2020年湖北省荆门市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

湖北省荆门市2020年中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

斗的平方是（）

A.-72B.亚C.-2D.2

2.据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持，据统

计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元，82.6亿用科学记数法可表示

为（）

A0.826xlO10B.8.26X109C.8.26xlO8D.82.6xlO8

3.如图，菱形ABC。中，E,尸分别是A。，6D的中点，若EF=5,则菱形ABCD的周长为（）

A.20B.30

4.下列等式中成立的是（）

1_11

(x+l)(x+2)x+1x+2

5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

6.ABC中，AB=AC,ABAC=120°,BC=273,。为8C的中点，AE=：AB,则△石的面积为（）

A

E

B-------i-------c

A36R3百「返nV3

4848

7.如图，。中，C）C±AB,ZAPC=28°,则/BOC的度数为（）

8.为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组10名学生单元测试成绩如下：78,86,60,108,112,116,90,

120,54,116这组数据的平均数和中位数分别为()

A.95,99B.94,99C.94,90D.95,108

9.在平面直角坐标系xOy中，W493的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为(1,百)，将AO6沿直线丁=一％

翻折，得到描△A'OB’,过A'作4c垂直于。4'交y轴于点C则点C的坐标为()

A.（0,-2⑹B,（0,-3）C.（0,-4）D.（0,-4A/3）

10.若抛物线y=以？+bx+c(a>0)经过第四象限的点(1,—1)),则关于x的方程口好+法+。=0的根的情况是

A.有两个大于1的不相等实数根B.有两个小于1的不相等实数根

C.有一个大于1另一个小于1的实数根D.没有实数根

2%+3k.

口.已知关于X的分式方程。=(x-2)(x+3)+2的解满―L且人为整数，则符合条件的所有/值

的乘积为()

A.正数B.负数C.零D.无法确定

12.在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点。在点C右侧）在x轴上移动4（0,2）,5（0,4）,连接AC、BD.

则AC+BD的最小值为（）

C.6&D.3A/5

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）

13.计算：A/12-3tan30°+（n-2020）°-（1）-1=.

14.已知关于尤的一元二次方程X2—4mx+3m2->0）的一个根比另—根大2,则根的值为

15.如图所示的扇形A08中，OAOB2,ZAOB=90°,C为人3上一点，ZAOC=30°,连接BC,过C作。4

的垂线交AO于点D,则图中阴影部分的面积为.

16.如图，矩形Q43c的顶点A、C分别在无轴、y轴上，5（-2,1）,将「Q43绕点。顺时针旋转，点8落在y轴上

k

的点。处，得到OED,OE交BC于点G,若反比例函数y=—（x<0）的图象经过点G,则％的值为.

x

17.如图，抛物线丁=以2+汝+°（。/0）与无轴交于点4B,顶点为C,对称轴为直线％=1,给出下列结论：

①而c<0；②若点C的坐标为（1,2）,则ABC的面积可以等于2；③N（%2，%）是抛物线上两点

（玉<々），若为+々〉2,则以<%；④若抛物线经过点（3，-1）,则方程依2+公+c+i=。的两根为一1,3其中

正确结论的序号为

三、解答题(本大题共7小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

18.先化简，再求值：

(2x+y)2+(%+2y)2-x(x+y)-2(x+2y)(2x+y),其中x=&+l,y=\/2-l-

19.如图，ABC中，AB=AC,E>3的平分线交AC于。AE/ABC交3。的延长线于点E,AF工AB交BE

于点F.

(1)若NBAC=40。，求ZAFE度数；

(2)若AD=DC=2,求AF的长.

20.如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，〃号，L号,XL号,XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计

根据图中信息解答下列问题：

(1)求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；

(2)补全条形统计图；

(3)按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动

3

服装，将它们放在一起，现从这（尤+y+2）件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为w，求尤，

y的值.

