难点详解沪教版（上海）九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形定向测评试卷（含详解）

九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形定向测评

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列说法中，正确的是（）

A.相等的圆心角所对的弧相等

B.过任意三点可以画一个圆

C.周长相等的圆是等圆

D.平分弦的直径垂直于弦

2、如图，七△/瓦?中，ZA=9Q°,ZB=30°,AC=1,将出延直线/由图1的位置按顺时针

方向向右作无滑动滚动，当Z第一次滚动到图2位置时，顶点/所经过的路径的长为（）

«（4+®r以（8+4有）万C.立卢D.(2+回〃

A.---------------D.-----------------

63

3、如图，在平面直角坐标系xOv中，。。的半径为2,与x轴，y轴的正半轴分别交于点4B,点、C

（1,c）,D（72,d）,E（e,1）,P（m,n）均为48上的点（点户不与点48重合），若m<n<

若加，则点P的位置为（）

A.在BC上B.在C。上C.在。E上D.在£4上

4、如图，四边形相切内接于。。,若四边形4?如是菱形，则/。的度数为（)

A.45°B.60°C.90°D.120°

5、如图，加'是。。的直径，弦ABLCD于■帆则下列结论不一定成立的是（)

D

A.AM=8MB.C^DMC.AC=BCD-AD=BD

6、如图，点4B,。在。。上，/ACB=37°,则//帆的度数是（)

0c

A.73°B.74°C.64°D.37°

7、已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为3cm,则其侧面积为（）c«n.

A・3"B・6"C・12"D・18刀

8、如图，AABC中，ZABC=90°,AB=2,AC=4,点。为BC的中点,以。为圆心，08长为半径

作半圆，交AC于点D,则图中阴影部分的面积是（）

A.B.5+一+C,2^-fD-—^71

3

9、如图，边长为的正三角形外接圆，以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分面积为（）

O

2

A.12\/3+2B.4+y兀C.24JJ+2叮D.12班+14兀

10、如图，力6是。。的直径，弦"，力6于£,若如=2,Z5=60°,则切的长为（）

A

A.73B.25/3C.2A/5

第n卷(非选择题70分)

二、填空题(5小题，每小题4分，共计20分)

1、如图，点。为边长是4g的等边△力比'边46左侧一动点，不与点46重合的动点〃在运动过程

中始终保持//加=120。不变，则四边形/龙C的面积S的最大值是.

2、如图，在。。中，NB0080：则/力=

3、若一个扇形的半径为3,圆心角是120。，则它的面积是.

4、半径为6cm的扇形的圆心角所对的弧长为2万cm,这个圆心角度.

5、在平面直角坐标系中，A(-1,0),B(2,0),NOCBT)0。，。为线段灰的中点，线段/。交线

段宛于点£,则△力。£面积的最大值为

r

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、如图，在周△/a'中，点。在斜边相上，以。为圆心，必为半径作圆，分别与氏7,相相交于点

D,E,连接/〃已知/C4£>=4.

(1)求证：/〃是。。的切线.

(2)若帆=2,N02=30°,则2。的长为.

2、在平面直角坐标系矛打中，图形/上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d.对点P

及图形/给出如下定义：点。为图形/上任意一点，若R0两点间的距离有最大值，且最大值恰好

为2d,则称点尸为图形历的“倍点”.

(1)如图1,图形/是半径为1的。0.

①图形/上任意两点间的距离的最大值d为；

②在点4(0,2),尸2(3,3),P3(-3,0)中，。。的“倍点”是;

(2)如图2,图形/是中心在原点的正方形4睨2已知点/(-1,1),若点3)是正方形

4时的“倍点”，求f的值;

(3)图形/是长为2的线段恻T为磔的中点,若在半径为6的。。上存在仞V的“倍点”，直接

写出满足条件的点7所构成的图形的面积.

