暑期复习提升综合测试卷（测试范围必修二）

暑期复习提升综合测试卷考试时间：120分钟满分：150分测试范围：平面向量+三角恒等变换+解三角形+复数+立体几何+统计概率一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据复数运算即可求得复数，再得共轭复数，根据复数的几何意义即可得答案．【解答】解：，，，故在复平面内对应的点位于第四象限．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．2．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，下列命题正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则【分析】根据题意，由直线直线与平面、平面与平面的位置关系依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，若，则，不一定垂直，错误；对于，若，必有，由直线与平面平行的性质，可得，正确；对于，若，必有，而，必有，错误；对于，若，，，不一定垂直，错误．故选：．【点评】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系，涉及直线与平面平行、垂直的性质，属于基础题．3．已知向量，且，则A． B． C． D．2【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：，且，，．故选：．【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．4．某高中志愿者协会共有250名学生，其中高三年级学生50名．为了解志愿者的服务意愿，按年级采用比例分配的分层随机抽样方法抽取50名学生进行问卷调查，则高一年和高二年共抽取的学生数为A．25 B．30 C．40 D．45【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．【解答】解：按年级采用比例分配的分层随机抽样方法抽取50名学生进行问卷调查，则高三年数学生抽取，故高一年和高二年共抽取的学生数为．故选：．【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．5．某户居民今年上半年每月的用水量（单位：如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是A．平均数 B．中位数 C．极差 D．标准差【分析】由平均数和标准差的计算公式可知，平均数与标准差均发生改变，由于最小值没变而最大值发生了变化，因而极差变化了，求中位数，可将数据按小到大顺序排列，由于只有6个数，所以取最中间的两个数并求其平均，即得中位数，因为最中间的两个数没有变化，因而中位数也没有变化．【解答】解：只改变了其中一个数据，根据平均数及标准差的计算公式知，平均数及标准差均发生了变化，实际数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为，错误数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为，所以中位数没有变化，极差变化了．故选：．【点评】本题主要考查了平均数、标准差、中位数和极差的计算公式，属于基础题．6．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，则A． B． C． D．【分析】由已知结合向量的线性运算及向量共线定理即可求解．【解答】解：在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，则，因为，，三点共线，所以，即．故选：．【点评】本题主要考查了向量共线定理的应用，属于基础题．7．已知角，满足，则A． B． C． D．【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．8．已知锐角，角，，所对的边分别为，，，若，，则的取值范围是A．， B． C． D．，【分析】由正弦定理可得三边的关系，再由余弦定理可得，因为三角形为锐角三角形可得的取值范围．【解答】解：，由正弦定理可得，由余弦定理，可得，又，可得，锐角中，，所以，所以，因为，所以，又，所以，所以，即，解得所以，，故选：．【点评】本题考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．复数的共轭复数为．若，则的可能值为A． B． C． D．【分析】设复数，可得其共轭复数，利用复数的运算以及模长公式，列方程得出，的关系，逐个检验选项即可．【解答】解：设复数，则，，，，又，，化简得：，即，排除选项．故选：．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的模长，属于基础题．10．在一次随机试验中，事件，，发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D．【分析】根据事件，，不一定两两互斥，结合概率运算公式和互斥、对立的概念，即可求解．【解答】解：由事件，，不一定两两互斥，所以，，且，所以不一定是必然事件，无法判断与是不是互斥或对立事件，所以、、中说法错误．故选：．【点评】本题考查互斥事件和对立事件，属于基础题．11．如图，在等腰直角三角形中，，，设点，，，是线段的五等分点，则A． B． C． D．的最小值为【分析】选项都是根据平面向量基本定理，将所判断向量适当进行转化即可判断，选项根据对称性，将点关于的对称点作出，则可转化为两条线段的长度之和最小的问题来解决．【解答】解：对于，，故错误；对于，同上可得，，因为在等腰直角三角形中，，所以，，所以，，所以，故正确；对于，设的中点为，则，，，所以，故正确；对于，设的中点为，为线段上一点，设，则，则，，所以，作点关于的对称点，则四边形为边长为1的正方形，故，当，，三点共线时取等号，所以的最小值为，故正确．故选：．