北师大版九年级下册利用三角函数测高教学设计

教学设计

一、教学目标：

1、知识与能力：能自制侧倾器、设计活动方案，用锐角三角函数解决测量物体高

度的问题。

2、过程与方法：经历自制侧倾器，设计活动方案，用锐角三角函数解决测量物体

高度的问题，运用侧倾器进行实地测量以及撰写活动报告的过程。能熟练操作侧倾

器，能对测量的结果进行分析矫正，能综合运用锐角三角函数的知识解决问题，培

养学生的应用意识和动手能力。

3、情感、态度与价值观：让学生在“测量物体的高度”这一活动过程，理论与实际

相结合，培养学生积极向上、集体合作的团队意识和踏实认真的科学精神。

二、教学重、难点

教学重点：

自制侧倾器、设计活动方案，解决测量物体的高度的问题。

教学难点：

理论与实际相结合，解决测量物体的高度1,匚

教学设计

一、如何测量倾斜角9

（1）测量倾斜角可以用测倾器,

--简单的侧倾器由度盘、

铅锤和支杆组成

（2）使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:

1、把支架竖直插入地面，使支架的中心线、

铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的

顶线PQ在水平位置。

2、转动转盘，使度盘的直径对准目标M,记下此时

铅垂线所指的度数。

二、测量底部可以直接到达的物体的高度:

“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地

直接测得测点与被测物体底部之间的距离.

要测旗杆MN的高度，可按下列步骤进行：（如图）

L在测点A处安置测倾器（即测角仪），测得M的仰角NMCE二

2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=1.

3.量出测倾器（即测角仪）的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）.

根据测量数据，就能求出物体MN的高度.

ME

在RtAMEC中，ZMCE=a,AN=EC=1,所以tana=EC,即ME=tana*EC=1*tan

又因为NE=AC=a,所以MN=ME+EN=1•tana+a.

三、测量底部不可以到达的物体的高度.

1.在测点A处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M的仰角NMCE=a.

2.在测点A与物体之间的B处安置测角仪（A、B与N都在同一条直线上），此时

刎得M的仰角NMDE=B.

3.量出测角仪的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB二b

根据测量的AB的长度，AC、BD的高度以及NMCE、NMDE的大小，根据直

角三角形的边角关系.即可求出MN的高度.

四、生活应用

.MEME

在RtAAMEC中，ZMCE=a>则tana=—,EC=——；/

ECtana

,qicMEME

在rRtZ\MED中，ZMDE=B贝Utang=—，ED=---；/

aDtanp

3g1"r।MEME

根据CD=AB=b,且CD=EC-ED=b,所以;--:-7

tanatanp

ME=ibiMN=丁']Ta即为所求物体MN的高度

■———・,

tanatan尸tanatan尸

合理运用测量数据求大厦的高度。

五、感悟收获

本节课中你学会了什么？你有什么感悟？

⑴侧倾器的使用

⑵误差的解决办法一用平均值

六、当堂检测

1.大楼AD的高为100米，远处有一塔BC,某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60°,

爬到楼顶D测得

塔顶B点仰角为30°,求塔BC的高度.

2.如图，在离铁塔150米的A处,用测角仪测得塔顶的仰角为30°,已知测角仪高

AD=1.5米，求铁塔高BE.

七、作业

I.分组制作简单的测倾器.

2、测学校新盖实验楼的高度。（底部可直接到达）

3、测学校旗杆的高度。（底部不可直接到达）

并撰写一份活动报告，阐明活动课题、测量示意图、测得数据和计算过程等.

