高中数学讲义微27 三角函数的值域_第1页
高中数学讲义微27 三角函数的值域_第2页
高中数学讲义微27 三角函数的值域_第3页
高中数学讲义微27 三角函数的值域_第4页
高中数学讲义微27 三角函数的值域_第5页
已阅读5页,还剩3页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

微专题27三角函数的值域与最值

、基础知识

1、形如y=Asin(0x+”)解析式的求解:详见“函数y=Asin(0X+o)解析式的求解”一节,

本节只列出所需用到的三角公式

八、收w2l+cos2«.2l-cos2«

(1)降暴公式:cosa=------------,sina--------------

22

(2)2sinacosa=sin2a

(3)两角和差的正余弦公式

sin(a+4)=sincos0+sin0cosa

sin(a—/)=sinacos力一sin夕cosa

cos(a+4)=cosacosA-sinasin/7

cos(a—分)=cosacos尸+sinasin尸

I--------b

(4)合角公式:asina+bcosa=yJa2+b2sin(^z+^),其中tan0=—

2、常见三角函数的值域类型:

(1)形如y=Asin(〃)x+o)的值域:使用换元法,设看=5+0,根据x的范围确定,的范

围,然后再利用三角函数图像或单位圆求出0X+0的三角函数值,进而得到值域

例:求/(x)=2sin12x—?:xe一}(的值域

7T7171,c7137r7i

解:设/=2x——当xe时,t—2x----€

4471

..rV2A/2-

..sintG---,—

22

.•J(x)e卜应,应]

(2)形如y=/(sinx)的形式,即y=与/=sinx的复合函数:通常先将解析式化简为

同角同三角函数名的形式,然后将此三角函数视为一个整体,通过换元解析式转变为熟悉的

函数,再求出值域即可

7C2»

例:求/(%)=sin%—cos2%+2,%£的值域

解:/(x)=sinx—(1一sin2x)+2=sin2x+sinx+1

设r=sinxxG——,一/.t€

632

广产+,+1=。+」+。

-I24

33

.-.ye-,3,即的值域为-,3

(3)含三角函数的分式,要根据分子分母的特点选择不同的方法,通常采用换元法或数形结

合法进行处理(详见例5,例6)

二、典型例题

例1:已知向量4=(cos%,sinx+A/3cosx),B=(cosx-/sinx,—sinx),/(x)=a-b

(1)求函数的单调递增区间

(2)当xe时,求了(%)的取值范围

解:(1)f^x)=a-b=cosxlcos%-A/3sinx)+(sinx+A/3COSXj■(-sinX)

=cos2x-sin2x-2百sinxcosx

=cos2x-y/3sin2x=2cos2x+—

7i+2k兀<2x+—<2zr+Ikrc=>——\-k7i<x<g+左〃(keZ)

33

兀j57r7/jry\

单调递增区间为:——\-kn.-----\-kn(keZ)

36v7

T[TTTT

(2)思路:由(1)可得:/(x)=2cos,从九£--得到角2x+—的范围,

643

进而求出了(%)的范围

解:由(1)得:f(x)=2cos[^2x+y

yj>TU

,-.2xe——n2x+—e0,

323

731

/.cos2x+—G--------,1/(x)=2cos9+三〉[-"2]

I372

小炼有话说:对于形如/(%)=Asin(〃沈+0)的形式,通常可先计算出0¥+夕的范围,再确

定其三角函数值的范围

7C7T

例2:已知函数〃x)=cost2x-y1+2sinlxsinXH---

44

(1)求函数/(%)的最小正周期和图像的对称轴方程

JTTT

(2)求函数在区间-三',万的值域

717C

解:⑴/(X)=cost2x-y1+2sinlxsmXH---

44

1c百.cc

=-cos2x-\-----sin2x+2sinx----smx+也cosx

2222

7

=-cos2x+—sin2x+sin2x-cos2x

22

=-cos2x+—sin2x-cos2x=—sin2x--cos2x

2222

=sin(2x-7

JTJTJTKTT

:.T=7T对称轴方程:2x--=-+k7T=>X=-+—(k&Z}

6232v'

