3.1.2椭圆的简单几何性质同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆的几何性质一、单选题1．已知椭圆的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于（）A．8 B．7 C．12 D．142．椭圆与关系为（）A．有相等的长轴 B．有相等的短轴C．有相等的焦点 D．有相等的焦距3．在椭圆上有一点P，、是椭圆的左右焦点，为直角三角形，则这样的点P有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个4．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（）A． B．C． D．5．设、，条件甲：，条件乙：，则条件甲是条件乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知点是椭圆上非顶点的动点，，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，若是的平分线上一点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、多选题9．关于椭圆有以下结论，其中正确的有（）A．离心率为 B．长轴长是C．焦点在轴上 D．焦点坐标为(-1，0)，(1，0)10．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A．B．离心率C．面积的最大值为D．以线段为直径的圆与直线相切11．已知椭圆C1：(a1＞b1＞0)和椭圆C2：(a2＞b2＞0)的焦点相同且a1＞a2．给出如下四个结论，其中正确的结论有（）A．椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；B．C．D．12．黄金分割比例具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（）A．椭圆是“黄金椭圆”B．若椭圆的右焦点为，且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”C．设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若，则该椭圆为“黄金椭圆”D．设椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是，，若，则该椭圆为“黄金椭圆”三、填空题13．与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且b=2的椭圆方程是_______.14．设为椭圆的左､右焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为___________.15．已知椭圆的焦点，，长轴长为6，设直线交椭圆于，两点，则线段的中点坐标为________.16．曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：上点处的曲率半径公式为.若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离心率为___________.四、解答题17．已知椭圆的焦距为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点，点B在椭圆C上，求线段长度的最大值.18．已知椭圆C：＋＝1经过点(0,)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M，且＝λ，＝μ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由.19．已知动点到点的距离与直线的距离的比值为，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线与曲线交于，两点，为原点，求三角形面积的最大值．20．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．

（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)参考答案1．A由题得，解之得.故选：A2．D解：椭圆的长轴为10，短轴为6，焦距为8，焦点分别为，椭圆的长轴为，短轴为，焦距为8，焦点分别为，所以两椭圆的焦距相同，故选：D3．D解：①当轴时，有两个点满足条件；同理，当轴时，有两个点满足条件；②，，．以原点为圆心、5为半径的圆与椭圆相交于四个点，这四个点都满足条件．综上可知：能使△为直角三角形的点共有8个．故选：．4．BA.由，得，，离心率为；B.，得，，离心率为；C.，得，，离心率为；D.，得，，离心率为，因为，所以更接近于圆.故选：B.5．A充分性：由于，可得，得，同理可得，所以，条件甲是条件乙的充分条件；必要性：当，，取，，则，所以，条件甲不是条件乙的必要条件.综上所述，条件甲是条件乙的充分不必要条件.故选：A.6．C当时，，由条件知，解得；当时，，由条件知，解得，综上知C正确．故选：C．7．B如图，延长交的延长线于点，∵，∴.又为的平分线，∴，且为的中点.∵为的中点，∴.∵，∴，∵，且，∴.故选：B8．A设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c根据题意可知，

所以椭圆的离心率，选项A正确故选：A.9．AD将椭圆方程化为标准方程为所以该椭圆的焦点在轴上，故C错误；焦点坐标为，故D正确；长轴长是故B错误因为所以离心率故A正确.故选：AD.10．AD由题意，椭圆，可得，可得，所以焦点为,根据椭圆的定义，所以A正确；椭圆的离心率为，所以B错误；其中面积的最大值为，所以C错误；由原点到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.故选：AD11．ABD由已知条件可得，可得，而，则，可知两椭圆无公共点，即A正确；又，知B正确；由，可得，则与的大小关系不确定，不正确，即C不正确；∵，∴，而又由，可得，即D正确．综上可得，正确的结论为ABD．故选：ABD．12．ABC对于A：由题意得，，故，故椭圆是“黄金椭圆”，故A正确；对于B：，即，故，解得或（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”，故B正确；对于C：由得，化简可知，解得或（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”，故C正确；对于D：由，得，则（负值舍去），故该椭圆不是“黄金椭圆”，故D错误．故选：ABC13．.解：椭圆，即，，且焦点在y轴上，椭圆的焦点与椭圆有相同焦点，椭圆的半焦距，又b=2，，椭圆的标准方程为.故答案为：.14．依题意，，右焦点，如图，因线段的中点在y轴上，而O是线段，于是得PF2//y轴，即PF2⊥x轴，由得，则有，于是有，，所以的值为.故答案为：15．由已知条件得椭圆的焦点在轴上，其中，，从而，∴其标准方程是：，联立方程组，消去得，.设、，线段的中点为，则，，∴，即线段中点坐标为.故答案为：16．解：因为点在椭圆上，则，即，所以，因为，所以，则，所以，因为曲率半径最大值是最小值的8倍，所以，即，所以，则椭圆的离心率为，故答案为：.17．（1）（2）（1）依题意，得，离心率，所以，所以椭圆C的标准方程为.（2）设，则，则有所以，由两点间的距离公式，得，因为，所以当时，线段的长度最大，为.18．（1）＋＝1（2）是定值，－解：（1）依题意得：b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1；（2）直线l与y轴相交于M，故斜率存在，又F(1,0)，设直线l方程为y＝k(x－1)，则M(0,－k)，设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，又＝λ，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝，同理μ＝，∴λ＋μ＝＋＝＝＝－.∴当直线l的倾斜角变化时，λ＋μ的值为定值－.19．（1）（2）解：（1）设点，根据题意得化简得，所以曲线C的方程为（2）(2)设直线与曲线交于两点的坐标分别为，联立得所以，，所以=所以