2020-2021学年高中数学新教材第一册教案：32 函数的基本性质 四 含答案

第2课时奇偶性的应用

【学习目标】lo掌握用奇偶性求斛析式的方法。2.理努奇偶性对

单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式、

知识梳理梳理教材夯实基期

知识点一用奇偶性求斛折式

如果已知困教的奇偶性和一个区间［a,b］上的斛析式，想求

关于原点的对称区间［-"-例上的斛折式，其斛决思路为：

（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求斛折式，x就应在哪个区

间上设.

（2）要利用已知区间的解析式进行代入、

C3J利用“X）的奇偶性写出一人起）或八一工）,从而斛出力＞入

知识点二奇偶性与单调性

若函数/G）为奇的数，贝11於）在关于原点对称的两个区间［a,

口和［-6,-a］上具有相同的单调性；若函数/G）为偶函数，

则/G）左关于原点对称的两个区间［a,b］和［一b,-a］上

具有相反的单调性、

预习小测自我检验

L若«x）的定义域为R,且/小）为奇舀教，则〃0）=o

答案0

2、若于（x）为R上的奇的数，且在［0,+8）上单调的减期4一

1）_______/（I）、（填“〉”"二”或“v”）

答案>

斛析了为R上的奇法数，且在10,+8）上单调遹减，

：.f⑴在R上单调递减,

•vr-u次1）.

3、如果奇舀数人起）在区间［-7,-3J上是减困教，那么舀教/

G）在区间［3JJ上是_________函数、

答案臧

斛折・・7W为奇函数，，处d在口」］上的单调性与［-7,

一3］上一致，：.fix）在13,7］上是减函数、

4、函数应力为偶函数，若X〉。时，fix）=x,则x<0时/（x）

答案-x

解析方法一令”0,则一X〉0,

/•X-X）=-X,

又•：大X）为偶的数,•••/（一幻=«力，

-•fix）=-x（x〈0）、

方法二利用图象(图略)可得x<0时,fix)="Xo

题型探究探究重点索养提升

-------------------------------------------------------------1------------------

一、利用舀教的奇偶性遥晶式

命题角度1求对称区间上的解析式

例1舀教/Cd是定义域为R的奇函数，当x〉0时/(x)=-

x+L求当x<0时,於)的解析式.

考点舀教奇偶性的应用

题点利用奇偶性求函数的解析式

解设x<0,则-x>0,

：.fi-x)=-(-x)+l=x+l,

又二函教人x)是定义域为R的奇函教，

•二当x〈0时，fix)=一于(-x)=-x-1o

反思感悟求给定哪个区间的督析式就设这个区间上的变量为

X,然后把X转化为-X,此时-X成为了已知区间上的斛析式中的

变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求

区间上的斛析式、

跟踪训练1已知是R上的奇函数，且当x£(0,+oo)时，

fix)=x(l+x),求。G)的斛折式、

解因为x£(—oo,0)时，—(0,+oo),

所以=-x[l+(-x)]=x(x-1).

因为/U)是R上的奇函教，

所以/(X)=-fi-x)=-x(x-l),x£(-8,0)、

AO；=o.

所以f(x)=[xl+x>»-xx-1,%<0o

命题角度2构造方程组求斛折式

例2设«¥)是偶函教，g(x)是奇函教，且於J+g(x)=~_

求的教/(x),gG)的斛析式、

考点函数奇偶性的应用

题点利用奇偶性求舀教的解析式

斛G)是偶函教名(外是奇函教，

.V(-x)=fix),g(-x)=-g(x),

由・/0〃+g(X)=错误!。①

用一大代卷

得-X)+g(一X)二错误！，

••fix)-g(x)=错误！，②

(①+②)：2,</(X)=错误!；

r①一②)“，得冢了)=错误!。

反思感悟fix)+g(x)=错误!对定义域内任意X都成立，所以可

以对X任意赋值，如X=一X.