21.如图，海岛8在海岛A的北偏东30。方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛8出发，以5海里/时的速

度沿北偏东75。方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行.2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰

好到达快艇正北方向的E处.

（2）求快艇的速度及C,E之间的距离.

（参考数据：sinl5°«0.26,cosl5°»0.97,tan15°«0.27,^®1.73）

22.如图，AC为。的直径，AP为，。的切线，M是AP上一点，过点M的直线与0交于点丛。两点，与AC

交于点E,连接AB'AD.ABMBE.

（1）求证：AB=BM；

24

（2）若AB=3,AD=y,求；O半径.

23.2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某

单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数

-x+4(0<x„20)

5

关系式为。=<销售量y（千克）与x之间的关系如图所示.

--x+12(20<苍，30)

[5

（1）求y与X之间的函数关系式，并写出X的取值范围；

（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？

（销售额=销售量X销售价格）

1°-9%-3与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点8.

24.如图，抛物线L:y=—X

24

（1）求直线A6的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1,点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点轴，垂足为C,PC交A3于点

D,求PD+应）的最大值，并求出此时点尸的坐标；

1,5

（3）如图2,将抛物线L:y=—/一一x-3向右平移得到抛物线〃，直线A5与抛物线//交于M,N两点,若

24

点A是线段MN的中点，求抛物线L'的解析式.

湖北省荆门市2020年中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

斗的平方是（）

A.-72B.亚C.-2D.2

【答案】D

【分析】

先计算,后卜然后再计算平方.

【详解】•+闽=应

（0）2=2

故选：D.

【点睛】本题考查了绝对值和平方的计算，按照顺序进行计算即可.

2.据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持，据统

计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元，82.6亿用科学记数法可表示

为（）

A.0.826xlO10B.8.26xlO9C.8.26xlO8D.82.6xlO8

【答案】B

【分析】

科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点

移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n

是负数.

【详解】82.6亿=8.26x109.

故选：B.

【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其中lW|a|<10,n为整

数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.如图，菱形A3CD中，E,尸分别是AD,6D的中点，若EF=5,则菱形A5CD的周长为（）

A.20B.30C.40D.50

【答案】C

【分析】

由题意可知EF为AABD的中位线，可求出AB的长，由于菱形四条边相等即可得到周长.

【详解】解：尸分别是AD,BD的中点，

；.EF为4ABD的中位线，

AAB=2£F=2x5=10,

..•四边形ABCD是菱形，

：.AD=CD=BC=AB=10,

.••菱形43。。的周长为10*4=40

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的中位线，菱形的性质，发现EF为AABD的中位线是解题的关键.

4.下列等式中成立的是()

A.(-3x2y)3=-9x6/

(x+l)(x+2)x+1x+2

【答案】D

【分析】

根据鬲的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则计算即可.

【详解】解：A、(-3x2y)3=-27x6/,

故选项A错误；

B(x+lY(x-lY_x2+2x+l%2-2%+1

x+2x+1—%2+2x—1

4

=x,

故选项B错误；

V6

后

=V2x-=V_6=

V3+V2

273-(73-72)

"(V3+V2)(^-V2)

=6-2^6,

故选项C错误；

11x+2x+1

D、------------二------------------------------

x+lx+2(x+l)(x+2)(x+1)(x4-2)

x+2—x—1

(x+l)(x+2)

1

一(x+l)(x+2)'

故选项D正确，

故选：D.

【点睛】本题考查了的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则，熟练掌握相关运算法

则是解决本题的关键.

5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()

【答案】A

【分析】

由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，根据体积=底面积X高，把相关数值代入即可求解.

【详解】解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角边长为1,

高为2,

则，等腰直角三角形的底面积==xlxl==，

22

体积=底面积x高=2？21,

2

故选：A

【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及求三棱柱的体积，读懂题意，得出该几何体的形状是解决本题

的关键.