1.6利用三角函数测高

基础题

知识点1测量底部可以到达的物体的高度

1.如图，为测量一棵与地面垂直的树0A的高度，在距离树的底端30米的B处，测

得树顶A的仰角ZAB0为a,则树OA的高度为(0

30

A.-t-a-n-a-米1B.30sina米

C.30tana米D.30cosa米

2.如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°.若水平

距离BD=10m,楼高AB=24m,则树CD高约为(C)

A.5mB.6m

C.7mD.8m

3.如图，从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底

部点C处的俯角为45°,看到楼顶部点D处的仰角为60°,已知两栋楼之间的水平

距离为6米,则教学楼的高CD是(A)

A.(6+诲)米

B.(6+3/)米

C.(6+2#)米

D.12米

4.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB,小明在与BC相距121n的F处，由E点观测到

旗杆顶部A的仰角为52。，底部B的仰角为45°,小明的观测点与地面的距离EF

为1.6m,求旗杆AB的高度(结果精确到0.1m,参考数据位Q1.41,sin52°^0.79,

tan52°^1.28).

解：过点E作EH_LAC于点H,则EH=FC=12m,

在RtZ\AEH中，AH=EH•tanZAEH=12X1.28=15.36(m).

VZBEH=45°,

.*.BII=EII=12m.

.\AB=AH-BH=3.36^3.4m.

答：旗杆AB的高度约为3.4m.

知识点2测量底部不可以到达的物体的高度

5.如图，在高度是21nl的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°,底部D

处的俯角为45°,则这个建筑物的高度CD=（21+7、@m.

6.如图所示，河对岸有古塔AB,小敏在C处测得塔顶A的仰角为Q,向塔走s米到

达D,在D处测得塔顶A的仰角为B,则塔高是卢詈甘七米.

tanB-tana

7.盐城电视塔是我市标志性建筑之一.如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求

测电视塔的高度AB.小明在D处用高1.5米的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角

为30°,然后向电视塔前进224米到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°.

求电视塔的高度AB（力取1.73,结果精确到0.1米）.

解：设AG=x.

*入「AG

在RtAAFG中,・.・tanNAFG=可,

,•・FG=tan60。=击

在RtAACG中,VtanZACG=77,

下=224.解得XF93.8.

AAB=193.8+1.5=195.3（米）.

答：电视塔的高度AB约为195.3米.

中档题

8.（2019•吉林）数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使

用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含a,b,a的代数式表

示旗杆AB的高度.

数学活动方案

课题测量学校旗杆的高度

活动

运用所学数学知识及方法解决实际

目的

问题

方案

A

示意图测量

D,/f

^L

C__rR

步骤⑴用测角仪测得NADE=a；

(2)用皮尺测得BC=a米，CD=b米.

计算

过程

解：计算过程：ZADE=a,DE=BC=a,BE=CD=b.

在RtZXADE中，ZAED=90°.

AE

tanZADE=—,

DE

AE=DE•tanZADE.

AE=atana.

；・AB=AE+BE=(b+atana)米.

9.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.己知小明的眼睛与地面的距

离(AB)是1.7m,看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5

m,看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距30米且位于旗杆两侧(点B,N,D在同一

条直线上)，求旗杆MN的高度(参考数据：出亡1.4,小七1.7,结果保留整数).

解：过点A作AE_LMN,垂足为E,过点C作CFJ_MN,垂足为F.

设ME=x,RtZ\AME中，NMAE=45°,

，AE=ME=x.

RSMCF中，MF=x+0.2,

CF=MF^k/i-（x+0.2）,

；BD=AE+CF,

，x+/(x+0.2)=30.

Ax^ll,即AE=11.

AMN=11+1.7^13.

答：旗杆MN的高度约为13米.

综合题

10.九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了

测量.

(1)如图1,第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果

测量得到NCDB=38°,求护墙与地面的倾斜角Q的度数；

⑵如图2,第二小组用皮尺量得EF为16米(E为护墙上的端点)，EF的中点离地面

FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度；

(3)如图3,第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点

P处测得旗杆顶端A的仰角为45°,向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°,

求旗杆AE的高度(精确到0.1米,参考数据：tan60°21.732,tan30°^0.577,小

^1.732,^2^1.414).

解：(1)VBD=BC,AZCDB=ZDCB.

