第20讲两点间的距离公式（两大题型归纳分层练）

第20讲两点间的距离公式【人教A版选修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01两点之间的距离公式 2题型02坐标法的应用 4分层练习 8夯实基础 8能力提升 14创新拓展 20两点之间的距离公式1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).注意点：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2)·|x2－x1|，或|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.题型01两点之间的距离公式【解题策略】计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解【典例分析】【例1】已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．解方法一∵|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r(1－32＋7＋32)＝eq\r(104)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－－3)＝－eq\f(2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．【变式演练】【变式1】（2324高二上·全国·课后作业）已知A，B两点都在直线上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为.【答案】【分析】设，则，然后利用两点间的距离公式求解即可【详解】设点，则，所以，故答案为：【变式2】（2223高二上·全国·单元测试）已知点，，则．【答案】【分析】利用两点间的距离公式计算可得.【详解】因为，，所以.故答案为：【变式3】（2324高二上·山西太原·期末）已知的三个顶点分别为，，.(1)求边所在直线的方程；(2)判断的形状.【答案】(1)；(2)是等腰直角三角形.【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.（2）求出直线的斜率，结合（1）中信息及两点间距离公式计算判断即得.【详解】（1）依题意，直线的斜率，则直线的方程为：，化简得：.（2）直线的斜率，显然，即，是直角三角形，又，则是等腰三角形，所以是等腰直角三角形.题型02坐标法的应用【解题策略】(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”．(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤①建立坐标系，用坐标表示有关的量．②进行有关代数运算．③把代数运算的结果“翻译”成几何结论【典例分析】课本例4用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．证明如图，四边形ABCD是平行四边形．以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．在▱ABCD中，点A的坐标是(0,0)，设点B的坐标为(a,0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a＋b，c)．由两点间的距离公式，得|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2，|AB|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2.所以|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AB|2＋|AD|2＝a2＋b2＋c2.所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．【例2】（2223高二·全国·课后作业）如图所示，正方形ABCD中，在BC上任取一点P（点P不与B、C重合），过点P作AP的垂线PQ交角C的外角平分线于点Q．用坐标法证明：．【答案】证明见解析【分析】建立平面直角坐标系，设P点坐标，利用点斜式表示出和，联立方程组求出点Q坐标，两点间距离公式可证.【详解】以B为原点，射线BC、BA分别为x、y轴的正半轴建立坐标系．如图所示，设正方形边长为a，则，，设点P的坐标为．，①，②．联立①②可得（或利用三角形全等求得点Q坐标）．∵，，∴【变式演练】【变式1】求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．证明如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点．设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|.又由中点坐标公式，得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)，\f(n,2)))，∴|DE|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)－\f(m,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))，∴|DE|＝eq\f(1,2)|AB|，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．【变式2】已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝eq\r(b－02＋c－02)＝eq\r(b2＋c2)，|BD|＝eq\r(a－b－a2＋c－02)＝eq\r(b2＋c2).故|AC|＝|BD|.【变式3】已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．解当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6＝0，,y＝kx－k－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7＋k,k＋2)，,y＝\f(4k－2,k＋2)，))即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7＋k,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).由|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7＋k,k＋2)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－2,k＋2)＋1))2)＝5，解得k＝－eq\f(3,4)，所以直线l的方程为y＋1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1.此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意．综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.【夯实基础】一、单选题1．（2324高二上·山东德州·阶段练习）已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（

）A． B． C．4 D．3【答案】A【分析】利用两点距离公式求线段的长，即可得半径.【详解】由题意知，，以线段为直径的圆的半径是．故选：A2．（2324高二上·江苏徐州·阶段练习）已知三点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根据两点间距离公式计算得到答案.【详解】，则，解得.故选：D.3．（2324高二上·江苏淮安·阶段练习）两点间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两点间距离公式可得.【详解】由两点间距离公式得.故选：C4．（2324高二上·山东德州·阶段练习）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直线过直线与得交点可得，再由两点间的距离公式求出d的最小值.【详解】联立，解得，把代入，得，，点到原点的距离，当且仅当时取等号．点到原点的距离的最小值为．故选：D．二、多选题5．（2324高二上·全国·课后作业）（多选）已知点，且，则a的值为（

）A．1 B． C．5 D．【答案】AD【分析】由两点间的距离公式求解即可.【详解】由两点间距离公式得，所以，所以，即，或．故选：AD.6．（2223高一下·江苏南通·期末）对于两点，，定义一种“距离”：，则（

）A．若点C是线段AB的中点，则B．在中，若，则C．在中，D．在正方形ABCD中，有【答案】ACD【分析】根据新定义，，之间的“距离:对选项逐个分析即可判断其正误即可．【详解】A中，若点C是线段AB的中点，则点C坐标为，则，故A正确；B中，因为中，若，取，，则，，，故，，显然，故B不正确；对于C，设，则，因为，同理，所以，故C正确;D中，因为ABCD为正方形，设正方形边长为a，可取，则，，故D正确．故选：ACD.三、填空题7．（2324高二上·全国·课后作业）已知点、、，且，则.【答案】【分析】利用平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解之即可.【详解】已知点、、，且，则，解得.故答案为：.8．（2223高一下·重庆沙坪坝·期末）已知点，，点在轴上，则的取值范围是.【答案】【分析】作点关于轴的对称点，过的中点作交轴于点，当点在点时，取最小值；当，，三点共线时，取最大值，进而求解即可.【详解】作点关于轴的对称点，则，过的中点作交轴于点，当点在点时，，此时；当，，三点共线时，，所以的取值范围是.故答案为：.

