1.3.2等比数列与指数函数（2知识点5题型强化训练）（原卷版）

1.3.2等比数列与指数函数课程标准学习目标（1）体会等比数列与指数函数的关系。（1）理解等比数列与指数函数的关系;（2）理解等比数列的单调性，并会利用其求最大（小）项；（3）掌握等比数列性质的运用。（难点)知识点01等比数列与指数函数的关系1等比数列与指数函数的图象（1）当q>0且q≠1时，等比数列的通项公式是an=a1qn-1=a1q∙这说明，当用直角坐标系中的点来表示等比数列时，所有的点一定在一指数函数图象上，且等比数列的图象由图象横坐标为正整数n的孤立点组成。（2）当q=1时，等比数列的各项都是常数a（3）当q<0时，等比数列对应的图象是一系列上下波动的孤立点2等比数列的单调性当a1>0,q>1时，等比数列递增；当a1当a1<0,q>1时，等比数列递减；当a1当q<0时，等比数列是不增不减.【即学即练1】（多选）关于递减等比数列an，下列说法正确的是（

A．当a1>0时，0<q<1 B．当aC．当a1<0时，q>1 D知识点02等比数列的性质设an是首项为a1,公比为q的等比数列，其中(1)a证明由等比数列通项公式可得an=a两式相除可得anam意义求等比数列任一项ak或通项公式an，不一定要求a1，可利用任一项（非例若等比数列{an}中，a4=4，2证明由性质an=a意义利用等比数列任意两项可求公比.例若等比数列{an}中，a4=4，a3若m+n=p+t,则a证明由等比数列通项公式可得amas∵m+n=s+t,∴a即am意义下标和相等，其对应项的积相等.例a2a8=a4数列{λan}(λ是不为零的常数)仍是公比为q的等比数列；若数列{b则数列{anb证明an+1bn+1(5)下标成等比数列且公比为m的项ak,ak+m证明ak+n+1m【即学即练2】（多选）已知等比数列an的公比为qq>0，前n项积为Tn，若TA．0<q<1 B．q>1C．T13>1>T【题型一：等比数列通项公式的指数函数特征】例1．已知等差数列an公差d≠0，数列bn为正项等比数列，已知a3A．a2>bC．a8>b变式11．(多选)若数列an为递增数列，则an的通项公式可以为（A．an=nn+1 B．an=2n-1变式12．某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a？（