6.ABC中，AB=AC,ABAC=120°,BC=2A/3,。为8C的中点，AE=^AB,则△上加的面积为（）

A.£1B.巫C.BD.如

4848

【答案】B

【分析】

13

连接AD,用等腰三角形的“三线合一”，得到加。的度数，及RtAAB。，由AE=—A3得BE=—AB,得

44

3

SABDE=-SAABD,计算AABD的面积即可•

【详解】连接AD,如图所示：

A

'：AB=AC,ABAC=120°,BC=273,且D为BC中点

AAD±BC,且ZBA£>=NCAD=!ZBAC=60°,BD=DC=6

2

RtZkABD中，AB=2,AD=1

•：AE^-AB

4

3

：.BE=-AB

4

=XX1X

SABDE=~SABD|-2^空

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及解直角三角形和三角形面积的计算，熟知以上知识是解题的关键.

7.如图，。中，OC±AB,ZAPC=28°,则/BOC的度数为（）

A.14°B.28°C.42°D.56°

【答案】D

【分析】

由垂径定理都出AC=3C，然后根据圆周角定理即可得出答案.

【详解】■OC1AB,

AC=BC、

1

.•.ZAPC=—ZBOC,

2

,.,ZAPC=28°,

.•.ZBOC=56°,

故选：D.

【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，得出AC=BC是解题关键.

8.为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组10名学生的单元测试成绩如下：78,86,60,108,112,116,90,

120,54,116这组数据的平均数和中位数分别为（）

A.95,99B.94,99C.94,90D.95,108

【答案】B

【分析】

按照平均数和中位数的计算方法进行计算即可.

［详解］平均数为：78+86+60+108+112+116+90+120+54+116.94

10

将数据按照从小到大进行排列为：54,60,78,86,90,108,112,116,116,120

中位数为：22^-99

2

故选：B.

【点睛】本题考查了平均数，中位数的计算，熟知以上计算方法是解题的关键.

9.在平面直角坐标系xOy中，RtAO3的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1,百），将AO3沿直线丁=一％

翻折，得到描△A'OB’,过A'作4C垂直于。4'交y轴于点C,则点C的坐标为（）

C.（0,-4）D.（0,-473）

【答案】C

【分析】

先求出OA,然后证明△A'OB's^oc4'即可得出答案.

【详解】由题意可得AB=1,OB=V3,

VAABC为直角三角形，

/.OA=2,

由翻折性质可得45'=1,OB'=C,OA'=2,AA'B'O=9G°,

•：ZA'CO+ZA'OC=90°,ZA'OB'+ZA'OC=90°,

：.ZA'CO=ZA'OB',

VA'C±OA',NABO=90。，

：.^A'OB'^^OCA',

OA'A'B'21

----------,即nn....——

OCOA1OC2

・・・OC=4,

・••点C的坐标为（0,-4）,

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理，证明△4。8'62\0。4，是解题关键.

10.若抛物线y=奴2+bx+c（a>0）经过第四象限的点（L—1））,则关于X的方程以2+陵+。=0的根的情况是

A.有两个大于1的不相等实数根B.有两个小于1的不相等实数根

C.有一个大于1另一个小于1的实数根D.没有实数根

【答案】C

【分析】

根据抛物线的图像进行判断即可.

【详解】：a>0,

抛物线开口向上，

:抛物线经过第四象限的点(1,-1)

方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，一个大于1另一个小于1,

故选：C.

【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，判断出抛物线的图像是解题关键.

2%+3k

11.已知关于X的分式方程一^7=;~~穴+2的解满足T<x<-1,且左为整数，则符合条件的所有A值

x-2(x-2)(x+3)

的乘积为()

A.正数B.负数C.零D.无法确定

【答案】A

【分析】

6—k

先解出关于X的分式方程得到*=——，代入T<x<—1求出k的取值，即可得到k的值，故可求解.