四、解答题9．（2324高二上·全国·课后作业）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【答案】证明见详解【分析】首先要建立适当的坐标系，将几何图形上的点用坐标表示出来，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．【详解】如图，以的直角边，所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，则．

设，两点的坐标分别为，，的中点为．因为是斜边的中点，故点的坐标为，即．由两点间距离公式得，，所以，因此直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【能力提升】一、单选题1．（2223高二上·广西防城港·期末）已知点，则为（

）A．5 B． C． D．4【答案】A【分析】由距离公式求解.【详解】.故选：A2．（2223高二上·江苏连云港·期中）已知三点，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用两点间的距离公式列方程计算即可【详解】由两点间的距离公式，及可得：，解得.故选：A3．（2223高二上·新疆巴音郭楞·期中）已知点A、B是直线与坐标轴的交点，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先求得两点的坐标，进而求得.【详解】由，令，得，设；令，得，设.所以.故选：A4．（2223高二·全国·课后作业）已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），则四边形ABCD是（

）A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形【答案】A【分析】利用斜率判断直线是否平行，利用两点间距离公式判断线段是否相等.【详解】由A（1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），有，，则，，，，所以四边形ABCD是梯形.故选：A.二、多选题5．（2122高二上·江苏无锡·期中）已知直线：，：，，以下结论正确的是（

）A．不论为何值时，与都互相垂直B．当变化时，与分别经过定点和C．不论为何值时，与都关于直线对称D．设为坐标原点，如果与交于点，则的最大值是【答案】ABD【分析】A选项，利用两条直线垂直的充要条件即可求解；B选项，求出两直线恒过的点的坐标；C选项，利用点关于直线的对称点，即可求解；D选项，先求出两直线的交点的坐标，再用两点间距离公式，即可求解.【详解】由于1×a+−a×1=0，所以与互相垂直，故不论为何值时，与都互相垂直；A正确；直线：，当时，，所以恒过点，：，当时，，所以恒过点，故B正确；设直线：上任意一点，则点P关于直线的对称点为，将点代入直线，可得：，与在直线：上矛盾，故C错误；联立方程组：x−ay+2=0ax+y−2=0，解得：x=2a−2a2+1MO=2a−2a2+1故选：ABD6．（2223高二上·安徽滁州·期中）已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点、都在直线上，下列判断中正确的是（

）A．点的坐标是或B．三角形的面积等于C．斜边的中点坐标是D．点关于直线的对称点是【答案】ACD【分析】取的中点，由，且在上，求得点坐标为，可判断C；由及，求得的坐标可判断A；求得，可判断B；求出点关于直线的对称点可判断D．【详解】取的中点，因为三角形为等腰三角形，所以，即垂直于直线，则，且，解得，则的中点坐标为，故C正确；所以①，而，且，②，联立①②，解得，或，所以的坐标是或，故A正确；，，所以，故B错误；设点的对称点为，则的中点为，即，所以，，解得，即点关于直线的对称点是，故D正确．故选：ACD．.三、填空题7．（2324高二上·全国·课后作业）若，则.【答案】【分析】由两点间的距离公式求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：.8．（2223高二·江苏·假期作业）设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则A与B坐标分别为，．【答案】，【分析】设，，利用中点坐标公式得到，进而得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可.【详解】设，，因为AB中点，所以，即，，所以，，所以，故答案为：，；.9．（2223高二·江苏·假期作业）直线和直线分别过定点和，则|．【答案】【分析】求出直线、所过定点的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得的值.【详解】将直线的方程变形为，由，可得，即点，将直线的方程变形为，由，可得，即点，所以，.故答案为：.四、解答题10．（2122高二·全国·课后作业）已知，证明是等边三角形．【答案】答案见解析【分析】利用两点间的距离公式求解三边长度，可得证.【详解】因为，所以，，，所以，所以是等边三角形．【创新拓展】一、单选题1．（2223高二上·天津河西·期中）已知点，，为轴上一点，且，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，设，根据，列出方程即可求解.【详解】设，则，，由，得，解得，故故选：B2．（2021高二上·山东青岛·期中）圆心在直线上，并且经过点和的圆的半径为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】设出圆心坐标根据数