【点评】本题考查平面向量基本定理的综合应用，属中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．半径为3，弧长为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为．【分析】根据圆锥体积公式和图形关系直接计算求解．【解答】解：如下图所示，若用半径为3，弧长为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则圆锥底面周长为，圆锥母线长为3，则圆锥底面周长，得，所以圆锥底面面积为，因为，，所以圆锥的高，所以该圆锥的体积为．故答案为：．【点评】本题主要考查圆锥体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．13．已知的外接圆半径为1，则的最大值为．【分析】利用向量的线性运算及数量积运算，结合二次函数的配方法求得最值．【解答】解：设为的外心，则有，当与方向相反时等号成立，而，当且仅当时取等，故的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查向量的线性运算及数量积运算，考查二次函数的最值求法，属中档题．14．如图，圆形纸片的圆心为，半径为12，该纸片，上的正方形的中心为，，，，为圆上的点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，使得点，，，重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为．【分析】连接交于点，设，，，重合于点，正方形的边长为，则，求出的值，再利用勾股定理求，代入球的表面积公式，即可得答案．【解答】解：连接交于点，设，，，重合于点，正方形的边长为，则，因为该四棱维的侧面积是底面积的2倍，所以，解得．设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，如图，则，所以，解得，所以外接球的表面积为．故答案为：．【点评】本题考查四棱锥外接球的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知中，，，，点在边上且满足．（1）用、表示，并求；（2）若点为边中点，求与夹角的余弦值．【分析】（1）根据条件得出，然后即可得出，然后根据进行数量积的运算即可求出答案；（2）根据条件得出，然后进行数量积的运算可求出和的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦值．【解答】解：（1）点在边上，且，，，，且，，，；（2）点为边中点，，，又，．【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘和减法的几何意义，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．16．某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和分位数（精确到；（2）现从技术参数位于区间，，，，，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件“这3件产品中技术参数位于区间，内的产品至多1件”，事件“这3件产品中技术参数位于区间，内的产品至少1件”，求事件的概率．【分析】（1）根据平均数和百分位数的定义求解；（2）由分层抽样可知，三个区间依次抽取3个，2个，1个，再结合古典概型的概率公式求解．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，平均数为：，因为，，所以分位数落在，内，设其为，则，解得，即分位数约为46.7；（2）采用分层抽样，根据三个区间的比例关系，依次抽取3个，2个，1个，区间，内的3件产品记为，，，区间，内的2件产品记为，，区间，内的1件产品记为，从这6件产品中任选3件，所有情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，事件分为：①从，抽0个，从，里面抽2个，从，里面抽1个，包含基本事件为：，，，共1种，所以，②从，抽1个，从，里面抽1个，从，里面抽1个，包含基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共6种，所以，③从，抽1个，从，里面抽2个，从，里面抽0个，包含基本事件为：，，，，，，，，，，共3种，所以，所以．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．17．已知向量，．（1）若，求；（2）若，求．【分析】（1）由平面向量共线的坐标运算和二倍角的正切公式计算即可求得；（2）由条件和平面向量模的计算可得，再由平面向量垂直的坐标表示可求得的值，再由二倍角公式化简即可得．【解答】解：（1），且，，，；（2），，，即，，．【点评】本题考查平面向量平行和垂直得坐标表示，二倍角公式，同角三角函数的基本关系等，属于中档题．18．已知中，．（1）求；（2）若，，求的面积．【分析】（1）由正弦定理得，再由余弦定理得，可得，从而得出；（2）由正弦定理得，得出，再得出，由三角形面积公式可得的面积．【解答】解：（1）设三个内角，，所对边长分别，，，因为，由正弦定理可得，，所以，即，所以，因为，所以；（2）中，，，，由正弦定理，，所以，所以，因为，所以．【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．19．如图，已知斜三棱柱中，平面平面，与平面所成角的正切值为，所有侧棱与底面边长均为2，是边中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角；（3）是边一点，且，若，求的值．【分析】（1）由题意及线面平行的证法，可证得结论；（2）由异面直线的夹角的求法，平移直线可得相交直线所成的角，求出异面直线的夹角；（3）用向量的方法，可得的值．【解答】解：（1）证明：如图，连接与交于点，连，在斜三棱柱中，四边形是菱形，则是的中点，又是中点，即为△的中位线，所以，又平面，平面，可证得：平