/.a=2ZCDB=2X38°=76°.

⑵设EF的中点为M,过点M作MNJ_BF,垂足为N,过点E作EH_LBF,垂足为H,

1

AMN//-EH.

—L

又・・・MN=L9,

AEH=2MN=3.8.

答：E点离地面FB的高度是3.8米.

⑶延长AE交PB于点K.

设AE=x,则AK=x+3.8.

VZAPB=45°,，PK=AK=x+3.8.

TPQ=4,.・.KQ=x+3.8—4=x—0.2.

AKi~

VtanZAQK=—=tan60=\3,

WK

x+38l18+第

A=

7^O72^,解得x=mTg5.7.

答：旗杆AE的高度约为5.7米.

利用三角函数测高

【教学内容】利用三角函数测高

【教学目标】

知识与技能：利用直角三角形的边角关系测物体的高度

过程与方法：在活动中培养学生实际操作能力，培养用数学的意识。

情感、态度与价值观：在活动中培养学生应用数学解决实际问题的能力，增强团队

意识和合作能力。

【教学重难点】

重点：利用直角三角形的边角关系测物体的高度

难点：正确操作与计算

【导学过程】

【情景导入】

你会测量倾斜角吗？测倾器是如何构成的？运用它测出观察一些物体时的倾

斜角。

【新知探究】

探究一、测量底部可以到达的物体的高度

下而是活动报告的一部分，请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分.

课题测量旗杆高

A

测量示，意

EaC

图1

[D

测量项目第一次第二次平均值

测得数据BD的长24.19m23.97m

测倾器的CD=1.23mCD=1.19m

高

倾斜角a=31°15a=30045a=31°

/

计算旗杆高AB（精确到0.1m）

探究二、测量底部不可以到达的物体的高度。

如图，小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为NADC=60°,点B的仰角为

NBDC=45°;在E处测得A的仰角为/E=30°,并测得DE=90米，求小山高BC和铁塔

高AB（精确到0.1米）.

【知识梳理】

,本节课很好地完成了测量物体高度的任务，对于底部可以到达或不可以到达

的物体，我们在测量及计算上有什么不同？

【随堂练习】

1.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需要测出河的宽度AB.,在河边一座

高度为300米的山顶观测点D处测得点A,点B的俯角分别为。=30°,6=60°,求河

的宽度（精确到0.1米）

2.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实战小组做了如下的探

索：

实践一:根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺，设计

如图（1）的测量方案:把镜子放在离树（AB）8.7（米）的点E处,然后沿着直线BE,后退

到点D,这时恰好在,镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高

CD=1.6米,请你计算树AB的高度（精确到0.1米）

实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根；②教学用三角板一副;③长为2.

5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪一架，请根据你所设计的测量方案,回答

下列问题：

（1）在你设计的方案中,选用的测量工具是.

⑵在图⑵中画出你的测量方案示意图；

（3）你需要测得示意图中哪些数据，并分别用a,0c,a,B等表示测得的数据__.

（4）写出求树高的算式:AB二.

3.在1:50000的地图上,查得A点在300m的等高线上,B点在400m的等高线上，在地

图上量得AB的长为2.5cm,若要在A、B之间建一条索道,那么缆索至少要多长？它的

倾斜角是多少？

（说明:地图上量得的AB的长，就是A,B两点间的水平距离AB',由B向过A且平行

于地面的平面作垂线，垂足为I,连接AB',则NA即是缆索的倾斜角.）

inn

B

4、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索:

