
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
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文档简介
微专题27三角函数的值域与最值
、基础知识
1、形如y=Asin(0x+”)解析式的求解:详见“函数y=Asin(0X+o)解析式的求解”一节,
本节只列出所需用到的三角公式
八、收w2l+cos2«.2l-cos2«
(1)降暴公式:cosa=------------,sina--------------
22
(2)2sinacosa=sin2a
(3)两角和差的正余弦公式
sin(a+4)=sincos0+sin0cosa
sin(a—/)=sinacos力一sin夕cosa
cos(a+4)=cosacosA-sinasin/7
cos(a—分)=cosacos尸+sinasin尸
I--------b
(4)合角公式:asina+bcosa=yJa2+b2sin(^z+^),其中tan0=—
2、常见三角函数的值域类型:
(1)形如y=Asin(〃)x+o)的值域:使用换元法,设看=5+0,根据x的范围确定,的范
围,然后再利用三角函数图像或单位圆求出0X+0的三角函数值,进而得到值域
例:求/(x)=2sin12x—?:xe一}(的值域
7T7171,c7137r7i
解:设/=2x——当xe时,t—2x----€
4471
..rV2A/2-
..sintG---,—
22
.•J(x)e卜应,应]
(2)形如y=/(sinx)的形式,即y=与/=sinx的复合函数:通常先将解析式化简为
同角同三角函数名的形式,然后将此三角函数视为一个整体,通过换元解析式转变为熟悉的
函数,再求出值域即可
7C2»
例:求/(%)=sin%—cos2%+2,%£的值域
解:/(x)=sinx—(1一sin2x)+2=sin2x+sinx+1
设r=sinxxG——,一/.t€
632
广产+,+1=。+」+。
-I24
33
.-.ye-,3,即的值域为-,3
(3)含三角函数的分式,要根据分子分母的特点选择不同的方法,通常采用换元法或数形结
合法进行处理(详见例5,例6)
二、典型例题
例1:已知向量4=(cos%,sinx+A/3cosx),B=(cosx-/sinx,—sinx),/(x)=a-b
(1)求函数的单调递增区间
(2)当xe时,求了(%)的取值范围
解:(1)f^x)=a-b=cosxlcos%-A/3sinx)+(sinx+A/3COSXj■(-sinX)
=cos2x-sin2x-2百sinxcosx
=cos2x-y/3sin2x=2cos2x+—
7i+2k兀<2x+—<2zr+Ikrc=>——\-k7i<x<g+左〃(keZ)
33
兀j57r7/jry\
单调递增区间为:——\-kn.-----\-kn(keZ)
36v7
T[TTTT
(2)思路:由(1)可得:/(x)=2cos,从九£--得到角2x+—的范围,
643
进而求出了(%)的范围
解:由(1)得:f(x)=2cos[^2x+y
yj>TU
,-.2xe——n2x+—e0,
323
731
/.cos2x+—G--------,1/(x)=2cos9+三〉[-"2]
I372
小炼有话说:对于形如/(%)=Asin(〃沈+0)的形式,通常可先计算出0¥+夕的范围,再确
定其三角函数值的范围
7C7T
例2:已知函数〃x)=cost2x-y1+2sinlxsinXH---
44
(1)求函数/(%)的最小正周期和图像的对称轴方程
JTTT
(2)求函数在区间-三',万的值域
717C
解:⑴/(X)=cost2x-y1+2sinlxsmXH---
44
、
1c百.cc
=-cos2x-\-----sin2x+2sinx----smx+也cosx
2222
7
=-cos2x+—sin2x+sin2x-cos2x
22
=-cos2x+—sin2x-cos2x=—sin2x--cos2x
2222
=sin(2x-7
JTJTJTKTT
:.T=7T对称轴方程:2x--=-+k7T=>X=-+—(k&Z}
6232v'
7777
(2)思路:将2%—-视为一个整体,先根据x的范围求出2%—-的范围,再判断其正弦值
66
的范围
解:/("=sin(2x一(
冗nn5〃
*/xe■,-2x-ie
36
73
,/(x)=sin2x--e
I6丁
思路:解析式中的项种类过多,不利于化简与分析,所以考虑尽量转化为同一个角的某一个
三角函数。观察可得cosX次数较低,所以不利于转化,而sin?羽cos2%均可以用cosx进行
7
表示,确定核心项为cosx,解析式变形为y=cosx-(l—cos2x)—Qcos^x-1)+—,化简
'4
后为y=一cos2x+cosx+a=—[cosx—wj+2,当COSX=5时,Vmax=2
答案:2