3

2X+3

【详解】关于x的分式方程---------------+2

(x-2)(x+3)

得*=上空

7

—4<x<—1

<-1

解得-7<k<14

.,.整数左为6-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,

又..,分式方程中xr2且洋3

，以35且厚0

..•所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，；.k值的乘积为正数,

故选A.

【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法.

12.在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点。在点C右侧)在x轴上移动4(0,2),5(0,4),连接AC、BD,

则AC+BD的最小值为()

C.60D.3A/5

【答案】B

【分析】

作A(0,2)关于x轴的对称点A，(0,-2),再过A'作A，E〃x轴且A，E=CD=2,连接BE交x轴与D点，过A，

作A，C〃DE交x轴于点C,得到四边形CDEA，为平行四边形，故可知AC+BD最短等于BE的长，再利用勾股定理

即可求解.

【详解】作A(0,2)关于x轴的对称点A，(0,-2)

过A，作A旧〃x轴且A，E=CD=2,故E(2,-2)

连接BE交x轴与D点

过A，作AC〃DE交x轴于点C,

四边形CDEA，为平行四边形，

此时AC+BD最短等于BE的长，

即AC+BD=A,C+BD=DE+BD=BE=J(2-0)2+(-2-4)2=2A/10

故选B.

【点睛】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质.

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.)

13.计算：712-3tan30°+(7T-2020)°-(j)1=.

【答案】V3-1

【分析】

原式第一项运用算术平方根的性质进行化简，第二项代入特殊角三角函数值，第三项运用零指数骞运算法则计算，

第四项运用负整数指数鬲的运算法则进行计算，最后根据实数的运算法则得出结果即可.

【详解】712-3tan30°+(兀—2020)°—弓尸

=28—3x走+1—2

3

=73-1

故答案为：V3-1

【点睛】此题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解答此题的关键.

14.已知关于尤的•一元二次方程必-4-mx+3/n2=0(m>0)的一个根比另一个根大2,则根的值为.

【答案】1

分析】

利用因式分解法求出XI,X2,再根据根的关系即可求解.

【详解】I?x2-4-mx+3m2=0(m>0)

(x-3m)(x-m)=0

x-3m=0或x-m=0

解得xi=3m,X2=m,

3m-m=2

解得m=l

故答案为：1.

【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用.

15.如图所示的扇形498中，QA=O5=2,N495=90。，C为AB上一点，ZAOC=30°,连接BC,过C作。4

的垂线交AO于点D则图中阴影部分的面积为

/?]

LJ

()I).1

【答案】-TV--

32

【分析】

先根据题目条件计算出OD,CD的长度，判断5OC为等边三角形，之后表示出阴影面积的计算公式进行计算即

可.

【详解】在Rt.COD中，ZAOC=30°,OC=OA=2

CD=I,OD=6

•/ZAOB=90°

•••ZBOC=60°

VOB=OC

.BOC为等边三角形

,•S阴影-S4co。+S扇形BOC-S^BOC

+"g-旦22

23604

-3r

故答案为:生一B

32

【点睛】本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键.

16.如图，矩形Q钻C的顶点A、C分别在x轴、y轴上，5(-2,1),将Q钻绕点。顺时针旋转，点B落在y轴上

的点。处，得到OED,OE交BC于点G,若反比例函数y=&(x<0)的图象经过点G,则k的值为.

【分析】

根据题意证明aAOB之ZkEOD,△COGs^EOD,根据相似三角形的性质求出CG的长度，即可求解.

【详解】解：由B（-2,1）可得，AB=OC=1,OA=2,OB==彳万=逐

由旋转可得：AAOB^AEOD,ZE=ZOAB=90°,

AOE=OA=2,DE=AB=1,

VZCOG=ZEOD,ZGCO=ZE=90°,

AACOG^AEOD,

.ocCG日口1CG

OEDE21

解得：CG=--,

2

・,•点G（,1）,

2

代入y=K（x<0）可得：k=—L

x2

故答案为：.

