2020届西藏日喀则市高三上学期学业水评测试（模拟）数学（理）试题（解析）

2020届西藏日喀则市高三上学期学业水评测试（模拟）数学（理）试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】，则

故选：A【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2．若复数满足，则在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】由题意iz＝1+2i，∴iz（﹣i）＝（1+2i）•（﹣i），∴z＝2﹣i．则在复平面内，z所对应的点的坐标是（2，﹣1）．故选D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知向量,,且,则=()A．5 B． C． D．10【答案】B【解析】【详解】因为所以，,故选B.4．为了落实中央提出的精准扶贫政策，永济市人力资源和社会保障局派人到开张镇石桥村包扶户贫困户，要求每户都有且只有人包扶，每人至少包扶户，则不同的包扶方案种数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先分组再排序，可得知这人所包扶的户数分别为、、或、、，然后利用分步计数原理可得出所求方案的数目.【详解】由题意可知，这人所包扶的户数分别为、、或、、，利用分步计数原理知，不同的包扶方案种数为，故选C.【点睛】本题考查排列组合的综合问题，考查分配问题，求解这类问题遵循先分组再排序的原则，再分组时，要注意平均分组的问题，同时注意分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．若，且，则的值为A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴，∴．选B．6．设满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由题意，画出约束条件画出可行域，结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解.【详解】由题意，画出约束条件画出可行域，如图所示，目标函数可化为，当直线过点A时，此时在轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．7．已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】通过分段法，根据指数函数、对数函数和三角函数的性质，判断出，由此选出正确结论.【详解】解：∵，，，；∴.故选C.【点睛】本小题主要考查利用对数函数、指数函数和三角函数的性质比较大小，考查分段法比较大小，属于基础题.8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．【详解】选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；选项D正确，由，便得，又，，即.故选：D.【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，属于基础题.9．函数（且）的图象可能为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.【考点】1.函数的基本性质；2.函数的图象.10．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（）A．0 B．2 C．4 D．14【答案】B【解析】【详解】由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选B．11．在中，，，，则的面积为（）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】首先利用余弦定理求出，利用三角形面积计算公式即可得出．【详解】由余弦定理可得：，化为：，解得，∴的面积，故选C．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．过点P作于点，由定义可得,所以，由图形可得，当三点共线时，最小，此时．故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A．点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．二、填空题13．曲线在（其中为自然对数的底数）处的切线方程为______．【答案】【解析】求出原函数的导函数，得到（e），再求出（e）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．【详解】由，得，（e）．即曲线在点，（e）处的切线的斜率为2，又（e）．曲线在点，（e）处的切线方程为，即．故答案为【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．14．在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）【答案】57【解析】先求出的展开式中的常数项和的系数，再求的常数项.【详解】由题得的通项为，令r=0得的常数项为,令-r=-2，即r=2,得的的系数为.所以的常数项为1+2×28=57.故答案为57【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15．点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点,且到坐标原点的距离为7，则___________.【答案】22【解析】先利用三角形的中位线的性质，可得，再利用双曲线的定义，，即可求得．【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，则是的中位线，到坐标原点的距离为7，又由双曲线的定义，得故答案为22．【点睛】本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的定义，考查三角形中位线的性质，属于基础题．16．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是_________________【答案】【解析】根据堑堵定义以及长方体性质可得阳马的外接球的直径为，再根据球的表面积公式求结果.【详解】由于两两相互垂直，所以阳马的外接球的直径为，即，因此外接球的表面积是.【点睛】若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．三、解答题17．已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得，可得是等比数列；（2）由（1）可得，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得数列的前项和.【详解】（1）当时，，当时，即：，数列为以2为公比的等比数列.（2）两式相减，得.【点睛】错位相减法求数列的和是重点也是难点，相减时注意最后一项的符号，最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望.【答案】⑴在甲组抽取2人，在乙组抽取1人.（2）（3）见解析【解析】⑴根据分层抽样的抽取比例可以确定各组抽取的人数，容易求.⑵从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，那么还需抽取1名男工人，根据古典概型公式，即可.⑶抽取的3名工人中男工人数可以是0，1，2，3，有四种情况，一一列出，构成分布列，根据数学期望公式完成计算.【详解】⑴按照抽取的比例，甲组和乙组抽取的人数分别为，所以应在甲组抽取2人，在乙组抽取1人.⑵设从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的事件为A,则P(A)=.⑶依题意由,,得的分布列如下表：

