2025届湖南省长沙市雅礼雨花中学八年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2025届湖南省长沙市雅礼雨花中学八年级数学第一学期期末学业水平测试试题业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．在平面直角坐标系中，点坐标为，动点的坐标为，则的最小值是（）A． B． C． D．2．等腰三角形的一边长是5，另一边长是10，则周长为（）A．15 B．20 C．20或25 D．253．下列代数式中，属于分式的是（）A．5x B． C． D．4．如图所示，OP平分，，，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（）．A． B．PO平分C． D．AB垂直平分OP5．使分式有意义的条件是（）A．x≠0 B．x=－3 C．x≠－3 D．x＞－3且x≠06．在同一坐标系中，函数与的大致图象是（）A． B． C． D．7．如图，点坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为（）A． B． C． D．8．直线过点，，则的值是（）A． B． C． D．9．下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是（）A．平行四边形和矩形 B．矩形和菱形C．正三角形和正方形 D．平行四边形和正方形10．下列各数中，无理数是（）A． B． C． D．11．关于x的不等式有解，则a的取值范围是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a≥3 D．a＞312．如图所示，△ABC≌△BAD，点A与点B，点C与点D是对应顶点，如果∠DAB＝50°，∠DBA＝40°，那么∠DAC的度数为（）A．50° B．40° C．10° D．5°二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______.14．两个最简二根式与相加得，则______．15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值是__________．16．如图，直线的解析式为，直线的解析式为，为上的一点，且点的坐标为作直线轴，交直线于点，再作于点，交直线于点，作轴，交直线于点，再作于点，作轴，交直线于点....按此作法继续作下去，则的坐标为_____，的坐标为______17．代数式（x﹣2）0÷有意义，则x的取值范围是_____．18．如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为__________．三、解答题（共78分）19．（8分）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．（1）若∠BAC=50°，求∠AEB的度数；（2）求证：∠AEB=∠ACF；（3）试判断线段EF、BF与AC三者之间的等量关系，并证明你的结论．20．（8分）如图，是等边三角形，延长到点，延长到点，使，连接，延长交于．（1）求证:；（2）求的度数．21．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．求证：BE=CD．22．（10分）计算下列各题：（1）（2）23．（10分）京沈高速铁路赤峰至喀左段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程?（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?24．（10分）如图，（1）写出顶点C的坐标；（2）作关于y轴对称的；（3）若点与点A关于x轴对称，求a-b的值25．（12分）如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．（i）若直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；（ⅱ）连接AD，若△ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．26．(1)如图①，已知线段，以为一边作等边(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)如图②，已知，，，分别以为边作等边和等边，连接，求的最大值；(3)如图③，已知，，，，为内部一点，连接，求出的最小值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】根据题意知，则AB+OB的最小值可以看作点（m，m）与（2，0）、（0，1）两点距离和的最小值，求出（2，0）、（0，1）两点距离即可.【详解】解：由题知点坐标为，动点的坐标为，∴，∴AB+OB的最小值可以看作点（m，m）与（2，0）、（0，1）两点距离和的最小值，则最小值为（2，0）、（0，1）两点距离，∴的最小值是，故选A.【点睛】本题是对坐标系中最短距离的考查，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键.2、D【分析】由于没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：分两种情况：

当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形；

当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=1．

故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．3、C【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，从而得出答案．【详解】根据分式的定义

A．是整式，答案错误；

B．是整式，答案错误；

C．是分式，答案正确；

D．是根式，答案错误；

故选C．【点睛】本题考查了分式的定义，在解题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．4、D【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB，再利用“HL”证明△AOP和△BOP全等，可得出，OA=OB，即可得出答案．【详解】解：∵OP平分，，∴，选项A正确；在△AOP和△BOP中，，∴∴，OA=OB，选项B，C正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，选项D错误．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．5、C【解析】分式有意义，分母不等于零，由此解答即可．【详解】根据题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1．故选C．【点睛】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．6、B【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【详解】A、函数中的＜0，而函数中＜0，则＞0，两个的取值不一致，故此选项错误；