2

【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质和反比例函数，解题的关键是利用相似三角形的性质求出

OG的长度.

17.如图，抛物线丁=⑪2+法+式。/0）与天轴交于点4、8,顶点为C,对称轴为直线x=l,给出下列结论：

①而c<0；②若点C的坐标为。,2）,则ABC的面积可以等于2；③/（X],%）,N（9,%）是抛物线上两点

（菁<尤2），若西+々〉2,则%<%；④若抛物线经过点（3，T）,贝U方程《%2+陵+°+1=0的两根为一1,3其中

正确结论的序号为

【答案】①④

【分析】

①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可.

②根据图形可知AB的值大于4,利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2.

③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大.

④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解.

【详解】解：①，开口向下，=a<0,对称轴x=l,a<0,；.b>0,抛物线与y轴的交点在y的正半轴上，,c>0,

abc<0,正确.

②从图像可知，AB>4,SMBC=|xABxC?>|x4x2,:.S^BC>2,故错误.

③•.%+%>2,；.从图像可知看到1的距离小于％到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大；

故错误.

④把点⑶-1)代入抛物线得9a+3%+c=—1,即ox?+Z?x+c=—1,ax2+bx+c+\=Q,即x=3,是方程

依2+Zw+c+l=0的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-L故正确.

【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系,

解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解.

三、解答题(本大题共7小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

18.先化简，再求值：

(2x+y)2+(%+2y)2-x(x+y)-2(%+2y)(2x+y),其中％=及+1,y=^2-1.

【答案】y2-3xy；—2应.

【分析】

利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可.

【详解】解：

原式=[(2x+y)-(x+2y)f-x2-xy

=(x-y)2-x2-xy

-x2-2xy+y2-x2-xy

-y2-3xy

当x=V2+1,y=直一1时，

原式=(A/2-I)2-3(应+1)(点-1)

=3-272-3

=-2A/2°

【点睛】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相关的性质和运算法则是解

题的关键.

19.如图，ABC中，AB=AC,E>3的平分线交AC于DAE/ABC交5。的延长线于点E,AFLAB交BE

于点尸.

(1)若4AC=40。，求的度数；

(2)若AD=DC=2,求AF的长.

4L

【答案】⑴ZAFE=125°；(2)AF=-V3

3

【分析】

(1)先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出ZABC,NABD,再根据垂直与外角的性质即可求出ZAFE；

⑵根据题意证明ADE^CDB,再得到ABC为等边三角形，故可得到=30。，可根据三角函数的

性质即可求出AF.

【详解】(1)'：AB=AC,Z£L4C=40°,

,.180—40„o

..ZABC=----------=70-

2

1/3D平分NABC,

ZABD=ZDBC=L70°=35°,

2

：AFLAB,

：.ZBAF=90°,

：.ZAFE=ZBAF+ZABD^90°+35°^125°-

(2)•：AE//BC,

：.NE=NDBC,

又ZADE=NCDB,AD^CD

:.一ADEm£DB,

AE=CB,

；NE=ZDBC,ZABD=ZDBC

ZE=ZABD,

AB=AE,

AB=CB=AC,

.••“ABC为等边三角形，

：.ZABC=60°,

：.ZABD=3Q°,

VAD=DC=2,

：.AB=4,

在mABE中，AR=A6tan30°=4x

【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三角函数的应用.

20.如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号,XL号,XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计

图.

根据图中信息解答下列问题：

(1)求XL号,短号运动服装销量的百分比；

（2）补全条形统计图；

（3）按照加号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出尤件、y件，若再取2件XL号运动

3

服装，将它们放在一起，现从这（尤+y+2）件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为w，求尤，

y的值.

x=12

【答案】⑴XL号,XXL号运动服装销量的百分比分别为15%,10%；⑵补全条形图如图所示,见解析；（3）《，.

y=6

【分析】

（1）先求出抽取的总数，然后分别求出对应的百分比即可；

（2）分别求出S、L、XL的数量，然后补全条形图即可；

（3）由销量比，贝1Jx=2y,结合概率的意义列出方程组，解方程组即可得到答案.

