高中数学讲义微27 三角函数的值域

微专题27三角函数的值域与最值

、基础知识

1、形如y=Asin(0x+”)解析式的求解：详见“函数y=Asin(0X+o)解析式的求解”一节,

本节只列出所需用到的三角公式

八、收w2l+cos2«.2l-cos2«

(1)降暴公式：cosa=------------,sina--------------

22

(2)2sinacosa=sin2a

(3)两角和差的正余弦公式

sin(a+4)=sincos0+sin0cosa

sin(a—/)=sinacos力一sin夕cosa

cos(a+4)=cosacosA-sinasin/7

cos(a—分)=cosacos尸+sinasin尸

I--------b

(4)合角公式：asina+bcosa=yJa2+b2sin(^z+^),其中tan0=—

2、常见三角函数的值域类型：

(1)形如y=Asin(〃)x+o)的值域：使用换元法，设看=5+0，根据x的范围确定，的范

围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出0X+0的三角函数值，进而得到值域

例：求/(x)=2sin12x—?：xe一｝(的值域

7T7171,c7137r7i

解：设/=2x——当xe时，t—2x----€

4471

..rV2A/2-

..sintG---,—

22

.•J(x)e卜应，应］

(2)形如y=/(sinx)的形式，即y=与/=sinx的复合函数：通常先将解析式化简为

同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的

函数，再求出值域即可

7C2»

例：求/(%)=sin%—cos2%+2,%£的值域

解：/(x)=sinx—(1一sin2x)+2=sin2x+sinx+1

设r=sinxxG——,一/.t€

632

广产+,+1=。+」+。

-I24

33

.-.ye-,3,即的值域为-,3

(3)含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结

合法进行处理(详见例5,例6)

二、典型例题

例1：已知向量4=(cos%,sinx+A/3cosx),B=(cosx-/sinx,—sinx),/(x)=a-b

(1)求函数的单调递增区间

(2)当xe时，求了(%)的取值范围

解：(1)f^x)=a-b=cosxlcos%-A/3sinx)+(sinx+A/3COSXj■(-sinX)

=cos2x-sin2x-2百sinxcosx

=cos2x-y/3sin2x=2cos2x+—

7i+2k兀<2x+—<2zr+Ikrc=>——\-k7i<x<g+左〃(keZ)

33

兀j57r7/jry\

单调递增区间为:——\-kn.-----\-kn(keZ)

36v7

T[TTTT

(2)思路：由(1)可得：/(x)=2cos,从九£--得到角2x+—的范围,

643

进而求出了(%)的范围

解：由(1)得：f(x)=2cos[^2x+y

yj>TU

,-.2xe——n2x+—e0,

323

731

/.cos2x+—G--------,1/(x)=2cos9+三〉[-"2]

I372

小炼有话说：对于形如/(%)=Asin(〃沈+0)的形式，通常可先计算出0¥+夕的范围，再确

定其三角函数值的范围

7C7T

例2：已知函数〃x)=cost2x-y1+2sinlxsinXH---

44

(1)求函数/(%)的最小正周期和图像的对称轴方程

JTTT

(2)求函数在区间-三'，万的值域

717C

解：⑴/(X)=cost2x-y1+2sinlxsmXH---

44

、

1c百.cc

=-cos2x-\-----sin2x+2sinx----smx+也cosx

2222

7

=-cos2x+—sin2x+sin2x-cos2x

22

=-cos2x+—sin2x-cos2x=—sin2x--cos2x

2222

=sin(2x-7

JTJTJTKTT

：.T=7T对称轴方程：2x--=-+k7T=>X=-+—(k&Z}

6232v'