B、函数的＜0，而函数中＞0，则＜0，两个的取值一致，故此选项正确；

C、函数的＞0，而函数中＞0，则＜0，两个的取值不一致，故此选项错误；

D、图象中无正比例函数图象，故此选项错误；

故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数图象，关键是掌握正比例函数的性质和一次函数的性质．7、A【分析】当AB与直线y=-x垂直时，AB最短，则△OAB是等腰直角三角形，作B如图，点坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为BC⊥x轴即可求得OD，BD的长，从而求得B的坐标．【详解】解析：过点作垂直于直线的垂线，点在直线上运动，，为等腰直角三角形，过作垂直轴垂足为，则点为的中点，则，作图可知在轴下方，轴的右方．横坐标为正，纵坐标为负．所以当线段最短时，点的坐标为．故选A．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，等腰三角形的性质的综合应用，正确根据垂线段最短确定：当AB与直线y=-x垂直时，AB最短是关键．8、B【分析】分别将点，代入即可计算解答．【详解】解：分别将点，代入，得：，解得，故答案为：B．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，将点的坐标代入解析式解方程是解题的关键．9、B【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；B、矩形、菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．10、C【分析】A、B、C、D分别根据无理数、有理数的定义来求解即可判定．【详解】A、B、D中0.101001，0，是有理数，C中开方开不尽是无理数．故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．11、C【分析】解不等式6－2x≤0，再根据不等式组有解求出a的取值范围即可．【详解】解不等式6－2x≤0，得：x≥1，∵不等式组有解，∴a≥1．故选：C．【点睛】本题主要考查根据不等式组的解判断未知参数的范围，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．12、C【解析】根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAB＝40°，根据角与角间的和差关系计算即可．【详解】∵△ABC≌△BAD，点A与点B，点C与点D是对应顶点，∠DBA＝40°，∴∠DBA＝∠CAB＝40°，∴∠DAC＝∠DAB﹣∠CAB＝50°﹣40°＝10°．故选C．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、90º【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得∠1与∠2的和为90°.【详解】解：如图，根据方格纸的性质，在△ABD和△CBE中，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠1=∠BAD，∵∠BAD+∠2=90°，∴=90°.故答案为：90°.【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．14、1【分析】两个最简二次根式可以相加，说明它们是同类二次根式，根据合并的结果即可得出答案．【详解】由题意得，与是同类二次根式，∵与相加得，∴，，

则．

故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，判断出与是同类二次根式是解答本题的关键．15、3．【分析】如图，作DH⊥x于H，利用全等三角形的判定与性质证明点D在直线y=x-3上运动，O关于直线y=x-3的对称点E′，连接AE′，求出AE′的长即可解决问题．【详解】如图，作DH⊥x轴于H．∵∠AOB=∠ABD=∠BHD=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∠ABO+∠DBH=90°，∴∠BAO=∠DBH，∵AB=DB，∴△ABO≌△BDH（AAS），∴OA=BH=3，OB=DH，∴HD=OH-3，∴点D在直线y=x-3上运动，作O关于直线y=x-3的对称点E′，连接AE′交直线y=x-3于D′，连接OD′,则OD′=D′E′根据“两点之间，线段最短”可知此时OD+AD最小，最小值为AE′，∵O（0，0），O关于直线y=x-3的对称点为E′，∴E′（3，-3），∵A（0，3），∴AE′=3，∴OD+AD的最小值是3，故答案为：3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判性质，利用轴对称解决最短路径问题，一次函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．16、【分析】依据直角三角形“角所对直角边等于斜边的一半”求得B点的坐标，然后根据等腰三角形的性质，求得OB=BA1，最后根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，即可求得A1的坐标，依此类推即可求得An的坐标．【详解】如图，作⊥轴于E，⊥轴于F，⊥轴于G，∵点的坐标为，∴，，∴，∴，∴，，∵∥轴，