【详解】解：⑴抽取的总数为：60+30%=200（件），

20

:.XXL的百分比：—^xl00%=10%,

XL的百分比：1—25%—30%—20%—10%=15%；

.♦.XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%,10%.

（2）根据题意，

S号的数量：25%x200=50（件），

L号的数量：20%x200=40（件），

XL号数量：15%x200=30（件），

补全条形图如图所示.

30---------------------------图

SMLXLXXL型号

（3）由题意，按照M号，XL号运动服装的销量比，则x=2y,

根据概率的意义，有

x+y+25

x=2y

；.<x_3,

x+y+25

陞=12

解得：\.

y=6

【点睛】本题考查了概率的意义，频数分布直方图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信

息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

21.如图，海岛2在海岛A的北偏东30。方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛8出发，以5海里/时的速

度沿北偏东75。方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行.2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰

好到达快艇正北方向的E处.

(2)求快艇的速度及C,E之间的距离.

(参考数据：sinl5"«0.26,cos15°»0.97,tan15°»0.27,^®1.73)

【答案】⑴ZABE=135。；⑵快艇的速度为9.85海里时，C,E之间的距离为19.9海里.

【分析】

(1)过点B作JB。，AC于点。，作JB尸，CE于点E,根据题意求出NABD和/ADE度数，即可求解；

(2)求出BE的长度，根据解直角三角形求出BF和EF的长度，在RtAAB。中，求出AD、BD的长度，证出四

边形BDCF为矩形，可求得快艇的速度和CE之间的距离.

【详解】(1)过点2作5。，4。于点。，作8/，0£于点后.

由题意得：ZNAB=30°,Z.GBE=75°,

AN//BD,

/.ZABD^ZNAB=30°,

而ZDBE=180°-Z.GBE=180°-75°=105°

ZABE=ZABD+ZDBE=30°+105°=135°.

⑵BE=5x2=10(海里)

在&ABEF中,Z£BF=90°-75°=15°,

EF=BExsinl5°»10x0.26=2.6（海里）,

BF=BExcos15°«10x0.97=9.7（海里）,

在RtZkAB。中，AB=20,ZABD=30°,

AD=ABxsin30°=20x-=10（海里），

2

BD=ABxcos30=20x1.73=17.3（海里）,

•：BD±AC,BF±EC,CELAC,；,NBDC=/DCF=NBFC=90。,

，四边形BDCb为矩形，

DC=BF=9.7,FC=BD=17.3,

/.AC=AD+DC=10+9.7=19.7

CE=EF+CF=2.6+17.3=19.9,

设快艇的速度为n海里/时，则v=3=9.85(海里时)

2

答：快艇速度为9.85海里时，C,E之间的距离为19.9海里.

【点睛】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用-方位角问题，理清题中各个角的度数，熟练掌握

解直角三角形的方法是解题的关键.

22.如图，AC为。的直径，AP为的切线，加是AP上一点，过点M的直线与。交于点尻。两点，与AC

交于点E连接=.

(1)求证：AB=BM；

24

(2)若AB=3,AD=y,求。的半径.

【答案】⑴见解析；(2)一。的半径为2.5.

分析】

(1)根据切线的性质得到AP±AC,可得Zl+Z2=90°,再根据等腰三角形的性质与角度等量替换得到Z1=Z4,

故可证明;

（2）解法1,先连接BC,证明=AD=M，得至I]EM=6,根据勾股定理求出AE,再根据_MAEs,CBA列出

24

比例式求出直径，故可求出；解法2,连接CD,同理得到AM=AD=彳，根据勾股定理求出AE,设EC=x,

根据等腰三角形的性质得到CD=CE=x,再利用Rt^ACD列出方程故可求出x,再得到直径即可求解.

