5.1.1角的概念的推广课件高一上学期数学

第5章三角函数角的概念的推广湘教版

数学

必修第一

册课标要求1.理解任意角的概念,能区分各类角的概念.2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.3.理解终边相同的角的含义及表示,并能解决有关问题.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一任意角1.角的概念:角可以看作是平面内

绕着其端点

所成的图形.

2.角的分类:按旋转方向可将角分为三类类型定义图示正角一条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角

负角一条射线绕着端点以

方向旋转所成的角

零角不旋转所成的角

一条射线从初始位置旋转到终止位置时顺时针名师点睛角的概念推广后,角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究,对于一个给定的角,都有唯一的一条终边与之对应,并使得角具有代数和几何双重意义.过关自诊1.经过1个小时,时针转过的角度是

.

2.始边与终边重合的角一定是零角吗?-30°提示

不一定.只有始边没做任何旋转,始边与终边重合的角才是零角.

知识点二象限角与终边相同的角1.象限角在平面直角坐标系中,取角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的非负半轴,那么,角的终边落在

,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

常称为轴线角

2.终边相同的角所有与角α终边相同的角用集合表示出来,即

.

第几象限{β|β=α+k·360°,k∈Z}名师点睛对于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解应注意三点:(1)α是任意角.(2)“k∈Z”有三层含义:①特殊性:每取一个整数值就对应一个具体的角.②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数,k取正整数时,逆时针旋转;k取负整数时,顺时针旋转;k=0时,没有旋转.(3)集合中“k·360°”与“α”之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),表示与-30°角终边相同的角.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)钝角是第二象限角.(

)(2)第二象限角是钝角.(

)(3)第二象限角大于第一象限角.(

)2.已知0°≤α<360°,且α与600°角终边相同,则α=

,它是第

象限角.

√××240°三解析

因为600°=360°+240°,所以240°角与600°角终边相同,且0°≤240°<360°,故α=240°,它是第三象限角.3.判定下列各角是第几象限角:(1)-60°;(2)945°;(3)-950°12'.解

(1)因为-60°角的终边在第四象限,所以它是第四象限角.(2)因为945°=225°+2×360°,所以945°与225°角的终边相同,而225°角的终边在第三象限,所以945°角是第三象限角.(3)因为-950°12'=129°48'+(-3)×360°,而129°48'角的终边在第二象限,所以-950°12'角是第二象限角.重难探究·能力素养速提升探究点一任意角的概念【例1】

(多选题)下列说法不正确的是(

)A.三角形的内角不一定是第一、二象限角B.始边相同,终边相同的角不一定相等C.钝角比第三象限角小D.小于180°的角是钝角、直角或锐角CD解析

A中90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A正确;B中始边相同,终边相同的角不一定相等,如360°和720°,故B正确;C中钝角是大于-100°的角,而-100°的角是第三象限角,故C不正确;D中零角小于180°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故D不正确.规律方法

理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.变式训练1(1)经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是(

)A.60°,720°

B.-60°,-720°C.-30°,-360° D.-60°,720°B解析

钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而

×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.(2)下列说法中正确的是(

)A.第一象限角一定不是负角B.第二象限角大于第一象限角C.第二象限角是钝角D.若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β终边相同D解析

因为-330°角是第一象限角,但它是负角,所以A不正确.由于120°角是第二象限角,390°角是第一象限角,显然390°>120°,所以B不正确.由于480°角是第二象限角,但它不是钝角,所以C不正确.若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β终边相同,满足终边相同角的表示,正确.故选D.探究点二坐标系中角的概念及其表示角度1终边相同的角的求解【例2】

写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1080°内与75°角终边相同的角.解

与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.又k∈Z,所以k=1或k=2.当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°.综上所述,与75°角终边相同且在360°~1

080°内的角为435°角和795°角.规律方法

求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.角度2终边在确定直线上的角的集合【例3】

写出终边在如图所示的直线上的角的集合.解

(1)在0°~360°内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,又所有与0°角终边相同的角的集合为S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有与180°角终边相同的角的集合为S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.(2)由图形易知,在0°~360°内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.(3)终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z},结合(2)知所求角的集合为S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}

={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.规律方法

1.终边共线的角的写法:(1)分别写出每条终边所代表的角的集合,再取并集,在取并集时要化简合并,小心出错.(2)在其中一条终边上找一个角,然后加上180°的整数倍.2.终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴、y轴的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°,k∈Z};终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+180°,k∈Z};终边落在x轴上的角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z};终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+90°,k∈Z};终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°-90°,k∈Z};终边落在y轴上的角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z};终边落在坐标轴上的角的集合为{x|x=k·90°,k∈Z}.角度3区域角的求解【例4】

如图所示.(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解

(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}.(2)由图可知,阴影部分角的集合是由所有介于[-30°,135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合,故该区域可表示为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.变式探究1若将本例4(1)改为如图所示的图形,那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示?解