利用/G)，g(X)一奇一偶，把-X的负号或提或靖，最终得到

关于次幻，g(X)的二元方程组，从中斛出於)和8(工)、

跟踪训练2设/(口是偶函教，g(x)是奇法数，且/Cr)+g(x)

=x1+2x,求困教«x),g(x)的解析式、

考点、函数奇偶性的应用

题点利用奇偶性求舀数的解析式

解：兀力是偶的教，以九)是奇函教，

(-x)=fix),g(-％)=-g⑴，

由/(x)+g(x)=2x+42.①

用一尢代存X,

得八一X)+g(-X)=-2x+(-x)2,

:•于(x)-g(x)=-2x+/,②

(①+②)：2,得/⑴=N;

(①-②)：2,得g(x)=2%o

二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小

例3设偶函数/G)的定义域为R,当x£[0,+oo)时，

是增函教期八一2),八兀)，X-3J的大小关东是()

A、f(n)>f(-3)>f(-2)

B.f⑺〉

C.J(K)</C-3)</(-2)

D/元)</(-2)〈卜3)

答案A

斛析因为困数«x)为R上的偶舀教，

所以八-3)=/(3),f(-2)=/2).

又当［0,+ooj时，fG)是增舀数，且兀>3>2,

所以的)>f(3)>X2),X-3)>/C-2J.

反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小

n)t变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大

小；

(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函教的奇偶性杷自变量

转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小、

跟踪训练3(1)已知偶舀教/U)在［0,+8)上单调遹减，则/CD

和/(一10)的大小关余为()

A.八1)次-⑼B.XD<A-1O)

c、f(\)=A-10)D、为1)和八一10)关系不定

答案A

解析e.y(X)是偶函数，且在［o,+刈上单调遹减，

.,.X-io)=/noj

(2)定义在R上的奇函数/G)为增函数，偶函教g(x)在区间

［0,+8)上的图象与人力的图象重合，设下列不等式中

成立的有、(埴序号)

①.)〉f(一6;②…)>

③g(。)〉g(-b)；④g(-a)<g(b)；

⑤g(-a)>fi-a).

答案①③⑤

解析f的R土奇函数，增函教，且〃〉。>0,

/.»>f(b)>,0)=0,

又一a<—b<0,：.f(-d)<fi-b)<fCOJ=0,

:.f(a)>fib)>0>f(-b)次-a),

，①正确，②错误，

xGfO,+切时，gOJ=/U)，

，g(x)在［0,+8)上单调遹增,

；・g(-a)=g(a)>g(b)=g(一Z?),•••③正确，④错误、

又g(-a)=g(a)Ji-a)，，⑤正确、

三、利用函数的奇偶性与单调性斛不等式

例4(1)已知/(幻是定义在R上的偶函数，且在区间(-a)90J

上是增函数,若于(-3)=0,则错误<0的解集为.

答案［x\-3<x〈0或x〉3}

斛析e//(x)是定义在R上的偶舀数，且在区间(-8,0)上是

增函教，

在区间(0,+切上是减函数、

：.ff3)=/(-3J=0o

当x〉0时,由/(x)〈0，解得X〉3;

当x〈。时，由«x)〉0,解得一3〈x<0o

故所求解集为［x\-3<x<0或入〉3}、

(2)已知偶函数/U)在区间［0,+8)上单调递增，则满足人21

一1)勺'错误!的光的取值花围为()

A.错误！Bo错误！

Co错误！D.错误！

答案A

斛析由于/CU为偶能教，且在［0,+8)上单调的增，则不等

式八缄一1)勺>错误!,

即一错误！〈2%一1〈错误!，

斛得错误！<X〈错误!.

反思感悟利用函数奇偶性与单调性斛不等灰，一般有两类

（1J利用图象解不等式；

（2）转化为简单不等式求解、

①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为了

（X\）＜f（X2）^ffxi）＞/（X2）的形式；

②根据奇舀教在对称区间上的单调性一玫，偶舀数在对称区间上

的单调性相反，脱掉不等式中的“广转化为简单不等式（组）求解、

跟踪训练4设定义在［-2,2］上的奇困数/0U在区间［0,

2］上是减函数，若人1-相）勺（机）,求实教机的取值范囹、

解因为兀U是奇函数且人力在C0,2］上是减困教，

所以/G）在［-2,2］上是减函数、

所以不等式/（1-加）勺（加）等价于错误！

斛得一l＜m〈错误!。

所以实数根的取值范围为错误!.