7777

(2)思路:将2%—-视为一个整体,先根据x的范围求出2%—-的范围,再判断其正弦值

66

的范围

解:/("=sin(2x一(

冗nn5〃

*/xe■,-2x-ie

36

73

,/(x)=sin2x--e

I6丁

思路:解析式中的项种类过多,不利于化简与分析,所以考虑尽量转化为同一个角的某一个

三角函数。观察可得cosX次数较低,所以不利于转化,而sin?羽cos2%均可以用cosx进行

7

表示,确定核心项为cosx,解析式变形为y=cosx-(l—cos2x)—Qcos^x-1)+—,化简

'4

后为y=一cos2x+cosx+a=—[cosx—wj+2,当COSX=5时,Vmax=2

答案:2

小炼有话说:当解析式无法化成y=Asin(。尤+o)的形式时,要考虑是否是三角函数与其他

函数的复合函数,进而要将某个三角函数作为核心变量,并将其余的三角函数用核心变量进

行表示,再将核心变量进行换元求出值域即可

例4:设函数/(X)=卜inx|+cos2x,若xe,则函数的最小值是

思路:同例4考虑将解析式中的项统一,cos2x=l-2sin2x=l-2|sinx|2,进而可将卜inx|

作为一个整体,通过换元来求值域。

解:f(x)=|sinx\+cos2x=|sinx\+l-2|sinx|2

y=—2/+/+1=—2(t—+-1,所以ye0,-1

所以最小值为y=0

答案:0

例5:函数〃x)=―X的值域为_____________

\)2+sinx

3T

思路:可将sinx视为研究对象,令%=sinxj£,进而只需求y=——的值域即可。

解:令方=sinx,可得/£卜1,1]

3-/5

•■-y=I77=-1+77I.」+2电3]

答案:-A

[3J

小炼有话说:要注意在工£尺时sin%自身带范围,即

例6:函数;'(x)=2—‘in*的值域为

COSX

O_Y0____Y

思路:可变形为〃尤)=----------,且---------可视为(0,2)与(cosx,sinx)连线的斜率左

0—cosx0—cosx

的取值范围,(cosx,sinx)为单位圆上的一点,所以问题转化为直线/:y=Ax+2与圆

2

/+y2=1有公共点的人的范围。所以〃/=/W1,解得:左26或左〈—石,所

VFTT

以y(x)e(—00,-73]u[A+8)

答案:(一8,-6]

小炼有话说:(1)对比例5和例6,尽管都是同一个角的分式值域,但是例5的三角函数名相

同,所以可视为同一个量,利用换元求解,而例6的三角函数名不同,所以不能视为同一个

量。要采取数形结合的方式。

(2)本题还可利用方程与函数的关系求得值域,解法如下:

2-sinx八

y=-------nycosx+sinx=2

cosx

._____2

Jy'+lsin(n+夕)=2=sin(x+9)=/

.3+i

所以y的取值范围(即值域)要能保证存在x使得等式成立

2

所以只需,<1

2<7/+1.解得:ye(—oo,—百]U[G,+°°)

例7:设函数/(x)=sin卜x+工],xe—三,a的值域是—工,1,则实数。的取值范围是

TT万c冗

思路:本题是已知值域求参数,所以考虑先带着Q计算角2x+-的范围为---,2aH——

666

17C7171

值域中最大值为1,所以说明一一,2a+—经过一同时范围不能超

2166」2

71TC7177r7171

过一万(否则最小值就要小于—),从而可得一<2a-\—<—,解得:一<a<一

6226662

卜八.1TCTC

答案:一V。《一

62

例8:已知函数/(x)=acos2x—Z^sinxcosx—£的最大值为:,且/>[]]=¥•,则

_V31一百D」或且

A.B.C.——或——

2一丁2424

思路:观察至I7(%)的项具备齐二次的特点,所以想到将解析式化为Asin((ox+(p)的形式,

通过变形可得:/(x)=+"sin(2x+0),所以最大值为gJ。?+白=;,即

a2+b2=l®,再利用电可得:―二”轧二昱②,通过①②可解得:

(3)4444

的值为-工或

,进而求出f

24

2l+cos2x1_.a

解:/(%)=tzcosx-/?sinxcosx-^=a-------------psinzx——

222

=;(acos2x-Z?sio2%)=/{+/sin(2%+0)

所以可得:/(%)=->Ja+b2=-

^\/max22

o上石,「乃)2冗1.冗冗a1676

另一方面:/-=acos---Z?sin—cos-----=——a-----b=——

3332444

_昱

a1+b1=1a=0^~2

整理可得:\「r-

解得:<b=-V

a+N3bz3

时,

的值为---或1

24

2

口、“c兀q,皿£(、l+cos2x+8sinx

例9:当0<尤<一时,函数fix)=-------------------的取小值为

思路一:考虑将所有项转变为关于2%的三角函数,即

,、l+cos2x+4(l—cos2%)5—3cos2xqcos2.x

f(x\=-----------------------L=土上——-=-3■3---------,从而想到分式与斜率的

sin2%sin2%0-sin2%

5c

——cos2x

关系,&---------可视为

,(sin2x,cos2x),结合0<x<~可得(sin2x,cos2x)为单

sin2x°4

位圆半圆上的点,通过数形结合可得:最小值为4

思路二:考虑将所有项转变为关于x的三角函数,则

f(x)=-------------------=-----------------=----------------,观察到分子分母为齐

sin2x2cosxsinxcosxsin

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论