九年级数学上册第一章特殊平行四边形检测题新版北师大版1

Page1第一章检测题时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．矩形具有而菱形不具有的性质是BA．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线相互平分D．两组对角分别相等2．如图，已知正方形ABCD的边长为2，假如将线段BD围着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的点D′处，那么AD′为DA.eq\r(10)B．2eq\r(2)C.eq\r(7)D．2eq\r(3)eq\o(\s\up7(,第2题图),第4题图),第6题图)3．(2024·湘西州)下列说法中，正确的个数有B①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线相互垂直的四边形为菱形；④对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个4．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，推动这个四边形，使它形态变更，当∠B＝90°时，如图①，测得AC＝2；当∠B＝60°时，如图②，则AC的长为AA.eq\r(2)B．2C.eq\r(6)D．2eq\r(2)5．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为BA．6cm和9cmB．5cm和10cmC．4cm和11cmD．7cm和8cm6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是DA．AF＝AEB．△ABE≌△AGFC．EF＝2eq\r(5)D．AF＝EF7．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是AA．2eq\r(2)B．3C.eq\r(2)D．1＋eq\r(2),第7题图),第8题图),第9题图),第10题图)8．如图，在矩形ABCD中，M是BC边上一点，连接AM，DM.过点D作DE⊥AM，垂足为E.若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为DA．1B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2\r(5),5)9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是AA．20°B．25°C．30°D．40°10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连AC交EF于G，下列结论：①∠BAE＝∠DAF＝15°；②AG＝eq\r(3)GC；③BE＋DF＝EF；④S△CEF＝2S△ABE，其中正确的个数为CA．1B．2C．3D．4二、填空题(每小题3分，共24分)11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形．12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°.,第12题图),第13题图),第14题图)13．如图，△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC＝eq\f(1,2)AB，请对△ABC添加一个条件：AB＝2BC，使得四边形BCDE成为菱形．14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为5.15．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝2eq\r(2)，BC＝2eq\r(3)，则图中阴影部分的面积为2eq\r(6).,第15题图),第16题图),第17题图),第18题图)16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝eq\r(17).17．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是2eq\r(2).18．(2024·本溪)如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B(8，7)，D(5，0)，点P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为(8，4)或(eq\f(5,2)，7)．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且BO＝2AE，∠AOD＝120°，求证：BE⊥AC.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OB＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)BD，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝BO，∵BO＝2AE，∴OA＝2AE，∴AE＝OE，∴BE⊥AC20．(8分)如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.∵D为BC的中点，∴BD＝CD.∴△BED≌△CFD(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.又∵∠A＝90°，∴四边形DFAE为矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF.∴矩形DFAE为正方形21．(8分)(2024·盐城)在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满意BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)试推断四边形AECF的形态，并说明理由．证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠ABE＝∠ADF，,BE＝DF，))∴△ABE≌△ADF(SAS)(2)四边形AECF是菱形．理由：连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴▱AECF是菱形22．(9分)(2024·陇南)已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．(1)求证：△BGF≌△FHC；(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．解：(1)如图，连接EF，∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，BF＝CF，∴FH∥BE，FH＝eq\f(1,2)BE＝BG，∴∠CFH＝∠CBG，∴△BGF≌△FHC(2)当四边形EGFH是正方形时，连接GH，可得：EF⊥GH且EF＝GH，在△BEC中，∵点G，H分别是BE，CE的中点，∴GH＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)a，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB＝EF＝GH＝eq\f(1,2)a，∴S矩形ABCD＝AB·AD＝eq\f(1,2)a·a＝eq\f(1,2)a223．(9分)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD边的中点．M是AB边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)恳求出AM为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.∵点E是AD中点，∴DE＝AE，∴△NDE≌△MAE(AAS)，∴ND＝MA，∴四边形AMDN是平行四边形(2)当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝2，∵AM＝eq\f(1,2)AD＝1，∴AM＝AE，又∠DAB＝60°，∴△MAE为等边三角形，∴∠AEM＝60°，EM＝EA＝ED＝1，∴∠ADM＝eq\f(1,2)∠AEM＝30°，又∵∠DAM＝60°，∴∠AMD＝90°，∴▱AMDN是矩形24．(12分)如图①，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.(1)求证：PC＝PE；(2)求∠CPE的度数；(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，摸索究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABP＝∠CBP，,PB＝PB，))∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°(3)AP＝CE.理由如下：∵四边形ABCD是菱形，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABP＝∠CBP，,PB＝PB，))∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP.∵∠CFP＝∠EFD，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°，又PA＝PC，PA＝PE，∴PC＝PE，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE25．(12分)已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边做正方形ADEF，连接CF.(1)如图①，当点D在线段BC上时，求证：CF＋CD＝BC；(2)如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请干脆写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；(3)如图③，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时，其他条件不变：①请干脆写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2eq\r(2)，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度．解：(1)∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°－∠DAC，∠CAF＝90°－∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴BD＝CF，∵BD＋CD＝BC，∴CF＋CD＝BC(2)CF－CD＝BC(3)①CD－CF＝BC②∵∠BAC＝90°，∠ABC＝