0

1

2

3

P

所以的数学期望19．如图,直三棱柱中,分别为的中点.(1)证明:平面;(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】(1)法一：要证平面，只需证明即可，通过构造平行四边形可证之；法二：可先证平面平面，利用面面平行的性质即可得到平面;（2）法一：由于即为与平面所成的角，利用数据求之；法二：（等积法）利用等积法计算出到平面的距离，从而要求的答案为：即可.【详解】（1）法一：取中点，连接，在直三棱柱中，.∵为中点，为中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴平面.法二：取中点，连结，在直三棱柱中，.∵为中点，为中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.∵分别为中点，∴.又平面，平面，∴平面.平面平面.平面平面.（2）法一：直三棱柱中，平面，∴.又∵，且，∴平面.过作于.∵平面，∴.又平面.又即为与平面所成的角..法二：（等积法）与平面所成的角相等.连结，直三棱柱中，平面，∴.又平面.，.设到平面的距离为，.∵，即.设与平面所成的角为，.【点睛】本题主要考查线面平行，线面角所成正弦值的相关计算，意在考查学生的空间想象能力，分析能力，转化能力，计算能力.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率，点P为椭圆上的一个动点，面积的最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据题意列出方程组，求解，即可求得椭圆的标准方程；

(2)

当直线与中有一条直线斜率不存在时，有；当当直线斜率存在且，设方程为，设，，与椭圆方程联立求出，利用弦长公式求出，同理求出，从而表示出,根据题意求出k的取值范围从而求出的范围.【详解】解：(1）由题意得，当点是椭圆的上、下顶点时，的面积取最大值此时所以因为，所以，所以椭圆方程为（2）由（1）得椭圆方程为，则的坐标为因为，所以①当直线与中有一条直线斜率不存在时，易得②当直线斜率存在且，则其方程为，设，则点、的坐标是方程组的两组解所以所以所以此时直线的方程为同理由可得令，则，因为，所以所以综上【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，韦达定理，弦长公式，属于较难题.21．设函数，.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若函数没有零点，求的取值范围.【答案】当时，的增区间是，当时，的增区间是，减区间是；【解析】（1）求函数f（x）的导数，利用导数和单调性之间的关系即可求函数的单调区间；（2）根据函数f（x）没有零点，转化为对应方程无解，即可得到结论．【详解】，，，当时，，在区间上单调递增，当时，令，解得；令，解得，综上所述，当时，函数的增区间是，当时，函数的增区间是，减区间是；依题意，函数没有零点，即无解，由1知：当时，函数在区间上为增函数，区间上为减函数，只需，解得．实数a的取值范围为【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，函数的零点，考查学生的运算能力，是中档题22．在极坐标系中，圆.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，直线经过点且倾斜角为.求圆的直角坐标方程和直线的参数方程；已知直线与圆交与，，满足为的中点，求.【答案】（1），，(为参数，).（2）【解析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可求解圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的形式，即可求得直线的参数方程；将直线的方程代入圆的方程，利用根与系数的关系，求得，，由为的中点，得到，求得，即可求得的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，圆，可得，因为，，所以，即，根据直线的参数方程的形式，可得直线:，(为参数，).设对应的参数分别为，将直线的方程代入，整理得，所以，，又为的中点，所以，因此，，所以，即，因为，所以，从而，即.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，直线参数方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23．已知函数.（1）解不等式；（