上海市静安区风华中学高三上学期10月月考数学试题

风华中学20232024学年高三上学期10月月考数学试题一.填空题(本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分)1.函数的定义域为_______________.【答案】【解析】【分析】根据根式与对数函数的定义域求解即可.【详解】由题意，解得.故答案为：2.已知集合，，则__________．【答案】【解析】【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】因为集合，，所以，故答案为：.3.已知锐角的终边交单位圆于点，则________.【答案】【解析】【分析】首先根据求出，再根据三角函数的定义计算可得.【详解】因为锐角的终边交单位圆于点，则，解得或（舍去），所以，所以.

故答案为：4.用反证法证明“若,则或”时,应假设_______________.【答案】且【解析】【分析】根据反证法，假设原命题的结论的否定即可.【详解】“或”的否定为“且”.故答案为：且5.已知扇形面积为半径是1，则扇形的周长是_______________.【答案】【解析】【分析】首先由扇形的面积公式求出圆心角，然后代入扇形弧长、周长公式即可求解.【详解】不妨设扇形的圆心角、半径、弧长、面积、周长分别为，则由题意有，解得，由弧长公式有，所以扇形的周长为.故答案为：.6.若则_______________.【答案】1【解析】【分析】根据导数的定义求解即可.【详解】由题意，又，故故答案为：17.对，若恒成立，则的取值范围是_______________.【答案】【解析】【分析】将不等式恒成立转化为最小值问题求解，根据绝对值三角不等式求出最小值即可得解.【详解】因为恒成立，所以，因为，所以.故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则；8.曲线在点处的切线方程为___________.【答案】（其他形式的答案只要正确也可）【解析】【分析】先求导，代入，求出，进而求出与，从而利用导函数的几何意义和点斜式求出切线方程.【详解】由题意得，，所以，解得，故，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：9.已知函数，则关于的表达式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】由题意可知，的定义域为，所以，所以函数是奇函数，由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，由，得，即，所以，即，解得，所以关于的表达式的解集为.故答案为：.10.已知定义在上的函数满足,函数为偶函数.且当时,，则_______________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由条件可得函数为定义在上的奇函数，且其周期，然后代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，函数为定义在上的奇函数，则，则，则当时,，又因为函数为偶函数，所以的图像关于对称，即，所以，所以，即函数的周期，则，且，则.故答案为：11.设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.【答案】[113]【解析】【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f(x)对称轴为，∵f(x)值域为，∴且，n＞0.，∵====∴，，∴∈[1,13].故答案为：[1,13].12.已知函数，若方程有8个相异的实数根，则实数的取值范围是_________________________．【答案】【解析】【分析】根据题意，作出函数的图像，进而数形结合，将问题转化为方程在区间上有两个不相等的实数根，再结合二次函数零点分布求解即可.【详解】解：根据题意，作出函数的图像，如图：令，因为方程有8个相异的实数根，所以方程在区间上有两个不相等的实数根，故令，则函数在区间上有两个不相等的零点.所以，即，解得.所以实数的取值范围是.故答案为：二.选择题(本题共有4题,满分18分,1314每题4分,1516题每题5分)13.已知条件p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据p是q的充分不必要条件，由⫋求解.【详解】解：因为p是q的充分不必要条件，所以⫋，则m≤－1，故选：D.14.若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数的换底公式可将用、表示.【详解】根据对数的换底公式得，，故选：C．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中是题目的一个难点和易错点.15.对于下列命题：①若则；②若，则.关于上述命题描述正确的是（）A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质可以判断①，再根据指数式的运算可以判断②，最后得到答案.【详解】对①，由，得，则，又因为所以，于是.①为真命题；对②，令，则，即.②为假命题.故选：C.16.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（）（参考数据）A.5 B.7 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求得，然后列不等式来求得的取值范围，进而求得的最小整数值.【详解】当时，，所以，由得，，所以的最小整数值为.故选：B三.解答题(本大题共有5题，满分78分)17.已知集合，集合.（1）当时,求;（2）若,求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别求出集合，再根据交集的定义即可得解；（2）由,得，再列出不等式组即可得解.【小问1详解】由解得:，所以,当时,，所以；【小问2详解】因为，所以，因为,所以，所以解得，所以实数的取值范围为.18.已知函数.（1）若对于任意,恒成立,求实数的取值范围;（2）若函数的图像与轴正半轴有两个不同的交点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据判别式小于0求解即可；（2）根据判别式与韦达定理列式求解即可.【小问1详解】对于任意恒成立，则，即，解得，所以实数的取值范围为.【小问2详解】因为函数的图像与轴正半轴有两个不同的交点，所以，即，解得实数的取值范围为.19.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足45台时，万元，当年产量不少于45台时，万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？【答案】（1）（2）当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万【解析】【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案；（2）根据二次函数的性质以及基本不等式，可求得最值，可得答案.【小问1详解】当，时，；当，时，；综上所述：【小问2详解】当，时，，则当时，的最大值为650；当，时，（当且仅当，即时等号成立）；∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万.20.已知函数是奇函数.（1）求的值;（2）判断在区间上的单调性，并证明;（3）当时，若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1（2）答案见解析，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性得到，计算出或1，检验后得到答案；（2）利用复合函数同增异减判断函数的单调性；（3）转化为在上恒成立，令，结合（2）得到其单调性，进而求出，从而求出实数的取值范围.【小问1详解】∵是奇函数，∴在其定义域内恒成立，即，故，∴恒成立，∴或1，当时，，不满足真数大于0，舍去，当时，令，此时或，所以.【小问2详解】当时，在上是减函数；当时，在上是增函数，理由如下：由（1）得令，则内函数在上为减函数，而当时，外函数在上是增函数，当时，外函数在上是减函数，由复合函数内外函数“同增异减”的性质得：∴当时，在上是减函数；当时，在上是增函数.【小问3详解】对于上的每一个的值，不等式恒成立，则在上恒成立，令，由（2）知，时，在上是增函数，又单调递减，故在上是单调递增函数，故，所以，即的取值范围是21.设函数，其中a为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”．（1）若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由；（2）若，求函数的极值点；（3）证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有．【答案】（1）是的“和谐数组”，理由见解析；（2）为函数的一个极大值点,为的一个极小值点.（3）见解析【解析】【分析】（1）代入有，根据指数函数、幂函数性质可得，再将代入即可证明；（2）代入值有，直接求导，令导函数0即可得到其极值点；（3）假设存在,使得,通过和谐数组定义转化得对任意恒成立，设，再利用二次函数的性质即可证明假设不成立.【小问1详解】是的“和谐数组”,理由如下：当时,.根据幂函数、指数函数的性质,对任意,都有.对任意,代入,得:是的“和谐数组”.【小问2详解】当,于是可列表如下:00极大值极小值为函数的一个