第16讲相似三角形单元分类总复习(原卷版)

第16讲相似三角形单元分类总复习考点一比例线段【知识点睛】比例的基本概念中，a、b、c、d成比例（或）；其中要特别注意：需要看清楚是数字之间的成比例，还是线段成比例，数字可以为负数，线段只能是正数；比例线段是有顺序的，线段a、b、c、d成比例，只能得到在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位比例的基本性质：；比例中项：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例当题目中有若干个比例相等的条件是时，一般采用“设k法”解题；如：已知，则设，故有【类题训练】1．已知（b≠﹣3），则下列说法错误的是（）A． B． C．2a＝3b D．2．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，3．如图，已知AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，AF＝21，那么DF的长为（）A．9 B．12 C．15 D．184．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（）A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP•BA C． D．5．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC分别与直线l1，l2，l3，交于A、B、C三点，直线DF分别与直线l1，l2，l3交于D、E、F三点，AC与DF交于点O，若BC＝2AO＝2OB，OD＝1．则OF的长是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知，若b+d+f＝15，则a+c+e＝．7．已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中项，则c＝cm．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，若E为AC中点，则＝．9．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为cm．（结果保留根号）​10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD交于点O，则的值．11．如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．若AD＝3AF，则＝．12．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．考点二相似三角形的性质【知识点睛】相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形的对应高线、对应角平分线、对应中线之比=相似比相似三角形的周长之比=相似比；面积之比=相似比的平方【类题训练】1．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（）A．16 B．8 C．2 D．12．若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（）A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：813．如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75° B．105° C．60° D．45°4．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（）A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D．5．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC＝，则DE的长为（）A． B． C． D．7．如图，将等边三角形ABC沿AC边上的高线BD平移到△EFG，阴影部分面积记为S，若，S△ABC＝16，则S＝．8．如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝11，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是．9．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，点E在AB上且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝．10．在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023OB2023的边长为，点A2023的坐标为．11．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为．12．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．考点三相似三角形的判定与基本模型【知识点睛】相似三角形的判定：预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似有两个角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似相似三角形的对应顶点需要写在对应的位置，当对应点、对应边不明确时，常常需要分类讨论基本模型1.平行线型——A字图、8字图：常见的有如下两种，当CD∥AB时，则有△OCD∽△OAB2.斜线型——如图，当∠1=∠A时，则有△OCD∽△OAB3.一线三等角型——如图，当∠B=∠ADE=∠C时，则有△ABD∽△DCE4.旋转型——如图，当∠1=∠2，且OD：OA=OC：OB（或∠D=∠A）时，则有△OCD∽△OBA【类题训练】1．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B． C． D．2．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C． D．4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．5．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③6．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，1），（1，5），（5，1），（7，1）、以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（5，3） B．（7，3） C．（6，0） D．（7，0）7．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3，点E为CD的中点，点P为边AB上一个动点，连接AE，PE，过点P作PQ⊥AE于点Q，当△PQE∽△EDA时，AP的长为（）A．3 B．4 C． D．8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（）A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②9．如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动如果点P、Q分别从点A、B同时出发问经过秒时，△PBQ与△ABC相似．10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P为BC的中点，点Q在射线AD上，过点Q作QE⊥AP于点E，连接PQ，请探究下列问题：​（1）AP＝；（2）当△QEP∽△ABP时，PQ＝．11．如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为3的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为时，△CDE与△ACE相似．12．如图，等腰△OAB中，OA＝OB＝6，cosA＝，以点O为圆心，2为半径画圆分别交OA，OB于点C，D，点P在AB边上运动，当△APC与△BPD相似时，线段AP的长是．13．如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止，设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？16．如图，在△PAB中，C、D为AB边上的两个动点，PC＝PD．（1）若PC＝CD，∠APB＝120°，则△APC与△PBD相似吗？为什么？（2）若PC⊥AB（即C、D重合），则∠APB＝90°时，△APC∽△PBD；（3）当∠CPD和∠APB满足怎样的数量关系时，△APC∽△PBD？请说明理由．17．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．（1）求证：PE•PF＝PC2．（2）如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，求证：△POC∽△AEC．考点四相似三角形的应用【知识点睛】当物体的高度和宽度不能直接测量时，一般思路是先根据题意建立相关的相似三角形模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系等列式求解【类题训练】1．如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则像CD到小孔O的距离为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm2．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A．m B．8m C．m D．m3．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A． B． C． D．4．如图，要测量楼高MN，在距MN为15m的点B处竖立一根长为m的直杆AB，恰好使得观测点E、直杆顶点A和高楼顶点N在同一条直线上，若DB＝5m，DE＝m，则楼高MN是（）A．m B．m C．m D．22m5．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝90mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（）A．36mm B．80mm C．40mm D．72mm6．在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图②放置，发现此时水面恰好触到容器口边缘，则图②中水面高度为（）A． B． C． D．7．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示，若OA＝25cm，AA′＝50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是．8．如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离BD＝9cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB（AB与CD相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压cm．​9．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝12米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度为米．10．甲、乙两幢完全一样的房子如图1，小聪与弟弟住在甲幢，为测量对面的乙幢屋顶斜坡M，N之间的距离，制定如下方案：两幢房子截面图如图2，AB＝12m，小聪在离屋檐A处3m的点G处水平放置平面镜（平面镜的大小忽略不计），弟弟在离点G水平距离3m的点H处恰好在镜子中看到乙幢屋顶N，此时测得弟弟眼睛与镜面的竖直距离IH＝m．下楼后，弟弟直立站在DE处，测得地面点F与E，M，N在一条直线上，DE＝m，FD＝2m，BF＝5m，则甲、乙两幢间距BC＝m，乙幢屋顶斜坡M，N之间的距离为m．11．图1是一款自动关门器，其示意图如图2所示．固定铁架的宽AB＝20cm，支点P，Q分别固定在墙面和铁门上，AP⊥AB，AP＝20cm，摇臂OP＝20cm，连杆OQ＝25cm，点A、B、O、p、Q在同一平面内．关门器工作时，点C绕点B转动，摇臂OP与连杆OQ长度均固定不变．当铁门完全关闭时（如图3），点A、B、Q在同一直线上，OP⊥AP．在开门的过程中，当端点C落在墙面AP上或连杆OQ落在BC上，都无法将门进一步打开，称此时为开门的极限状态．（1）BQ＝cm．（2）为使在开门的极限状态下，连杆OQ落在BC上，则门宽BC的最大值为cm．12．图1是一折叠桌，桌板DEIJ固定墙上，支架AD，HE绕点D，E旋转时，AD∥HE，桌板边缘AH∥BG∥CF∥DE，桌脚AN⊥AH，桌子放平得图2．图3是打开过程中侧面视图，当点N在直线CF上时，点N到墙OE的距离为69cm．视图中以C，K为顶点的长方形表示一圆柱体花瓶，桌子打开至点M，C，F在同一直线时，桌板边缘GL恰卡在点K，为不影响桌板BG收放，则至少将花瓶沿CF方向平移cm．13．疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB＝20cm，支架底板宽度CD＝AB，支撑角∠ABC＝60°，支撑板CE＝BE＝6cm，小红坐在距离支架底板20cm处观看（即DF＝20cm），Q点是AB中点．当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于18cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于cm．14．有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当x取多少时，EFGH是正方形．15．为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．16．甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时，乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF的影子恰好是线段EG，并测得EG＝m．已知甲直立时的身高为m，求路灯的高AB的长．（结果精确到m）17．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：项目主题：测量旗杆高度问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形