2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用检测试题课时作业含解析新人教A版必修第二册

PAGEPAGE1第六章检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)eq\a\vs4\al(一、单项选择题每小题5分，共40分)1．下列命题中，正确的是(C)A．|a|＝|b|⇒a＝b B．|a|>|b|⇒a>bC．a＝b⇒a∥b D．|a|＝0⇒a＝0解析：两个向量模相等，方向不肯定相同，向量不肯定相等，A错；向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，B错；向量相等，方向相同，肯定是共线向量，C正确；若|a|＝0⇒a＝0，故D错．2．已知A(3,2)，B(5,4)，C(6,7)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为(D)A．(4,5)B．(4,5)或(8,9)C．(4,5)或(2，－1)D．(4,5)或(8,9)或(2，－1)解析：设D点的坐标为D(x，y)．若是平行四边形ABCD，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，可得(5－3,4－2)＝(6－x,7－y)，解得x＝4，y＝5.故所求顶点D的坐标为D(4,5)．若是平行四边形ABDC，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，可得(5－3,4－2)＝(x－6，y－7)，解得x＝8，y＝9.故所求顶点D的坐标为D(8,9)．若是平行四边形ACBD，则有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，可得(6－3,7－2)＝(5－x,4－y)，解得x＝2，y＝－1.故所求顶点D的坐标为D(2，－1)．综上可得，以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标是(4,5)或(8,9)或(2，－1)．3．已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(C)A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析：由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，所以cosθ＝eq\f(1,2)，又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,3).4．若a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(B)A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC.eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b解析：设c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)．则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＋λ2＝－1，,λ1－λ2＝2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(1,2)；,λ2＝－\f(3,2)，))所以c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b.5．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满意ab＝4，则该三角形的面积为(D)A．1 B．2C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：因为sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，依据正弦定理得a2＋b2－ab＝c2，由余弦定理得2abcosC＝ab，所以cosC＝eq\f(1,2)，所以sinC＝eq\r(1－\f(1,2)2)＝eq\f(\r(3),2)，所以S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).6．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测得AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为(A)A．50eq\r(2)m B．50mC．25m D.eq\f(25\r(2),2)m解析：由题意知，在△ABC中，AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，所以由正弦定理可得，AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sin∠CBA)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．7．已知O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(a,0)，(0，a)，其中a∈(0，＋∞)，点P在AB上且eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))(0≤t≤1)，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))的最大值为(D)A．a B．2aC．3a D．a2解析：因为A(a,0)，B(0，a)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a,0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，a)．又因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝(a,0)＋t(－a，a)＝(a－ta，ta)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝a(a－ta)＝a2(1－t)．因为0≤t≤1，所以0≤1－t≤1，即eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))的最大值为a2.8．点O是△ABC所在平面上的一点，且满意eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，则点O是△ABC的(B)A．重心B．垂心C．内心D．外心解析：因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OB,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OB,\s\up6(→))⊥eq\o(CA,\s\up6(→))，同理eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以O是△ABC的垂心．eq\a\vs4\al(二、多项选择题每小题5分，共20分)9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(AD)A．(4，－8) B．(8,4)C．(－4，－8) D．(－4,8)解析：b＝－4a时，b可能是(－4,8)；b＝4a时，b可能是(4，－8)．10．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cosB可能为(AD)A．－eq\f(\r(5),3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(5),3)解析：因为eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以eq\f(15,sin30°)＝eq\f(20,sinB)，解得sinB＝eq\f(2,3).因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cosB＝±eq\f(\r(5),3).11．已知△ABC中，若sinAsinBsinC＝k(k＋1)2k，则k的取值可以是(BD)A．(－eq\f(1,2)，0) B．(2，＋∞)C．(－∞，0) D．(eq\f(1,2)，＋∞)解析：由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)，因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>c，,a＋c>b，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2k＋1>2mk，,3mk>mk＋1，))所以k>eq\f(1,2).12．设点M是△ABC所成平面内一点，则下列说法正确的是(ACD)A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)解析：A.eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))⇒eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))⇒eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))，即：eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点，所以A正确；B.eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))⇒eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，则点M在边CB的延长线上，所以B错误；C．设BC中点为D，如图，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝2eq\o(MD,\s\up6(→))，由重心性质可知C正确；D.eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))且x＋y＝eq\f(1,2)⇒2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，2x＋2y＝1，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)，所以D正确．故选ACD.