小炼有话说:当解析式无法化成y=Asin(。尤+o)的形式时,要考虑是否是三角函数与其他
函数的复合函数,进而要将某个三角函数作为核心变量,并将其余的三角函数用核心变量进
行表示,再将核心变量进行换元求出值域即可
例4:设函数/(X)=卜inx|+cos2x,若xe,则函数的最小值是
思路:同例4考虑将解析式中的项统一,cos2x=l-2sin2x=l-2|sinx|2,进而可将卜inx|
作为一个整体,通过换元来求值域。
解:f(x)=|sinx\+cos2x=|sinx\+l-2|sinx|2
y=—2/+/+1=—2(t—+-1,所以ye0,-1
所以最小值为y=0
答案:0
例5:函数〃x)=―X的值域为_____________
\)2+sinx
3T
思路:可将sinx视为研究对象,令%=sinxj£,进而只需求y=——的值域即可。
解:令方=sinx,可得/£卜1,1]
3-/5
•■-y=I77=-1+77I.」+2电3]
答案:-A
[3J
小炼有话说:要注意在工£尺时sin%自身带范围,即
例6:函数;'(x)=2—‘in*的值域为
COSX
O_Y0____Y
思路:可变形为〃尤)=----------,且---------可视为(0,2)与(cosx,sinx)连线的斜率左
0—cosx0—cosx
的取值范围,(cosx,sinx)为单位圆上的一点,所以问题转化为直线/:y=Ax+2与圆
2
/+y2=1有公共点的人的范围。所以〃/=/W1,解得:左26或左〈—石,所
VFTT
以y(x)e(—00,-73]u[A+8)
答案:(一8,-6]
小炼有话说:(1)对比例5和例6,尽管都是同一个角的分式值域,但是例5的三角函数名相
同,所以可视为同一个量,利用换元求解,而例6的三角函数名不同,所以不能视为同一个
量。要采取数形结合的方式。
(2)本题还可利用方程与函数的关系求得值域,解法如下:
2-sinx八
y=-------nycosx+sinx=2
cosx
._____2
Jy'+lsin(n+夕)=2=sin(x+9)=/
.3+i
所以y的取值范围(即值域)要能保证存在x使得等式成立
2
所以只需,<1
2<7/+1.解得:ye(—oo,—百]U[G,+°°)
例7:设函数/(x)=sin卜x+工],xe—三,a的值域是—工,1,则实数。的取值范围是
TT万c冗
思路:本题是已知值域求参数,所以考虑先带着Q计算角2x+-的范围为---,2aH——
666
17C7171
值域中最大值为1,所以说明一一,2a+—经过一同时范围不能超
2166」2
71TC7177r7171
过一万(否则最小值就要小于—),从而可得一<2a-\—<—,解得:一<a<一
6226662
卜八.1TCTC
答案:一V。《一
62
例8:已知函数/(x)=acos2x—Z^sinxcosx—£的最大值为:,且/>[]]=¥•,则
_V31一百D」或且
A.B.C.——或——
2一丁2424
思路:观察至I7(%)的项具备齐二次的特点,所以想到将解析式化为Asin((ox+(p)的形式,
通过变形可得:/(x)=+"sin(2x+0),所以最大值为gJ。?+白=;,即
a2+b2=l®,再利用电可得:―二”轧二昱②,通过①②可解得:
(3)4444
的值为-工或
,进而求出f
24
2l+cos2x1_.a
解:/(%)=tzcosx-/?sinxcosx-^=a-------------psinzx——
222
=;(acos2x-Z?sio2%)=/{+/sin(2%+0)
所以可得:/(%)=->Ja+b2=-
^\/max22
o上石,「乃)2冗1.冗冗a1676
另一方面:/-=acos---Z?sin—cos-----=——a-----b=——
3332444
_昱
a1+b1=1a=0^~2
整理可得:\「r-
解得:<b=-V
a+N3bz3
时,
的值为---或1
24
2
口、“c兀q,皿£(、l+cos2x+8sinx
例9:当0<尤<一时,函数fix)=-------------------的取小值为
思路一:考虑将所有项转变为关于2%的三角函数,即
,、l+cos2x+4(l—cos2%)5—3cos2xqcos2.x
f(x\=-----------------------L=土上——-=-3■3---------,从而想到分式与斜率的
sin2%sin2%0-sin2%
5c
——cos2x
关系,&---------可视为
,(sin2x,cos2x),结合0<x<~可得(sin2x,cos2x)为单
sin2x°4
位圆半圆上的点,通过数形结合可得:最小值为4
思路二:考虑将所有项转变为关于x的三角函数,则
f(x)=-------------------=-----------------=----------------,观察到分子分母为齐
sin2x2cosxsinxcosxsin
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