根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，∴的纵坐标为，∵点在直线上，将代入得，解得：，∴的坐标为，∴，，∴，∴，∴，∴，∵∥轴，，∴，根据等腰三角形三线合一的性质知：，∴，∴，，∴的坐标为，同理可得：的坐标为，【点睛】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，以及等腰三角形的性质得出点的坐标，得出一般规律．17、x≠2，x≠0，x≠1．【分析】根据分式的分母不为零、0的零次幂无意义来列出不等式，解不等式即可得到本题的答案．【详解】解：由题意得，x﹣2≠0，x≠0，x﹣1≠0，解得，x≠2，x≠0，x≠1，故答案为：x≠2，x≠0，x≠1．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件、零指数幂，掌握分式的分母不为零，0的零次幂无意义是解题的关键．18、8cm；【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，再根据的周长为，即可得出BC的长.【详解】解：∵AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为点E，∴AD=BD，∵AD+CD=AC=10，∴BD+CD=10，∵BD+CD+BC=18，∴BC=；故答案为：8cm.【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）10°；（1）证明见解析；（3）EF1+BF1=1AC1．理由见解析.【分析】（1）根据等腰直角三角形的旋转得出∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根据三角形内角和定理求出即可；（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF，根据SAS推出△BAF≌△CAF，根据全等得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案；（3）根据全等得出BF=CF，求出∠CFG=∠EAG=90°，根据勾股定理求出EF1+BF1=EF1+CF1=EC1，EC1=AC1+AE1=1AC1，即可得出答案．【详解】（1）∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，又∵∠BAC=50°，∠EAC=90°，∴∠BAE=50°+90°=140°，∴∠AEB=（180°-140°）÷1=10°；（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAF=∠CAF．在△BAF和△CAF中，∴△BAF≌△CAF（SAS），∴∠ABF=∠ACF，∵∠ABE=∠AEB，∴∠AEB=∠ACF；（3）∵△BAF≌△CAF，∴BF=CF，∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC，∴∠CFG=∠EAG=90°，∴EF1+BF1=EF1+CF1=EC1，∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠CAE=90°，AC=AE，∴EC1=AC1+AE1=1AC1，即EF1+BF1=1AC1．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，有一定的难度．20、（1）证明见解析；（2）60°【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠DAC=∠ABE=120°，结合可证明△ABE≌△ACD，可得∠BAE=∠ACD，AE=CD，故可得∠EAC=∠DCB,，进一步可证明；（2）根据全等三角形的性质得到∠E=∠D，∠EAB=∠DAF，根据三角形的外角的性质得到结论．【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠CAB=∠ABC=60°，∴∠DAC=∠ABE=120°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴AE=CD，∠BAE=∠ACD，∴∠CAE=∠BCD，在△ACE和△CBD中,∴；（2）∵△ABE≌△ACD，∴∠E=∠D，∴∠CFE=∠D+∠DAF=∠E+∠EAB，=∠ABC，=60°．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识．21、详见解析【分析】只要用全等判定“AAS”证明△ABE≌△ACD，则CD=BE易求．【详解】∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC，∴∠AEB=∠ADC=90°，又∠A=∠A，AB=AC，∴△ABE≌△ACD（AAS）．∴CD=BE．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．22、（1）；（2）7【分析】（1）先化简二次根式，计算乘方，然后计算加减乘除，即可得到答案；（2）先化简二次根式，然后计算括号内的运算，再计算单项式除以单项式即可.【详解】解：原式；原式.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.23、（1）乙队单独施工需要1天完成;（2）乙队至少施工l8天才能完成该项工程．【解析】（1）先求得甲队单独施工完成该项工程所需时间，设乙队单独施工需要x天完成该项工程，再根据“甲完成的工作量+乙完成的工作量=1”列方程解方程即可求解；（2）设乙队施工y天完成该项工程，根据题意列不等式解不等式即可.【详解】（1）由题意知，甲队单独施工完成该项工程所需时间为1÷=90（天）．设乙队单独施工需要x天完成该项工程，则，去分母，得x+1=2x．解得x=1．经检验x=1是原方程的解．答：乙队单独施工需要1天完成．（2）设乙队施工y天完成该项工程，则1-解得y≥2．答：乙队至少施工l8天才能完成该项工程．24、（1）(-2，-1)；（2）作图见解析；（1）1【分析】（1）根据平面直角坐标系写出即可；

（2）利用网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；

（1）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：(1)点C(−2,−1)；(2)如图所示，即为所求作的三角形；(1)与点A关于x轴对称，A的坐标是（1，2)，则点，所以，a=1，b=−2，所以，a−b=1−(−2)=1+2=1．【点睛】本题考查轴对称变换作图，掌握轴对称图形的性质为解题关键．25、（1）-3；（2）（i）y＝±x+2；（ⅱ）点E的坐标为：（，）或（，）．【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6中，即可解得k的值；（2）（i）先求出△BCO的面积，根据直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部得出△CDE的面积，根据三角形面积公式得出E的横坐标，将横坐标代入y＝kx+6即可得到E的坐标，点E的坐标代入直线l表达式，即可求出直线l表达式；（ⅱ）设点E（m，﹣3m+6），根据两点间的距离公式列出方程，解得点E的坐标．【详解】（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；（i）S△BCO＝OB×CO＝2×6＝6，直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，则S△CDE＝2或4，而S△CDE＝×C