VM

4-

图1图2

3、已知，尸是直线46上一动点(不与48重合)，以尸为直角顶点作等腰直角三角形加，点£是

直线与△物的外接圆除点D以外的另一个交点，直线座与直线外相交于点F.

(1)如图，当点P在线段上运动时，若NDBE=30°,PB=2,求庞的长；

(2)当点P在射线拉7上运动时，试探求线段2氏PB,四之间的数量关系，并给出证明.

4、新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与。/有公共点，则称几何图形G为。4的关联

图形，特别地，若。/的关联图形。为直线，则称该直线为。/的关联直线.如图1,/〃为。/的关

联图形，直线,为。力的关联直线.

(1)已知。。是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形:

2

①直线尸2x+2；②直线y=-x+3；③双曲线尸4,是。。的关联图形的是(请直接写出正确

尤

的序号).

(2)如图2,。7的圆心为7(1,0),半径为1,直线，：y=-x+力与x轴交于点儿若直线/是

。7的关联直线，求点N的横坐标的取值范围.

(3)如图3,已知点8(0,2),C(2,0),D(0,-2),。/经过点G。/的关联直线物经过点

B,与。/的一个交点为只。/的关联直线仍经过点〃与。/的一个交点为0直线物，HD交于点、

H,若线段P0在直线x=6上且恰为。/的直径，请直接写出点〃横坐标力的取值范围.

5、如图，/C是。。的直径，回是。。的弦，点尸是。。外一点，连接极AB,APBA=ZC.

c

B

(1)求证：如是。。的切线;

(2)连接4若0P〃BC,且0占8,。。的半径为3,求a'的长.

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可.

【详解】

尔在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；

B,不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法

不正确；

周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；

〃、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；

故选：C.

【点睛】

本题考查的是对圆的认识，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理，利用相关的知识逐项判断是基本

的方法.

2、C

【分析】

根据题意，画出示意图，确定出点A的运动路径，再根据弧长公式即可求解.

【详解】

解：根据题意可得，放△/a1的运动示意图，如下：

/^△/宛中，ZA=90°,ZB=30°,/C=l,

AZACB=60°,BC=2,AB=日七记二出，

由图形可得，点A的运动路线为，先以C为中心，顺时针旋转120。，到达点4,经过的路径长为

"黑L?，再以用为中心，顺时针旋转150。，到达点4,经过的路径长为15。乃x6=也,

18031806

顶点A所经过的路径的长为=至+也=&+56)%,

366

故选：C

【点睛】

此题考查了旋转的性质，圆弧弧长的求解，解题的关键是根据题意确定点A的运动路线.

3、B

【分析】

先由勾股定理确定出各点坐标，再利用勿＜〃＜者加判断即可.

【详解】

•・•点C、D、E、一都在AB上，

，由勾股定理得：12+C2=22,(A/2)2+^2=22,e2+l2=22,

解得c=6，d=>/2)e=百，

故C(l,g),。(血，血)，E苜,1),

P(m,n),m<n<y/3/n,且勿在43上，点。的横坐标满足％=瓜小点D纵坐标满足%=%,

，从点。到点。的弧上的点满足：x<y<&，

故点尸在CO上.

故选：B

【点睛】

此题考查勾股定理和圆的基本性质，掌握相应的定理和性质是解答此题的关键.

4、B

【分析】

ia+b=180?

没NADC=a,NABO8,由菱形的性质与圆周角定理可得；1,,求出£即可解决问题.

1a--b

i2

【详解】

解：设//屐a,/ABOS；

•••四边形4比0是菱形,

：.AABC=ZA0C=P；

•••/ADO三B；

四边形ABC。为圆的内接四边形，

a+£=180

\a+b=180?

i

i1,,

ia=­b

i2

解得：£=120°,。=60°,贝（JNZ屐60°,

故选：B.

【点睛】

该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中,

一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.

5、B

【分析】

根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得.