实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示

意图的测量方案：把镜子放在离树38）8.7米的点£处，然后沿着直线幽后退到点

。，这是恰好在镜子里看到树梢顶点4再用皮尺量得好2.7

泰

米，观察者目高缈=1.6米，请你计算树（AB）的高度.（精

确到0.1米）

实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5

米的标杆一根；④高度为L5米的测角仪（能测量仰角、俯隹的仪器）一架。请根

据你所设计的测量方案，回答下列问题：

（1）在你设计的方案中，选用的测.量工具是（用工

具的序号填写）________________________

（2）在右图中画出你的测量,方案示意图；

（3）你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用〃、A久。等表示测得的数据：

（4）写出求树高的算式：AB=_______________________________

B

北师大新版九年级（下）中考题同步试卷：1.6利用三角函数测高（07）

一、选择题（共3小题）

I.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿

正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东450方向上的8处，这时，

海轮所在的B处与灯塔P的电离为（）

A.40加海里B.40加海里C.80海里D.40代海里

2.如图，在某监测点8处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若

渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达。处，在

。处观测到B在。的北偏东60°方向上，则8、。之间的距离为（）

A.20海里B.10加海里C.2所海里D.30海里

3.如图，港口4在观测站O的正东方向，04=4切1,某船从港口A出发，沿北偏

东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站。处测得该船位于北偏东

60°的方向，则该船航行的距离（即A3的长）为（）

北

西+东

oA

A.4kmB.C.2亚D.(1)km

二、填空题（共2小题）

4.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛。位于北偏东60°的方向，前进

20海里到达8点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线

AB的距离CD等于海里.

5.如图，轮船在A处观测灯塔。位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20

海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头8处，此时，观测灯

塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是海里.（结果

精确到个位,参考数据：值1.4,加=1.7,依2.4）

三、解答题（共25小题）

6.某实践小组去公园测量人工湖AD的长度.小明进行如下测量：点。在点A的正

北方向，点8在点4的北偏东50°方向，A3=40米.点E在点B的正北方向，

点。在点B的北偏东30°方向，CE=30米.点。和点£都在点O的正东方向,

求AO的长（结果精确到1米）.（参考数据：加仁1.732,sin50°^0.766,cos50°

^0.643,tan50°弋1.192）

7.油井A位于油库产南偏东75°方向，主输油管道AP=12如I,一新建油井B位于

点尸的北偏东75°方向，且位于点A的北偏西15°方向.

(1)求NP8A=；

(2)求A,8间的距离；

(3)要在AP上选择一个支管道连接点C,使从点B到点C处的支输油管道最短,

求这时3C的长.(结果保留艰号)

8.如图，新城区新建了三个商业城A,B,C,其中。在4的正东方向，在A处测

得B在A的南偏东52°的方向，在C处测得B在。的南偏东26°的方向，已知

A和8的距离是1000〃?.现有甲、乙两个工程对修建道路，甲修建一条从A到。

的第直道路4C,乙修建一条从8到直线AC最近的道路8D求甲、乙修建的道

路各是多长.(结果精确到到)(参考数据:sin380-0.62,cos38°-0.79,tan38°

^0.78,sin640-0.90,cos64°-0.44,tan64°-2.05)

9.如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向5处有一艘可疑船只，测得4、

B两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行.我渔政船迅速沿北

偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在。处将可疑船只拦截.求该可疑船只航

行的速度.

(参考数据：sin27°cos27°tan27°~1,sin53°^1,cos53°%

201025

tan53°^-1)

53

八北

Bx-

5T\

217

”------

10.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的4处，它

沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时,

海轮所在的8处距离灯塔尸有多远？(结果用非特殊角的三角函数及根式表示即

可)

北

；45、

B

11.如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我

国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处,

该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线

到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60。方向以每小时30海里的速度航

行半小时到达。处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里。处，渔政船航

行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上.

（1）求CQ两点的距离;

（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合,

求NECO的正弦值.

tan53°g9)

53

12.如图，小岛A在港口8的北偏东50°方向，小岛C在港口8的北偏西250方

向，一艘轮船以每小时20海里的速度从港口5出发向小岛A航行，经过5小时

到达小岛A,这时测得小岛C在小岛A的北偏西70°方向，求小岛A距离小岛C

有多少海里？（最后结果精确到1海里，参考数据：72^11414,73^1.732）

C

13.我市准备在相距2千米的M,N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东

45°方向、N地北偏西60°方向的尸处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如

图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：V2^1.41,V3

14.如图，船A、B在东西方向的海岸线上，均收到已触礁搁浅的船尸的求救信

号，已知船P在船A的北偏东60°方向上，在船B的北偏西37°方向上，AP=

30海里.