在0°~360°内,阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为150°≤β≤225°,则所有满足条件的角β为{β|k·360°+150°≤β≤k·360°+225°,k∈Z}.变式探究2若将本例4(2)改为如图所示的图形,那么终边落在阴影部分(包括实线边界)的角的集合如何表示?解

在0°~360°内,终边落在阴影部分(包括实线边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°,所以所有满足题意的角β为{β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}∪{β|k·360°+240°≤β<k·360°+285°,k∈Z}={β|2k·180°+60°≤β<2k·180°+105°,k∈Z}∪{β|(2k+1)·180°+60°≤β<(2k+1)·180°+105°,k∈Z}={β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.故角β的取值集合为{β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.规律方法

区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步:(1)借助图形,在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界;(2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β;(3)分别将起始边界、终止边界的对应角α,β加上360°的整数倍,即可求得区域角.【例5】

已知α是第二象限角:(1)求角

所在的象限;(2)求角2α所在的象限.解

(1)(方法1)∵α是第二象限角,∴k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z).(方法2)如图,先将各象限分成2等份,再从x轴正半轴的上方起,按逆时针方向,依次将各区域标上一、二、三、四,(2)∵k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z),∴k·720°+180°<2α<k·720°+360°(k∈Z).∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.变式训练2若α是第一象限角,则-

是(

)A.第一象限角

B.第一、四象限角C.第二象限角

D.第二、四象限角D学以致用·随堂检测促达标A级必备知识基础练12345678910111213141516171.475°角的终边所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限B解析

因为475°=360°+115°,又因为115°是第二象限角,而475°与115°终边相同,故475°角的终边所在的象限是第二象限.故选B.12345678910111213141516172.若α是第四象限角,则180°+α一定是(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角B解析

∵α是第四象限角,∴k·360°-90°<α<k·360°.∴k·360°+90°<180°+α<k·360°+180°.∴180°+α在第二象限,故选B.12345678910111213141516173.[2024甘肃酒泉高二校考学业考试]将x轴正半轴绕原点逆时针旋转30°,得到角α,则下列与α终边相同的角是(

)A.330° B.-330°C.210° D.-210°B解析

由题意得与α终边相同的角的集合为{α|α=30°+k·360°,k∈Z},当k=-1时,α=-330°,B正确,其他选项经过验证均不正确.故选B.12345678910111213141516174.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(

)A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}C1234567891011121314151617解析

如题图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.12345678910111213141516175.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=

.-30°+k·360°,k∈Z解析

在-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.12345678910111213141516176.在与角1030°终边相同的角中最大的负角是

;最小的正角是

.

-50°310°解析

与1

030°终边相同的角的一般形式为β=k·360°+1

030°(k∈Z),由-360°<k·360°+1

030°<0°,得-1

390°<k·360°<-1

030°,解得k=-3,故所求的最大负角为β=-50°.由0°<k·360°+1

030°<360°,得-1

030°<k·360°<-670°,解得k=-2,故所求的最小正角为β=310°.1234567891011121314151617{β|β=60°+n·180°,n∈Z}S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=240°+k·360°,k∈Z}={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.1234567891011121314151617B级关键能力提升练8.下列各角中,与27°角终边相同的是(

)A.63°

B.153°C.207° D.387°D解析

与27°角终边相同的角的集合为{α|α=27°+k·360°,k∈Z},取k=1,可得α=387°.故与27°角终边相同的是387°.故选D.12345678910111213141516179.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置绕端点O旋转到达OC位置,得∠AOC=-150°,则射线OB旋转的方向与角度分别为(

)A.逆时针,270° B.顺时针,270°C.逆时针,30° D.顺时针,30°B解析

由题意可知,∠AOB=120°,设∠BOC=θ,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+θ=-150°,解得θ=-270°,故需要射线OB绕端点O顺时针旋转270°.1234567891011121314151617A.M=P

B.M⊆PC.M⊇P

D.M∩P=⌀B123456789101112131415161711.(多选题)已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A,B,C的关系是(

)A.B=A∩C B.B∪C=CC.B∩A=B D.A=B=CBC解析

A∩C除了锐角,还包括其他角,比如-330°角,所以A选项错误.锐角是小于90°的角,故B选项正确.锐角是第一象限角,故C选项正确.A,B,C集合中角的范围不一样,所以D选项错误.123456789101112131415161712.(多选题)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α可能是(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角AC解析

因为角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α<k·360°+180°,k∈Z,则有k·180°<α<k·180°+90°,k∈Z.故当k=2n,n∈Z时,n·360°<α<n·360°+90°,n∈Z,α为第一象限角;当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+180°<α<n·360°+270°,n∈Z,α为第三象限角.故选AC.123456789101112131415161713.角α,β的终边关于y轴对称,若α=30°,则β=

.150°+k·360°,k∈Z解析

∵30°与150°的终边关于y轴对称,∴β的终边与150°角的终边相同.∴β=150°+k·360°,k∈Z.123456789101112131415161714.若角β的终边与60°角的终边相同,在[0°