【详解】

解：♦.•弦ABI.CD,切过圆心0,

：.AM^BM,AC=BC，AD=BD，

即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，

当根据已知条件得圆和加不一定相等，

故选B.

【点睛】

本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理.

6、B

【分析】

根据圆中同弧或等弧多对应的圆周角是圆心角的一半，可知N4眸2N/叱74°,即可得出答案.

【详解】

解：由图可知，

N人由在。。中为AB对应的圆周角，//⑶在。。中为对应的圆心角，

故：ZAOB=2,ZACB=74°.

故答案为:B.

【点睛】

本题主要考查的是圆中的基本性质，同弧对应的圆周角与圆心角度数的关系，熟练掌握圆中的基本概

念是解本题的关键.

7、B

【分析】

利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线

长和扇形的面积公式计算.

【详解】

解:它的侧面展开图的面积义2万X2X3=6"(cm2).

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的

半径等于圆锥的母线长.

8、A

【分析】

连接神，BD,件0H1CD交.CD千点、H,首先根据勾股定理求出回的长度，然后利用等面积法求出必

的长度，进而得到AOBD是等边三角形，ZBOD=60。，然后根据30°角直角三角形的性质求出0〃的

长度，最后根据$阴影=S^ACB-S^COD~S扇形005进行计算即可.

【详解】

解：如图所示，连接勿，BD,伴0H1CD交CD千点H

"：AB=2,AC=4,ZABC=90°

...在RfAABC中，BC=y]AC2-AB2=273

•••点。为BC的中点，以。为圆心，。8长为半径作半圆

，BC是圆的直径，

，ZCDB=90°

5AAsc=^AB.BC=；.AC・BD,即:x2x2A=^x4xBD

解得：BD=C

XVOB=OC=OD=；BC=6

OB=OD=BD

AO3D是等边三角形

ZBOD=60°

：.ZC=ZCDO=-/BOD=30°

2

•：OH1CD

：・OH=；OC=与,CD=ylBC2-BD2=3

+,60%xI_5A/371

一S阴影=SMCB一SACOD一S扇形ODB=—X2X2A/3--X——x3------

2360——-~2

故选：A.

【点睛】

本题考查了30。角直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正

确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

9、A

【分析】

正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果.

【详解】

解：正三角形的面积为：!X4A/3X6=12V3,

三个小半圆的面积为：；xix(2石Jx3=18»，中间大圆的面积为：71=1671,

所以阴影部分的面积为：12百+18%-16万=12出+2万,

故选：A

【点睛】

本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关

键.

10、B

【分析】

先证明AOCB是等边三角形，再证明及求解CE=CO毋in60?6,从而可得答案.

【详解】

角轨QOA=2=OB=OC,?B60?,

.•.△OCB是等边三角形,

\?BOC60?,

AB±CD,

\CE=DE,CE=CO^in60?2?

\CD=2CE=2M

故选B

【点睛】

本题考查的是等边三角形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，证明AOCD是等边

三角形是解本题的关键.

二、填空题

1、16A/3

【分析】

根据题意作等边三角形的外接圆，当点。运动到AB的中点时，四边形力。8c的面积S的最大

值，分别求出两个三角形的面积，相加即可.

【详解】

解：根据题意作等边三角形AABC的外接圆，

〃在运动过程中始终保持//龙=120。不变,

在圆上运动,

当点。运动到AB的中点时，四边形a1的面积S的最大值,

过点。作A3的垂线交于点E,如图:

AB=4瓜NADB=120°,

ZDBE=30°,BE=2^/3,

:.DE=LBD,

2

在R/ABDE中,

BD2=DE2+BE2,

解得：DE=2,

・•・SABD=LAB.DE=4也，

过点A作BC的垂线交于F,

AF=VAB2-BF2=6，

SAKr=-x6x4V3=12V3,

•"S四边形ADBC-+S4ABD=4y/^+12\[i=16^J^),

故答案是：16如.

