）∴的最小正周期为，令，则，∴的对称中心为；（Ⅱ）∵∴∴∴∴当时，的最小值为；当时，的最大值为．考点：二倍角公式、两角和与差的正弦公式及三角函数的图象与性质.【易错点晴】本题涉及到降幂公式，要留意区分两个公式，同时要留意两个特别角的三角函数值，保证化简过程正确是得分的前提，否则一旦出错将会一错究竟，一分不得，不少考生犯这样的低级错误，实在惋惜；对于给定区间上的最值问题，在换元的基础上结合三角函数的图象搞清晰其单调性，找准最值点，再求最值，部分考生不考虑单调性，干脆代入区间两个端点的值来求最值，说明对函数单调性对函数最值的影响相识肤浅、不到位.18.已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满意，求数列前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）依据是等差数列，设公差为d，由通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得，由裂项相消求和，化简运算可得所求和．【详解】（Ⅰ）公差d不为零的等差数列，若，且成等比数列，

可得，即，解得．则；（Ⅱ），可得前n项和．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式与等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算实力，属于基础题．19.如图，直棱柱中，分别是的中点，，（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点，连接DF，则BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1C．（2）以C为坐标原点，CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【详解】（1）如图，连接交于点F，则点F为的中点，连接.因为D是的中点，所以在中，是中位线，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为，所以，即.则以C为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，则，，.设是平面的一个法向量，则，即，取，则，，则.设是平面一个法向量，则，即，取，则，，则.所以，所以，即二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知在中，角的对边分别为,且.（1）求的值；（2）若,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值，所以可以考虑到依据余弦定理将分别用边表示，再依据正弦定理可以将转化为，于是可以求出的值；（2）首先依据求出角的值，依据第（1）问得到的值，可以运用正弦定理求出外接圆半径，于是可以将转化为，又因为角的值已经得到，所以将转化为关于的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角的值后，应用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，当然，此时还要留意到三角形两边之和大于第三边这一条件.试题解析：（1）由，应用余弦定理，可得化简得则（2）即所以法一.,则===又法二因为由余弦定理得，又因为，当且仅当时“”成立.所以又由三边关系定理可知综上21.已知数列中，且．（Ⅰ）求，；并证明是等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）依据递推式逐步代入算出和的值，再依据题意将的递推式代入进行计算化简最终会得到和的关系，最终得证数列是等比数列；（Ⅱ）先依据（Ⅰ）求得的通项公式，得到，由通项公式的特点可依据错位相减法得到数列的前项和．【详解】（Ⅰ）由题意，可知：，．①当时，，②当时，．数列是以为首