【详解】（1）证明：为。的切线，AC为一。的直径，

.\AP±AC,

，Z3+Z4=90°,

Zl+Z2=90°,

又：AB=BE,

：•N2=N3、

•••Z1=Z4

:•AB=BM

（2）方法1:解：如图，连接BC,

：4。为直径，；.445。=90°,

AZC+Z3=90°,而N3+N4=90°,

ZC=Z4,

又：N1=N4,NC=ND,

Z1=ZD=ZC,

24

AM=AD=—,

VAB=3,AB=BM=BE,,：EM=6,

•••AE=y/EM2-AM2=^62-=y

,e•Z1=ZC,ZEAM=ZABC=90°,

•••.MAE—CBA,

.ME_AE

18

__5_，

G4-T

.CA=^=5

・・1o

y

；.：。的半径为2.5.

方法2:解：如图，连接CD,

,:AB=BE,二N2=/3,

又Z2=/DEC,Z3=ZEDC,

:./DEC=/EDC,

DC=EC,

•.•4。为直径，，/4£＞。=90°,

/.ZADE+ZEDC=90°,

而N3+N4=90°,ZEDC=Z3,

二ZADE=Z4,

又：N1=N4,

，Z1=ZADE,

24

AM=AD=,

•;AB=3,AB=BM=BE,

在必一ADC中，

227

AD+DC=AC\+x2=(9+x)解得x=y

--AC=y+r5,

0的半径为2.5.

【点睛】此题主要考查切线的综合运用，解题的关键是熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质及等

腰三角形的性质.

23.2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某

单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于尤的函数

2,

-x+4（0<x,,20）

5

关系式为。=<销售量y（千克）与x之间的关系如图所示.

--x+12（20<不，30）

[5

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？

（销售额=销售量X销售价格）

-2%+80（0<x„20）

【答案】（1）y=”"c”二、；（2）当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元.

4%-40（20<%,30）

【分析】

（1）分为0<xW20和20<x<30,用待定系数法确定解析式即可；

（2）分别计算出0<xW20和20<x430时的最大值，进行比较，最大的作为最大值即可.

【详解】（1）当0<xW20时，设丁=匕苫+々，由图象得：

[b]=80=-2

20左+4=40出=80

y=-2x+80（0<%,20）

当20Vx<30时，设丁二心工+打，由图象得：

20k2+b?=40fk?=4

30左2+仇=80也=-40

y=4x-40（20<及，30）

f-2x+80(0<茗，20)

综上，y=<.

-[4%-40(20〈茗,30)

(2)设当月该农产品的销售额为卬元，则坟=即.

当0<xW20时，

w=(~2x+80)]|x+4]=—g/+24%+320=—1(x—15)2+500

4

由二次函数的性质可知：

.•.当x=15时，w最大=500

当20<x430时，

22

W=(4X-40)^-1X+12^=-|X+56X-480=-|(X-35)+500

4

V--<0,20<A;,30,由二次函数的性质可知：

4

当x=30时，w最大=—g(30—35)2+500=480

V500>480

.,.当x=15时，w取得最大值，该最大值为500.

答：当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元.

【点睛】本题考查了一次函数，二次函数在实际问题中的应用，能根据实际问题提供的关系式快速列式并进行准确

的计算是解题的关键.

1,5

24.如图，抛物线L：y=,X~-]X-3与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点8.

(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；

(2)如图1,点尸为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点尸作PCJ_光轴，垂足为C,PC交于点

D,求PD+应)的最大值，并求出此时点尸的坐标；

15

(3)如图2,将抛物线L:y=—必9一一九-3向右平移得到抛物线〃，直线A3与抛物线〃交于N两点，若

24

点A是线段MN的中点，求抛物线〃的解析式.

3(51211