（1）尺规作图：过点尸作AB所在直线的垂线，垂足为E（要求：保留作图痕迹,

不写作法）;

（2）求船P到海岸线MN的距离（即PE的长）;

（3）若船4、船8分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前

往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处.（参考数据：sin37°比0.60,cos37°

«=0.80,tan37°^0.75）

15.如图，码头A在码头8的正东方向，两个码头之间的距离为32海里，今有一货

船由码头A出发，沿北偏西600方向航行到达小岛C处，此时测得码头8在南

偏东45°方向，求码头A与小岛C的距离.（加%1.732,结果精确到0.01海里）

16.马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救.某日，我两艘专业救助船A、B

同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船4的北偏东53.50°方

向上，在救助船8的西北方向上，船8在船A正东方向140海里处.（参考数据：

sin36.5°^0.6,cos36.5°20.8,tan36.5°^0.75）.

（1）求可疑漂浮物P到A、8两船所在直线的距离；

（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀

速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处.

17.如图，位于A处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的5处有一艘渔船

遇险，在原地等待营救.该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C

处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向B处，现救生船沿着航线CB

前往8处救援，若救生船的速度为20海里/时，请问：救生船到达8处大约需要

多长时间?（结果精确到0.1小时：参考数据：sin38°=0.62,cos38°^0.79,

sin22°^0.37,cos220-0.93,sin37°^0.60,cos37°^0.80）

18.如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔

船从4处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东600方向的8处.

（1）求渔船从4到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；

（2）若渔船以20海里/小时的速度从3沿方向行驶，求渔船从B到达小岛M

的航行时间（结果精确到0.1小时）.（参考数据：72^141,bF.73,加=2.45）

19.两个城镇A、B与两条公路ME,M/位置如图所示，其中ME是东西方向的公

路.现电信部门需在。处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的

距离必须相等，到两条公路ME,MF的距离也必须相等，且在的内部

（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C（不写

已知、求作、作法，只保留作图痕迹）

（2）设A8的垂直平分线交ME于点M且MN=2（V3+1）km,在M处测得点

C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西450方向，

求点C到公路ME的距离.

'E

20.如图，在南北方向的海岸线MN上，有4、8两艘巡逻船，现均收到故障船C

的求救信号.己知A、B两船相距100（V3+O海里，船C在船A的北偏东60°

方向上，船。在船B的东南方向上，MN上有一观测点D,测得船C正好在观测

点。的南偏东75°方向上.

（1）分别求出A与C,A与。之间的距离4C和A。（如果运算结果有根号，请

保留根号）.

（2）已知距观测点。处100海里范围内有暗礁.若巡逻船4沿直线AC去营救船

C,在去营救的途中有无触喑礁危险？（参考数据：V2^L41,73^1.73）

21.钓鱼岛自占以来就是中国的领土.如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓

鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方

向的8处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得。处位于A

处北偏东59°方向、位于5处北偏西440方向.若甲、乙两船分别沿AC,BC

方向航行，其平均速度分别是20海里〃卜时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到

C处.

（参考数据：cos59°^0.52,sin46°-0.72）

22.如图，轮船从点4处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100to

的点8处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点8相距200面的点C处.

（1）求点。与点A的距离（精确到1切7）；

（2）确定点C相对于点A的方向.