随堂演练基础巩固学以致用

-------------------------------------------------------------N------------------

1、若函数"幻是R上的偶舀数，且在区间10,+00）上是增函教，

则下列关余成立的是（）

A.f（-3）＞f（0）＞AD

B,X-3J＞/（1J＞f（0）

c、AD>XOJ>X-3J

D.XD>A-3)>/coj

考点抽象函数单调性与奇偶性

题点抽象因教单调性与不等式结合问题

答案B

斛折•••/(-3)=/(3),且/G)在区间［0,+◎上是增困教，

.VC-3J/D/0人

2、定义在R上的偶舀教/G)在£0,+8)上是增舀教，若/(外

〈艮b),则一定可得()

A、〃B、a>b

C,|a|<\bID,0<a<b或a>b>0

考A抽象的数单调性与奇偶性

题点抽象舀教单调性与不等式结合问题

答案C

3、已知函数/(X)为偶的数，且当XV。时次X)=X+1,贝！1X〉

0时,fix)=.

答案-x+1

斛析当x〉0时，-x〈0,，火-x)=-x+L

又/(x)为偶的数，=-x+1o

4。奇函数人力在区间ro,+8)上的图象如图，则函教

的增区间为

答案(-00»—1],[1,+oo)

解析奇函数的图象关于原点对称，可知舀数式幻的增区间为(一

00,-1],[1,+00)、

5、已知偶的教ZU)在10,+8)上单调适减，/(2)=0。若/

则x的取值范围共__________、

答案(-1,3)

斛析因为兀力是偶函教，所以/1)二/1|工一1|)、

又因为=0,

所以fCx-i)>o可化为/rIx-iu次2人

又因为“X)在E0,+8)上单调递减，

所以Ix-1|<2,斛得—2〈X—1<2,

所以一1〈工V3。

■课堂小结・

1知识清单：

(1)利用奇偶性，求函教的斛析式、

(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式，

2、方法归纳：

利用函教的奇偶性、单调性画出困数的简图，利用图象斛不等

式和比较大小，体现了教形结合思想和直观想象教学素养、

3、•常见误区：斛不等式多忽视舀教的定义域.

课时对点练---------注--重-双-基-强、-化-落--实

▼基础巩固

1、设函数#d=错误!且/(x)为偶%教，则g(-2)等于()

A、6B4—6C、2D、—2

考点舀教奇偶性的应用

题点利用奇偶性求函数的解析式

答案A

解折g(-2)=/-2)=/(2)=22+2=6o

2、如果奇函数/rw在区间［-3,一口上是增的数且有最大

值5,那么函数/G)在区间［1,3］上是()

A、增困数且最小值为-5

B、增舀数且最大值为-5

C、减舀数且最小值为-5

D、减函数且最大值为-5

答嚎A

解析,我幻为奇舀教,.GJ在n,3］上的单调性与3,-

口上一致且/门)为最小值，

又已知八—1)=5,/./(-1)=-/1J=5,

：.fCl)=-5,故选A。

3、已知函数y=.f(x)是R上的偶函教，且/Cx)在匚0,+oo)上是

臧函教，若人勿汰-2),则。的取值范围是()

A.a<-2B、a>2

C、aS-2或QN2D、-2SQS2

答嚎D

斛析由五。)/一2)得八⑷)次2),

^•\a|<2,/.-2<a<2.

4、已知舀教y=«x)是偶函数，其图象与x轴有4个支点，则

方程汽幻=0的所有实根之和是()

A、4B、2C、1D、0

答案D

斛析y=/G)是偶舀数，所以y="x)的图象关于y轴对称，所

以f(x)=0的所有实根之和为0.

5、设/G)是R上的偶函数，且在(0,+8)上是减舀数，若xi<0

且Xl+X2>0,贝J()

A、X-xi)>kX2)

B.fi-xx)=A-％2)

C.A-Xl)<A-X2)

D.7(一Xl)与/(一X2)的大小不确定

考点抽象函数单调性与奇偶性

题点抽象困数单调性与不等式结合问题

答案A

斛析Vxi<0,xi+%2>0,

/•X2>-Xl>0,

又/G)在(0,+8)上是减舀教，

:小X2)</r-xi),

9：f(X)是偶函教，

:•于(-X2)=fiX2)<f(-XI).

6、设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=N+1,

5V(-2)+型)=。

答案一5

斛析由题意知八-2)=-/(2)=-(22+1)=-5,=0,

,V(-2)+/CO)=-5o

7、已知奇舀数人划在区间［0,+oo)上单调的增则满足了小)〈/

(1)的X的取值范囹臭_________.