【点睛】

本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性

质.

2、40°度

【分析】

直接根据圆周角定理即可得出结论.

【详解】

解：与ZBAC是同弧所对的圆心角与圆周角，ZBOC=80°,

ZA=-ZBOC=40°.

2

故答案为：40°.

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，解题的关键是熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等

于这条弧所对的圆心角的一半.

3、3万

【分析】

根据扇形的面积公式，即可求解.

【详解】

解：根据题意得：扇形的面积为四萨f.

故答案为：3万

【点睛】

2

本题主要考查了求扇形的面积，熟练掌握扇形的面积等于竺（其中〃为圆心角，r为半径）是

360

解题的关键.

4、60

【分析】

根据弧长公式求解即可.

【详解】

解：*器

5/日180x2»

斛侍''=下k=6。，

故答案为：60.

【点睛】

本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键.

2+73

5、

8

【分析】

过点。作。尸〃x轴，交OC于点尸，根据中位线定理可得/©=AO=1,设点C到x轴的距离为G,则

△"应■的Q4边上的高八口,作的外接圆,则当点C位于图中C处时,C'G最大，根据三角形

面积公式计算即可.

【详解】

解：过点。作D尸〃x轴，交OC于点F,

,：A(-1,0),B(2,0),

OA=1,OB=2,

;〃为线段成的中点，DF//x^,

：.FD=-OB=l,

2

：.FD=AO=1,

设点C到x轴的距离为a,

则△力〃的。4边上的高,

4

作AOBC的外接圆，

则当点C位于图中C'处时，H最大,

因为ZOCB=ZOCB=30°,

ZOO'B=60°，

...AOO'B为等边三角形，

，OO=BO=OB=2,

：.OG=-OB=1,

2

/•O'G=OGtan600=y/3,

，C'G=C'O'+O'G=2+6,

S.AOE=；xlx；(2+6)=3,

故答案为：-8.

8

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角和圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，解

直角三角形等知识点，根据题意得出点C的位置是解本题的关键.

三、解答题

4

1、(1)见解析；(2)-n.

【分析】

(1)连接勿，由妙帆利用等边对等角得到N3=4,再由已知角相等，等量代换得到N1=N3,

求出/4为90°,即可得证；

(2)首先根据题意得到NB=/3=N1=3O。，进而求出ND08的度数，然后利用扇形的弧长公式求解

即可.

【详解】

(1)证明：连接OD,

■：OB=OD,

：q=/B,

在HAACD中，Zl+Z2=90°,

N4=180。-(N2+Z3)=90°,

:.OD±AD,

则AD为圆。的切线；

(2)u：ZCAD=30°,

•二由(1)可得，/B=N3=N1=30°,

：.NOO3=180。—N3—々=120。,

•：0B=2,

.120°x7ix24

.・/.-------------——71.

BD18003

【点睛】

此题考查了切线的判定与性质，扇形的弧长公式，熟练掌握切线的判定与性质以及扇形的弧长公式是

解本题的关键.

2、(1)①2；②8；(2)力的值为3或一3；(3)24厉n

【分析】

(1)①根据定义解答即可；②分别找出40、BQ、AQ的最大值，再根据定义判断即可；

(2)如图所示，正方形切上的任意两点间距离的最大值为2起.若点£(33)是正方形40

的“倍点”，则点后到48口上的点的最大距离恰好为4夜.分，<0,/>0和

t=0分别讨论即可求解；

(3)分线段腑在。。内部和在。。外部两种情况讨论即可.

【详解】

(1)①圆上两点之间的最大距离是直径2,根据定义可知d=2,

故答案为：2；

②由图可知144。<3,故《不是图形『的“倍点”；30-1W02V3夜+1大4,故匕不是图形/的

“倍点”；2WAQ44,当Q(1,0)时，£Q=4=2d,故〃为图形V的“倍点”；

故答案为：鸟；

(2)如图所示，正方形25"上的任意两点间距离的最大值为2夜.