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)eq\a\vs4\al(三、填空题每小题5分，共20分)13．当非零向量a，b满意|a|＝|b|时，a＋b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角．解析：当|a|＝|b|时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则a＋b平分此菱形的内角．14．在△ABC中，AB＝eq\r(3)，BC＝2AC＝2，满意|eq\o(BA,\s\up6(→))－teq\o(BC,\s\up6(→))|≤eq\r(3)|eq\o(AC,\s\up6(→))|的实数t的取值范围是[0，eq\f(3,2)]．解析：设eq\o(BA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为θ，则θ＝30°，在△ABC中，AB＝eq\r(3)，BC＝2AC＝2，即AC＝1.因为AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∠B＝30°.所以由|eq\o(BA,\s\up6(→))－teq\o(BC,\s\up6(→))|≤eq\r(3)|eq\o(AC,\s\up6(→))|，得eq\o(BA,\s\up6(→))2－2t|eq\o(BA,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cosθ＋t2eq\o(BC,\s\up6(→))2≤3eq\o(AC,\s\up6(→))2，所以3－2t×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＋4t2≤3，整理，得2t2－3t≤0，解得0≤t≤eq\f(3,2).所以实数t的取值范围是[0，eq\f(3,2)]．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(7)，b＝2，A＝60°，则sinB＝eq\f(\r(21),7)，c＝3.解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得eq\f(\r(7),sin60°)＝eq\f(2,sinB)，得sinB＝eq\f(\r(21),7)，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(4＋c2－7,4c)＝eq\f(1,2)，解得c＝3(负值舍去)．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，1＋2cos(B＋C)＝0，则边BC上的高为eq\f(\r(3)＋1,2).解析：由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得1－2cosA＝0，所以cosA＝eq\f(1,2)，sinA＝eq\f(\r(3),2).再由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2),2).由b<a知B<A，所以B不是最大角，B<eq\f(π,2)，从而cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(\r(2),2).由上述结果知sinC＝sin(A＋B)＝eq\f(\r(2),2)×(eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2))＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).设边BC上的高为h，则有h＝bsinC＝eq\f(\r(3)＋1,2).eq\a\vs4\al(四、解答题写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，共70分)17．(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))及|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|；(2)设实数t满意(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))⊥eq\o(OC,\s\up6(→))，求t的值．解：(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－5)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，－6)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(4＋36)＝2eq\r(10).(2)∵eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→))＝(－3－2t，－1＋t)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2，－1)，且(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))⊥eq\o(OC,\s\up6(→))，∴(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，解得t＝－1.18．(12分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A动身沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处动身沿北偏东α的方向追逐渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．解：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为eq\f(BC,2)＝14(海里/时)．(2)在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°)，所以sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).19．(12分)已知非零向量a，b满意|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2).(1)求|b|.(2)当a·b＝eq\f(1,2)时，求向量a与b的夹角θ的值．解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，即a2－b2＝eq\f(1,2)，所以|b|2＝|a|2－eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故|b|＝eq\f(\r(2),2).(2)因为cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\r(2),2)，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.20．(12分)如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，且在港口B北偏西30°方向上．一艘科学考察船从港口O动身，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B动身，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去．现两船同时动身，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，至少要经过多少小时才能和考察船相遇？解：设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇．如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行．在△OBC中由题意得∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，所以∠OCB＝90°，因为BO＝120，所以BC＝60，OC＝60eq\r(3).故快艇从港口B到小岛C须要1小时，所以x>1.在△OCD中，由题意易得∠COD＝30°.OD＝20x，CD＝60(x－2)．由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD，所以602(x－2)2＝(20x)2＋(60eq\r(3))2－2×20x×60eq\r(3)×cos30°，解得x＝3或x＝eq\f(3,8)，因为x>1，所以x＝3.所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇．21．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，BC边上的中线AM的长为eq\r(7).(1)求角A和角B的大小．(2)求△ABC的周长．解：(1)由a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，得a2－b2－c2＝－eq\r(3)bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),2).又0<A<π，所以A＝eq\f(π,6).由sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，得eq\f(1,2)sinB＝eq\f(1＋cosC,2)，即sinB＝1＋cosC，则cosC<0，即C为钝角，所以B为锐角，且B＋C＝eq\f(5π,6)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－C))＝1＋cosC，化简得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,3)))＝－1，解得C＝eq\f(2π,3)，所以B＝eq\f(π,6).(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，由余弦定理得AM2＝b2＋(eq\f(a,2))2－2b·eq\f(a,2)·cosC＝b2＋eq\f(b2,4)＋eq\f(b2,2)＝(eq\r(7))2，解得b＝2，所以a＝2.在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋22－2×2×2×coseq\f(2π,3)＝12，所以c＝2eq\r(3)，所以△ABC的周长为4＋2eq\r(3).