（参考数据：72^1414,73^1.732）

北

23.如图：我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船

。在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若渔政310船航向不变，航行

半小时后到达8点，观测到我渔船。在东北方向上.问：渔政310船再按原航向

航行多长时间，离渔船C的距离最近？（渔船。捕鱼时移动距离忽略不计，结果

24.海中两个灯塔4、B,其中。位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行,

在点。处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30。方向上，渔船不改变

航向继续向东航行30海里到达点D这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求

灯塔A、B间的距离.（计算结果用根号表示，不取近似值）

25.如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A,某人在岸边的B处测得A

在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得4在。

的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）.求这个标志性建筑物底

部A到岸边8。的最短距离.

26.如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向

航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上.

（1）求海轮在航行过程中与灯塔。的最短距离（结果精确到0.1）;

（2）求海轮在3处时与灯塔C的距离（结果保留整数）.

（参考数据：sin55°-0.819,cos55°=0.574,tan55°^1.428,tan42°—0.9参,

tan35°^0.700,tan48°^1.111）

27.如图，有小岛A和小岛B,轮船以45%机/6的速度由C向东航行，在。处测得A

的方向角为北偏东60°,测得8的方向角为南偏东45°,轮船航行2小时后到

达小岛8处，在6处测得小岛A在小岛8的正北方向.求小岛4与小岛B之间

的距离（结果保留整数，参考数据：72^1.41,76^2.45）

28.如图，海中有一灯塔P,它的周围8海里内有暗礁.海轮以18海里/时的速度由

西向东航行，在4处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达3处，

测得灯塔P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触

礁的危险？

29.一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至。处时

发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到

求救信号，测得事故船在它的北偏东370方向，马上以40海里每小时的速度前

往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间.（温馨提示：sin53。弋0.8,

cos53°-.6）

30.某海域有4、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向4、8两船发

出紧急求救信号，此时8船位于A船的北偏西72°方向，距4船24海里的海域,

C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于8船的北偏东780方向.

（1）求NABC的度数；

（2）A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点.（结果精

确到0.01小时）.

（参考数据：72^1.414,A/3^1.732）

北师大新版九年级（下）中考题同步试卷：1.6利用三角函数测高（07）

参考答案

一、选择题（共3小题）

1.A；2.C；3.C；

二、填空题（共2小题）

4.近；5.24；

三、解答题（共25小题）

6.；7.90°；8.;9.；10.;11.;12.

13.;14.；15.；16.;17.；18.

19.:20.：21.:22.；23.:24.

25.；26.;27.；28.;29.；30.

课题：L6利用三角函数测高

教学目标：

1.经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的

过程.

2.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫

正，从而得出符合实际的结果.

3.能够设计方案测量物体的高度，综合运用直角三角形边角关系的知识解决实

际问题，提高解决问题的能力.

4.体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题、解决问题.

教学重点与难点：

重点：经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的

过程..

难点：设计活动方案、自制仪器，综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.

课前准备：自制测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺等测量工具，多媒体课件.

教学过程：

一、创设情境，导入新课

活动内容：回答下列问题.

问题1：在现实生活中需要测量像旗杆、高楼、塔等较高且顶部不可到达的物体

的高度，根据我们所学的知识，同学们有哪些测量方案？

问题2：这些测量的方法都用到了什么知识？

问题3：如何利用直角三角形的边角关系，测量底部不可以直接到达的物体的高

度呢？

处理方式：问题1、2先让学生思考、讨论交流，然后再回答，对于问题1可能

有以下结果：

（1）利用太阳光下的影子测量；

（2）利用标杆测量；

（3）利用镜子的反射测量.

对于问题2学生回答："三角形相似，根据相似比求其高度”.对于问题3学生一脸

迷茫，充满疑惑。教师及时引导：看来这个问题暂时有点儿难，今天让我们一起去

探究学习如何利用三角函数测高.（板书：L6利用三角函数测高），学完本节内容

相信大家就能轻松解决上面的问题了.

设计意图：通过创设情境，既复习巩固了三角形相似的内容，又极大地激发了

学生学习兴趣，为下面的学习作铺垫，效果非常好.

二、动手实践、感悟新知

今天我们活动的课题:利用直角三角形的边角关系测量物体的高度.