7777

(2)思路：将2%—-视为一个整体，先根据x的范围求出2%—-的范围，再判断其正弦值

66

的范围

解：/("=sin(2x一(

冗nn5〃

*/xe■,-2x-ie

36

73

，/(x)=sin2x--e

I6丁

思路：解析式中的项种类过多，不利于化简与分析，所以考虑尽量转化为同一个角的某一个

三角函数。观察可得cosX次数较低，所以不利于转化，而sin?羽cos2%均可以用cosx进行

7

表示，确定核心项为cosx,解析式变形为y=cosx-（l—cos2x）—Qcos^x-1)+—,化简

'4

后为y=一cos2x+cosx+a=—[cosx—wj+2,当COSX=5时，Vmax=2

答案：2

小炼有话说：当解析式无法化成y=Asin（。尤+o）的形式时，要考虑是否是三角函数与其他

函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进

行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可

例4：设函数/（X）=卜inx|+cos2x,若xe，则函数的最小值是

思路：同例4考虑将解析式中的项统一，cos2x=l-2sin2x=l-2|sinx|2,进而可将卜inx|

作为一个整体，通过换元来求值域。

解:f（x）=|sinx\+cos2x=|sinx\+l-2|sinx|2

y=—2/+/+1=—2（t—+-1,所以ye0,-1

所以最小值为y=0

答案：0

例5：函数〃x）=―X的值域为_____________

\）2+sinx

3T

思路：可将sinx视为研究对象，令％=sinxj£,进而只需求y=——的值域即可。

解：令方=sinx,可得/£卜1,1]

3-/5

•■-y=I77=-1+77I.」+2电3]

答案：-A

[3J

小炼有话说：要注意在工£尺时sin%自身带范围，即

例6：函数;'(x)=2—‘in*的值域为

COSX

O_Y0____Y

思路：可变形为〃尤)=----------,且---------可视为(0,2)与(cosx,sinx)连线的斜率左

0—cosx0—cosx

的取值范围，(cosx,sinx)为单位圆上的一点，所以问题转化为直线/:y=Ax+2与圆

2

/+y2=1有公共点的人的范围。所以〃/=/W1,解得：左26或左〈—石，所

VFTT

以y(x)e(—00,-73]u[A+8)

答案：(一8,-6]

小炼有话说：(1)对比例5和例6,尽管都是同一个角的分式值域，但是例5的三角函数名相

同，所以可视为同一个量，利用换元求解，而例6的三角函数名不同，所以不能视为同一个

量。要采取数形结合的方式。

(2)本题还可利用方程与函数的关系求得值域，解法如下：

2-sinx八

y=-------nycosx+sinx=2

cosx

._____2

Jy'+lsin(n+夕)=2=sin(x+9)=/

.3+i

所以y的取值范围(即值域)要能保证存在x使得等式成立

2

所以只需,<1

2<7/+1.解得：ye(—oo,—百]U[G,+°°)

例7：设函数/(x)=sin卜x+工],xe—三,a的值域是—工,1,则实数。的取值范围是

TT万c冗

思路：本题是已知值域求参数，所以考虑先带着Q计算角2x+-的范围为---,2aH——

666

17C7171

值域中最大值为1,所以说明一一,2a+—经过一同时范围不能超

2166」2

71TC7177r7171

过一万（否则最小值就要小于—）,从而可得一<2a-\—<—,解得：一<a<一

6226662

卜八.1TCTC

答案：一V。《一

62

例8：已知函数/（x）=acos2x—Z^sinxcosx—£的最大值为:，且/>[]]=¥•,则

_V31一百D」或且

A.B.C.——或——

2一丁2424

思路：观察至I7（%）的项具备齐二次的特点，所以想到将解析式化为Asin（（ox+（p）的形式，

通过变形可得：/（x）=+"sin（2x+0）,所以最大值为gJ。？+白=；，即

a2+b2=l®,再利用电可得：―二”轧二昱②,通过①②可解得：

（3）4444

的值为-工或

,进而求出f

24

2l+cos2x1_.a

解：/(%)=tzcosx-/?sinxcosx-^=a-------------psinzx——

222

=；(acos2x-Z?sio2%)=/{+/sin(2%+0)

所以可得：/(%)=->Ja+b2=-

^\/max22

o上石，「乃)2冗1.冗冗a1676

另一方面：/-=acos---Z?sin—cos-----=——a-----b=——

3332444

_昱

a1+b1=1a=0^~2

整理可得：\「r-

解得:<b=-V

a+N3bz3

时,

的值为---或1

24

2

口、“c兀q,皿£(、l+cos2x+8sinx

例9：当0<尤<一时，函数fix)=-------------------的取小值为

思路一：考虑将所有项转变为关于2%的三角函数，即

,、l+cos2x+4(l—cos2%)5—3cos2xqcos2.x

f(x\=-----------------------L=土上——-=-3■3---------,从而想到分式与斜率的

sin2%sin2%0-sin2%

5c

——cos2x

关系，&---------可视为

,(sin2x,cos2x),结合0<x<~可得(sin2x,cos2x)为单

sin2x°4

位圆半圆上的点，通过数形结合可得：最小值为4

思路二：考虑将所有项转变为关于x的三角函数，则

f(x)=-------------------=-----------------=----------------,观察到分子分母为齐

sin2x2cosxsinxcosxsin