考点抽象法教单调性与奇偶性

题点抽象函数单调性与不等式结合问题

答案(—8,1)

斛析由于/G)在［0,+8)上单调的增,且是奇函数，

所以/G)在R上单调的增，

/%)</(U等价于x<1.

8、若于(x)=(加一l)x2+6mx+2是偶困教，则/(0入f(T),大一

2)从小到大的排列共_________、

答案</ro)

斛析・・7(x)是偶函教，

:•艮-x)-fix)恒成立,

即Cm-l)x2-6nvc+2=(m-1)/+6mx+2恒成立，

m=0,即“X)=-x2+2o

•••“X)的图象开口向下，对称轴为)，轴，在fO,+(X)J上单调的减,

.•遂2)</U〈心),

即八一2)勺U)40).

9、已知函数y=/(x)的图象关于原点对称，且当X〉。时«r)=

x2-2%+3.

(1)试求/OU在R上的解析式；

(2)或出舀数的图象，根据图象写出它的单调区间、

考点单调性与奇偶性的综合应用

题点求奇偶函数的单调区间

斛(1)因为困数/(x)的图象关于原点对称，

所以代x)为奇困数,则<0)=0.

设x<0,则-x>0,

因为当x>0时次x)=x2-2%+3o

所以当x〈0时/I)=-/(-x)=-(x2+2x+3J=-x2-2x

—3o

于是有f(X)=错误！

(2J先同出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧

的图象，如图、

由图象可知函数/G)的单调遹增区间是-1>[1,+8,

单调适臧区间是(一1,0),(0,1人

10、已知函数/G)二"+错误！+C(Q,by。是常教)是奇函教，

且满足式1)=错误!，犬2)=错误!。

ClJ求mb,。的值；

(2)试判断舀数在区间错误!上的单调性并证明、

考点单调性与奇偶性的综合应用

题点判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性

斛(\y：fix)为奇的数，-/(X),

-ax-错误！+c=-ax-错误！-c,

c=0,:・f(x)=ax+~.

JC

又‘：fri)=错误!{2)=错误！，

/•错误！

：.a=2,人=错误!.

综上，。二2,b二错误！，c=Oo

(2)由(1)可知/G)=2x+上

函数“X)在区间错误!上为减舀教、

证明如下：

任取0<Xl<X2〈错误!,

贝」/(%。-J(X2)=2%1+错误！-2X2-错误!

=(x\-X2)错误！

=(为一九2)错误!.

V0<Xl〈X2〈错误!，

•e.Xl-X2<0,2xiX2>0,4X1X2-1<0.

.7A%D—五皿)>o,即1％1)〉“12，

^fix)在错误!上为戒舀教、

V综合运用

1L设奇函数/行)在C0,+8)上为减的教，且=0,则不

等式错误！〈0的斛集为()

A、(-1,0)U(1,+oo)

B、(-oo,-ljU(0,1)

C、C-00,-l)U(l9+ooJ

D、C-1,O)U(0,1)

答案c

斛折<•*/(X)为奇舀教，错误！〈0,

喏<0,

••7(X)在(0,+00)上为减名数且/(1)=0,

•••当1〉I,f(x)<0.

丁奇的教图象关于原点对称，

,在(一oo,0)X/(x)为减舀数且=0,

即x<-1时，J(x)>0o

综上使错误！〈。的斛集为C-009-1JU(1,+切、

12.已知/(x+y)+/(y)对任意实数x,y都成立，则济

数是()

A.奇舀教

B、偶函教

C、既是奇身教，也是偶困教

D.既不是奇函教，也不是偶函教

答案A

解析令x=y=0,所以10)=fCO)+/0J,

所以/(0)=0o

又因为/I一力=fix)+X-xJ=0,

所以f(-x)=-于(x),

所以f(x)是奇舀教，故选A。

13、已知y=.f(x)+%2是奇舀教且/(1)=1,若g(x)=f(x)

+2,贝ilg(-1)=o

考点函数奇偶性的应用

题点利用奇偶性求函数值

答案-1

斛析Vy=/x)+x2是奇函教，

22

•VC-xJ+(-X)=-[/,(X)+X]9

•\Ax)+H-x)+2/=0,：.f(1)+/-1J+2=0.

V/ClJ=1,/•/C-U=-3o

,:g(x)=f(x)+2f=卜