力

4

E,HE,

-2

依题意，若点E(t,3)是正方形/仇力的“倍点”,则点£到5上的点的最大距离恰好为4加.

当/<0时，点后到485上的点的最大距离为比的长.取点〃(1,3),则M曲且冰4,此时可

求得小4,从而点£的坐标为耳(-3,3),即公一3；

当f>0时，点£到力3口上的点的最大距离为旗的长.由对称性可得点£的坐标为瓦(3,3),即f=3.

当f=0时，显然不符合题意.

综上，t的值为3或-3.

(3)腑上户2,2卢4,

当线段MV在。。内部时，7组成的图形为半径为4的圆，S=兀尸=16兀，

当线段腑在。。外部时，T组成的图形为半径为8的圆，5=万户=64万，

故点T所构成的图形的面积为16万或647r.

【点睛】

此题考查考查了一次函数的性质，图形上两点间的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学

会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题.

3、(1)72(2)PEB-PB或P的AB+PB,理由见解析

【分析】

(1)根据△加等腰直角三角形，PB=2,求出物的长，由。。是△必Z?的外接圆，NDBE=30°,

可得答案；

(2)根据同弧所对的圆周角，可得由△/W等腰直角三角形，得NDPB=NAPD=9Q°,

D片BP,可证△加性△回,可得答案.

【详解】

解：(1)由题意画以下图，连接明

•.•△加等腰直角三角形，。。是△板的外接圆,

二/方力=/场户90°,

,:PB=2,

DB=VOP2+BP2=V22+22=2A/2，

VZZ®F=30°,

.・.DE=-DB=-X242=42

22

(2)①点〃在点4、5之间，

由(1)的图根据同弧所对的圆周角相等，可得:

/AD六/FBP,

又YXPBD等腰直角三角形，

：.ZDPB=ZAPD=90°,D六BP,

在△加力和ATW中

ZADP=ZFBP

<DP=BP

ZDPB=ZAPD

^△APD^XFPB

:.AAFP,

*：A向PB=AB

:・F抖PFAB,

:・FI之AB-PB,

②点〃在点夕的右侧，如下图:

•••△帆?等腰直角三角形，

：.ZDPB=ZAPJ^90°,D芹BP,

■:/PBF+/EBP-\8C,/PDA+/EB80°,

J/PB2NPDA,

在△/々和△773中

/DPB=/APF

<DP=BP

ZPBF=ZPDA

：.XAP哈XFPB

：.AP=FP,

：.AB+PB=AP,

：.AB+PB=PF,

:・P尺AB+PB.

综上所述，F六AB-PB或P六AB+PB.

【点睛】

本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意(2)的两种情况.

4、(1)①③；(2)1-四V点N的横坐标＜1+0；(3)-6少＜0或0＜/zW2.

【分析】

(1)在坐标系中作出圆及三个函数图象，即可得；

(2)根据题意可得直线/的临界状态是与圆T相切的两条直线4和3当临界状态为人时；当临界状

态为6时，根据勾股定理及直角三角形的性质即可得；

(3)根据题意，只考虑横坐标的取值范围，所以将。/的圆心/平移到x轴上，分三种情况讨论：①

当点0在点尸的上方时，连接8尸、DQ,交于点〃；②当点产在点0的上方时，直线职DQ,交于点

H,求出直线加、直线物的解析式，然后利用两点之间的距离解方程求解；③当a=0时，两条直线

与圆无公共点；综合三种情况即可得.

【详解】

解：(1)在坐标系中作出圆及三个函数图象，可得①③函数解析式与圆有公共点，

故答案为：①③;

(2)如图所示:

•.•直线/是eT的关联直线，

，直线1的临界状态是与eT相切的两条直线4和4，

当临界状态为4时，连接加

：.TM