活动方式:分组活动或全班交流研讨.

活动工具:测倾器（或测角仪等），皮尺等测量工具.

我们先来了解两个概念：仰角、俯角.（1）如左图，当从低处观测高处的目标

时，视线与水平线所成的锐角称为仰角，当从高处观测低处的目标时，视线与水平

线所成的锐角称为俯角.

（2）如图所示在Rt△力比中，N090°.tan/=,a=,b=.

那么如何测量倾斜角（仰角或俯角）？「

b

活动一：测量倾斜角

（多媒体课件展示）测量倾斜角可以用测倾器，简单的测顼器由度盘、铅锤和

使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：

1.把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线,铅垂线和度盘的0刻度线重合,这时度

盘的顶线图在水平位置.

2.转动度盘，使度盘的直径对准目标M记下此时铅垂线所指的度数.

根据刚才测量数据,你能求出目标V的仰角或俯角吗?说说你的理由

处理方式：学生分组讨论后回答.

VZ3=30°，N3+N2=90°,

Zl+Z2=90°

AZ1=Z3=3O°

・•・目标必的仰角为30°（依据是同角的余角相等）.

也就是说，测倾器上铅垂线所示的度数就是物体仰角的度数.

下面我们来看看怎样利用测倾器测量物体的高度.

设计意图：通过演示如何使用测倾器并讲解注意事项，培养学生的使用工具的

能力.

活动二：测量底部可以到达的物体的高度

所谓“底部可以到达“，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体

的底部之间的距离.如图,要测量物体WV的高度，可按下列步骤进行：

1.在测点A处安置测倾器，测得"的仰角AMCE=a.

2.量出测点力到物体底部*'的水平距离AN—1.

3.量出测倾器（即测角仪）1勺高度/。=日（即顶线掰成水平位置时，它与地面的

距离）.

根据测量数据，你能求出物体」加的高度吗?说说你的理由.

处理方式：解：在Rt△加'。中，因为功〃a二"且,所以-EC=1•tan

EC

所以MN=ME^EN=1•tana+a.

例1（多媒体课件展示）

课题领U量学校旗杆MN的高度（底部可以到达）

测M

量

、、▼、、、、Q

示MN=Ltan+a

学

意E_________c

图

N_____L---------^LA_______

以

t

测测量项目第一次第二次平均值

致

得

z

数倾斜角。a=30°15'a=19°49'a=30°2

据

用测倾器高aa=1.23ma=1.21ma=1.22m

AN的长LL=20.15mL=19.97mL=20.06m

计在中，

算Rt/iMCEME=ECtana=ANtana=20.6xtan30°2'=

过20.6X0.578=11.60m,

程MN=ME+EN=ME+AC=11.60+1.22=12.82m

活

动

感

受

处理方式：同学们能利用自角三角形的边角关系用测角仪和皮尺测出底部可以

到达的物体的高度.但现实生活中，还存在有底部不可以到达的物体.它们的高度如

何测量呢？

设计意图：让学生先“热热身”进行简单的测量，初步掌握测量的步骤并推导出

一般性的公式，为测量底部不可以直接到达的物体的高度做好铺垫.

活动三:测量底部不可以直接到达的物体的高度

所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之

间的距离.

如图，要测量物体的高度，使用侧倾器测一次仰角够吗？（学生回答：要测

量物体MN的高度，测一次仰角是不够的）,还需哪些条件，测量哪些数据？（学生在

各小组内讨论后回答）

如图，要测量物体助V的高度,可以按下列步骤进行:

1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角乙1偌a.

2.在测点A与物体之间的B处安置测倾（45与N在一条直线上）,测得"的仰角

/MD后B.

3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点Af6之间的距离A^b.

提问：根据测量数据，你能求出物体加，的高度吗?说说你的理由.

