2025届高考数学一轮总复习第10章概率第1节随机事件的概率跟踪检测文含解析

PAGE第十章概率第一节随机事务的概率A级·基础过关|固根基|1.有一个嬉戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事务“甲向南”与事务“乙向南”是()A．互斥但非对立事务 B．对立事务C．相互独立事务 D．以上都不对解析：选A由于每人一个方向，事务“甲向南”与事务“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生，故是互斥事务，但不是对立事务．2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产状况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件产品是正品(甲级)的概率为()A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08解析：选C记抽检的产品是甲级品为事务A，是乙级品为事务B，是丙级品为事务C，这三个事务彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.3．在一次随机试验中，彼此互斥的事务A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是()A．A∪B与C是互斥事务，也是对立事务B．B∪C与D是互斥事务，也是对立事务C．A∪C与B∪D是互斥事务，但不是对立事务D．A与B∪C∪D是互斥事务，也是对立事务解析：选D由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必定事务，所以任何一个事务与其余3个事务的和事务必定是对立事务，任何两个事务的和事务与其余两个事务的和事务也是对立事务．故选D.4．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35).则从中随意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7) B.eq\f(12,35)C.eq\f(17,35) D．1解析：选C设“从中取出2粒都是黑子”为事务A，“从中取出2粒都是白子”为事务B，“随意取出2粒恰好是同一色”为事务C，则C＝A∪B，且事务A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35)，即随意取出2粒恰好是同一色的概率为eq\f(17,35).故选C.5．设A与B是互斥事务，A，B的对立事务分别记为eq\x\to(A)，eq\x\to(B)，则下列说法正确的是()A．A与eq\x\to(B)互斥 B．eq\x\to(A)与eq\x\to(B)互斥C．P(A＋B)＝P(A)＋P(B) D．P(eq\x\to(A)＋B)＝1解析：选C依据互斥事务的定义可知，A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)都有可能同时发生，所以A与eq\x\to(B)互斥，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)互斥是不正确的；P(A＋B)＝P(A)＋P(B)正确；eq\x\to(A)与eq\x\to(B)既不肯定互斥，也不肯定对立，所以P(eq\x\to(A)＋eq\x\to(B))＝1是不正确的．6．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是eq\f(3,7)；③随机事务发生的频率就是这个随机事务发生的概率．解析：①错，不肯定是10件次品；②错，eq\f(3,7)是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：07．种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的百分率．种子发芽率的测定通常是在试验室内进行，随机取600粒种子置于发芽床上，通常以100粒种子为一个重复，依据不同种类的种子限制相应的温度、水分、光照等条件，再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量，最终计算出种子的发芽率．下表是猕猴桃种子的发芽试验结果：种子粒数100100100100100100发芽粒数797881798082发芽率79%78%81%79%80%82%依据表格分析猕猴桃种子的发芽率约为________．解析：由表格中的数据可知，该猕猴桃种子的发芽率约为80%.答案：80%8．已知随机事务A，B发生的概率满意条件P(A∪B)＝eq\f(3,4)，某人揣测事务A∩B发生，则此人揣测正确的概率为________．解析：事务A∩B与事务A∪B是对立事务，则P(A∩B)＝1－P(A∪B)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)9．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区参与测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参与测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率(1)计算两地区参与测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)；(2)依据频率估计两地区参与测试的儿童得60分以上的概率．解：(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55.(2)依据频率估计贫困地区参与测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参与测试的儿童得60分以上的概率为0.56.10．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟变更投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变更．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变更，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率削减0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.故所求概率为eq\f(50,2000)＝0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－eq\f(372,2000)＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，削减其次类电影的好评率.B级·素养提升|练实力|11.掷一个骰子，事务A为“出现的点数为偶数”，事务B为“出现的点数小于6”，记事务eq\x\to(A)，eq\x\to(B)的对立事务为A，B，则P(eq\x\to(A)＋eq\x\to(B))＝()A.eq\f(5,6) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,6)解析：选B因为P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(5,6)，所以P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(5,6)＝eq\f(1,6)，事务eq\x\to(A)为“出现的点数为奇数”，B为“出现的点数为6”，明显eq\x\to(A)与eq\x\to(B)互斥，所以P(eq\x\to(A)＋eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).12．已知随机事务A，B互斥，其发生的概率均不等于0，P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数a解析：由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<3a－4<1，,2－a＋（3a－4）≤1，))解得eq\f(4,3)<a≤eq\f(3,2).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2)))13.如图，从A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知得共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为P＝eq\f(44,100)＝0.44.(2)由题意知选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，因为P(A1)>P(A2)，所以甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，因为P(B1)<P(B2)，所以乙应选择L2.14．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．(2)