）A．6 B．7C．8 D．9变式13．已知数列an为等比数列，a1=63，公比q=12，若Tn是数列an的前变式14．已知等差数列an公差不为0，正项等比数列bn，a2=bA．a1>b1 B．a5>【方法技巧与总结】1当q>0且q≠1时，等比数列的通项公式an=a12等比数列的单调性当a1>0,q>1时，等比数列递增；当a1当a1<0,q>1时，等比数列递减；当a1当q<0时，等比数列是不增不减.【题型二：等比数列的最大（小）项】例2．已知数列an为等比数列，首项a1>0，公比q∈A．数列an的最大项为a1 B．数列aC．数列anan+1为严格递增数列 D变式21．（多选）无穷等比数列an的首项为a1公比为q，下列条件能使anA．a1>0，0<q<1 B．aC．a1<0，q=-1 D．a变式22．设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1>1，aA．an为递减数列 B．C．T2022是数列Tn中的最大项 D【方法技巧与总结】1求数列中的最大（小）项，主要是作差法或作商法得到数列的单调性再求解；2求等比数列的最大（小）项，先分析等比数列的单调性，有时可借助指数函数的图象与性质进行分析.【题型三：等比数列下标和性质及应用】例3．已知数列an为等比数列，a2+a4+A．22 B．C．2 D．±2变式31．若数列an是公比为q的等比数列，且log2a4+log2A．2 B．4 C．±2 D．±4变式32．已知等比数列{an}满足a1>0，公比q>1，且log2a1+A．1012 B．1013 C．2022 D．2023变式33．(多选)已知Tn为每项均为正数等比数列an的前n项积，若T2023A．an为递减数列 B．C．当n=1012时，Tn最大 D．T【方法技巧与总结】1设an是首项为a1,公比为q的等比数列，其中(1)an=amqn-m；意义求等比数列任一项ak2qn-m=3若m+n=p+t,则aman要理解以上等比数列的性质，明白其意义方能更好利用;2要利用等比数列的性质求解基本量，要主要题中各项下标的特点.【题型四：等比数列子数列性质及应用】例4．在等比数列an中，已知a1+a2+aA．2116 B．1916 C．98变式41．已知等比数列{an}的公比q为整数，且a1+a4A．2 B．3 C．2 D．3变式42．已知数列an是单调递增的等比数列，且a2+a4=30，a3=9变式43．已知数列an为正项等比数列，且a4+a3【方法技巧与总结】1数列{λan}(λ是不为零的常数)仍是公比为q的等比数列；若数列{b则数列{anb2下标成等比数列且公比为m的项ak,ak+m3要利用等比数列的性质求解基本量，要主要题中各项下标的特点.【题型五：等比数列综合性质的运用】例5．对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列an满足：an-k⋅an-k+1⋯an-1⋅（1）证明：等比数列an是“Q(3)数列”（2）若数列an既是“Q(2)数列”又是“Q(3)数列”，证明：数列an变式51．已知数列{an}满足a1=1026，an+1={A．20 B．21 C．22 D．23变式52．已知数列bn是公比为qq≠1的正项等比数列，且lnb1013=0，若fA．4050 B．2025 C．4052 D．2026变式53．已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn=k⋅an-3（k是常数，k>1）变式54．已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+2（1）求数列{an}（2）设cn=bn+2+(-1)n-1λ⋅2an变式55．约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数mm≠0得到的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．设正整数a共有k个正约数，即为a1，a2，⋯，a(1)当k=4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；(2)当k≥4时，若a2-a1，a3-a(3)记A=a1a一、单选题1．已知数列an满足：a1=1024，点n,an在函数y=aA．2 B．3 C．4 D．52.已知数列an是以a1为首项，q为公比的等比数列，则“a11-q>0”是“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.已知等比数列an的各项均为正数，公比q=2，且满足a2a6=16A．2 B．4 C．8 D．164.已知数列an为正项递增等比数列，a1+a2+aA．2 B．3 C．4 D．55.已知数列an是公差不为零的等差数列，bn是正项等比数列，若a1=bA．a4=b4 B．a5<6.设数列Am：a1，a2，…，amm≥2，若存在公比为q的等比数列Bm+1：b1，b2，…，bm+1，使得bk<ak<bk+1，其中k=1，2，…，m，则称数列Bm+1为数列Am的“等比分割数列”.A．2910,2 B．21011,27.在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有an+2-an+1an+1A．等差数列一定是等差比数列B．等差比数列的公差比一定不为0C．若an=-3D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比8.设等比数列an的公比为q，前n项积为Tn，下列说法不正确的是（A．若T8=B．若T8=C．若a1=1024，且T10为数列D．若a1>0，且T10>T11二、多选题9．已知等比数列an的首项为a1，公比为q，则下列能判断anA．a1=3,q=1C．a1=110.等比数列an的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99A．0<q<1 B．a100C．T100的值是Tn中最大的 D．T99的值是11.已知数列an的通项公式为an=3n，n∈N*，在an中依次选取若干项（至少3项）ak1，ak2，akA．若取k1=1，kB．满足题意的knC．在an的前100项中，akD．如果把an中满足等比的项一直取下去，a三、填空题12．写出一个通项公式an=，使你写出的数列an①am+n+am13.已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，若a2+a414.在等比数列an中，若a1+a3=62，a2四、解答题15．已知数列an(1)若a1+a(2)若a3a5=18，16.在等比数列an中，an>0n∈N*，公比q∈0,1，且(1)求数列an(2)若bn=log2an，求17.已知数列an的前n项和为Sn(1)证明：an(2)求数列an(3)求数列Sn的通项公式，并求出n为何值时，S18.某集团下属公司在2023年的年初有资金5000万元，根据以往经验，若将其全部投入生产，该公司的每年资金年增长率为50%.现集团要求该公司从2023年开始，每年年底上缴资金1000万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司上缴资