处理方式：学生根据测量数据、写出计算物体,即的高度过程：

解：•・,在Rt△极应中，EDMIE/tanB

在Rl△掰％'中，EC=ME/tana

：.EC-ED-b

MEtanp-MEtana_

.・.tanatan夕

一「btanatanB

ME=-----------

・tan夕一tan。

…「btanatanB

MN=---------------+a

...tanp-tana

设计意图：这个活动的设计方案对于学生来说有一定的难度，所以，在教学中

要给学生留有充分的讨论时间，不可急于求成，也可各组间穿插讨论；同时教师要

深入小组内讨论，帮助有困难的小组.这个活动的设计方案不唯一，学生说的只要在

理，就应该肯定和鼓励.教师还要关注学生是否积极参与，是否真正理解.进一步培

养学生运用所学，解决实际应用问题的意识.

议一议:

1.到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法？

2.如果一个物休的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物休的水平距

离？

处理方式：学生先独立思考、讨论交流，然后再回答，对于诃题1可能有以下结

果：

（1）利用三角函数的知识可以测量物体的高度.

（2）利用三角形相似的知识也可以.

（3）还有利用全等三角形的知识也可以测量物体的高度.

对于问题2可以利用今天所学的三角函数知识解决.教师对学生的回答予以鼓励和

JLt

月定.

设计意图：通过及时总结测量物体高度的方法，培养学生的概括归纳能力.

三、联系实际、应用新知

例2：（多媒体课件展示）

用物豺6：力於，片£蓑媒的/

下表是小明所填实习报告的部分内容：

课题在平面上测量某大厦的高AB

CD

1.请根据小明测得的数据，填表中的空格.

2.已知测倾器的高上加1m,通过计算求得该大厦的高为___米（精确到1

米）.

处理方式：解：1.30°45°60m

2.在Rt△力龙中，EG=AG!tan3^=1.732AG.

在RtZk//&中，FG=AG/tan450=AG,

EG-FG=CD,

1.732404信60,

47=60+0.732^81.96（m）.

45=&Mg83（in）.

注意事项：在测量当中误差的处理办法.

设计意图：通过两道例题的讲解，进一步培养了学生运用数形结合思想分析和

解决问题的能力，帮助学生树立学好数学的信心.

四、达标检测，反馈提高

通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中

的达标检测题.（同时多媒体出示）

A组：

1.如图1T6,在高20米的建筑物。〃的顶部65则得塔顶4的仰角为60°,测得塔底夕

的俯角为30°,则塔高46=米；

2.如图1T7,小明想测量电线杆力硒高度，发现电线杆的影子恰好落在地面比

和斜坡的坡面切上，测得10米，CD=4米，口与地面成30°角，且此时测得1

米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米.

3.如图1-18,测量人员在山脚月处测得山顶闻勺仰角为45°,沿着倾角为30°的

山坡前进1000米到达〃处，在放b测得山顶碓仰角为60°,则山高比大约是（精确

到0.1米）（）；

A.1366.0米B.1482.1米C.1295.9米D.1508.2米

4.如图1T9,两建筑物的水平距离为a米，从力点测得〃点的俯角为。，测得C点

的俯角为艮则较低建筑物圆勺高度为（）.

A.a米B.tanaC.tanPD.a(tantana)

B组：

5.如图，为庆祝元旦节日，阴平中学在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一

些彩旗.经测量，得到大门AB的高度是5in,大门距主楼的距离是30nb在大门处测

得主楼顶部的仰角是30°,而当时侧倾器离地面1.4叫求：学校主楼的高度（精确到

0.01m）.

处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况.学

生根据答案进行纠错.

设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限

度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确

哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.

五、回顾反思，提炼升华

同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长的最快的植物，数学

的学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？

先想一想，再分享给大家.

学生畅谈自己的收获！

设计意图：通过小结，，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯,

培养自我反馈，自主发展的意识.对个别学困生来说是进一步强调和落实，最终力

争让每位学生都能达到本节课的活动目标

六、布置作业，课堂延伸

必做题：1.完成本节数学助学月99第8题第9