第十七章-人教版勾股定理教案

第十七章勾股定理

（-）教材所处得地位

1、教材分析：本章就是人教版《数学》八年级下册第17章，本章得主要内容就

是勾股定理及勾股定理得应用，教材从实践探索入手，给学生创设学习情境，接

着研究直角三角形得勾股定理，介绍勾股定理得逆定理（直角三角形得判定方

法），最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理得广泛应用。

勾股定理就是直角三角形得一个很重要得性质，反映了直角三角形三边之间

得数量关系。在理论与实践上都有广泛得应用。勾股定理逆定理就是判定一个三

角形就是不就是直角三角形得一种古老而实用得方法。在“四边形”与“解直角

三角形”相关章节中，勾股定理知识将得到更重要得应用。

2、教材特点：

①在呈现方式上，突出实践性与研究性。（对勾股定理就是通过问题引出加以探

索认识得。

②突出学数学、用数学得意识与过程，勾股定理得应用尽量与实际问题联系起来。

③对实际问题得选取，注意联系学生得实际生活。

④注意扩大学生得知识面。（本章安排了两个阅读材料与一个课题学习）

⑤注意训练系统得科学性，减少操作性习题，增加探索性问题得比重。

（二）单元教学目标（包括情感目标）

知识与技能目标：

1、经历由情境引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践得过程，培养

学数学、用数学得意识与能力。

2、体验勾股定理得探索过程，掌握勾股定理，会运用勾股定理解决相关问题。

3、掌握勾股定理得逆定理（直角三角形得判定方法），会运用勾股定理逆定理解

决相关问题。

4、运用勾股定理及其逆宣解决简单得实际问题。

情感与态度目标：

5、感受数学文化得价值与中国传统数学得成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国

悠久文化得思想感情。

（三）单元教学重难点

教学重点：

1、探索勾股定理并掌握勾股定理；

2、直角三角形得判定方法（勾股定理得逆定理）；

3、勾股定理及其逆定理得应用；

教学难点：

1、从多个角度（代数、几何）探究勾股定理；

2、勾股定理逆定理得应用；

3、在勾股定理得应用过程中构造适用勾股定理得几何模型。

（四）单元教学策略

1、教学步骤：

①整个章节得教学可分四步：探索结论一一验证结论一一初步应用结论一一应用

结论解决实际问题。

②在探索结论阶段，应调动学生得积极性，让学生充分参与。

③初步应用结论阶段得重点就是让学生明确：在直角三角形中，知道两边，可以

求第三边。

④应用结论解决实际问题分两类：探索性问题与应用性问题。

2、实施建议

①注重使学生经历探索勾股定理等过程；

本章从实践探索入手，创设学习情境，研究直角三角形得勾股定理及它得逆

定理，并运用于解决一些简单得数学问题与实际问题。在整个学习过程中应注意

培养学生得自主探索精神，提高合作交流能力与解决实际问题得能力。

②注重创设丰富得现实情境，体现勾股定理及其逆定理得广泛应用；

本章从勾股定理得探索就来源于生活，而本章勾股定理得应用又直接应用于

生活。因此，在探索、验证、应用等各阶段都应更多地设置与生活密切联系得现

实情境，使学生能根据生活经验与情境类比较好地进行勾股定理应用得建模过

程。教学时可更多地利用多媒体辅助教学手段以丰富课堂教学。

③尽可能地介绍有关勾股定理得历史，体现其文化价值；

与勾股定理有关得背景知识丰富，在教学中，应注意展现与勾股定理有关得

背景知识，使学生对勾股定理得发展过程有所了解，感受勾股定理得丰富文化内

涵，激发学生得学习兴趣。特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面

得成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化得思想感情，培养她们得民族自

豪感，同时教育学生发奋图强，努力学习，为将来担负起振兴中华得重任打下基

础。

④注意渗透形数结合得思想；

数形结合就是重要得数学思想方法，本章内容又恰就是进行数形结合思想方

法教学得较为理想得材料，因此，应强调通过图形找出直角三角形三边之间得关

系，从而解决有关问题。

3、课时安排

全章教学时间为9课时，建议分配如下：

§17、1勾股定理3课时

§14、2勾股定理得逆定理2课时

第17章小结复习2课时

课题：17、1勾股定理（1）

教学目标：

知识与技能：了解勾股定理得发现过程，掌握勾股定理得内容，会用面积法证明

勾股定理，能说出勾股定理,并能应用其进行简单得计算与实际运用、

过程与方法：经历观察一猜想一归纳一验证得数学发现过程,发展合情推理得能

力,体会数形结合与由特殊到一般得数学思想、

情感态度与价值观：通过对勾股定理历史得了解与实例应用，体会勾股定理得文

化价值；通过获得成功得经验与克服困难得经历，增进数学学习得信心、激发学

生得民族自豪感，与爱国情怀。

教学重点：：知道勾股定理得结果，并能运用于解题

教学难点：体会数形结合得思想，并能迁移

教学方法：创设情景--观察思考一一分析讨论--归纳总结一一得出结论

教学准备：班班通、课件、三角尺、彩色粉笔

教学过程：

一、课堂导入：

问题1、同学们，知道勾股定理得内容吗？会用面积法证明勾股定理吗？能

说出勾股定理，并能应用其进行简单得计算与实际运用吗？、

瞧书、讨论归纳总结得出结论

二、合作探究:

1、议一议：画一个直角边为3cm与4cm得直角aABC,用刻度尺量出AB

得长。当学生量出AB得长为5cm时提问：为什么呢？

瞧书、讨论归纳总结得出结论

2、例1已知：在AABC中，ZC=90°,NA、NB、NC得对边为a、b、c。

222

求证：a+b=c0

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好就是有颜色得吹

塑纸，让学生拼摆不同得形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所不，其等量关系为：4s△+$小正=S大正

4X-ab+(b-a)2=c2,化简可证。

2

⑶发挥学生得想象能力拼出不同得图形，进行证明小结：

命题1：

如果直角三角形得两条直角边长分别为a、b、斜边长为Co那么1+b2=c2

三、交流展示:

勾股定理得证明方法，达300余种。这个古老得精彩得证法，出自我国古代

无名数学家之手。、同学们，试一试?

3、例2已知：在AABC中，ZC=90°,NA、NB、NC得对边为a、b、c。

求证：a2+b2=c2o

分析：左右两边得正方形边

长相等，则两个正方形得面

积相等。

左边S=4X—ab+c2

2

右边S=(a+b)2

左边与右边面积相等，即

4xlab+c=(a+b)?化简可证。

2

这样就证明了命题1得正确性我国把它叫勾股定理

CB

四、归纳小结：什么叫勾股定理？怎样证明？

222

1、a+b=co

2、4X—ab+(b—a)2=c2

2

五、课堂检测:能力培养与测试17、1勾股定理(1)夯实基础部分

六、布置作业:能力培养与测试17、1勾股定理(1)夯实基础部分

七、板书设计:

17、1勾股定理（1）

例1例2命题1：小结:

八、教学反思:

课题：17、1勾股定理（2）

教学目标:

知识与技能:1、掌握勾股定理得内容，会用面积法证明勾股定理。

2、能说出勾股定理,并能应用其进行简单得计算与实际运用。

过程与方法:1、经历观察一猜想一归纳一验证得数学发现过程。

2、发展合情推理得能力，体会数形结合与由特殊到一般得数学思

想、树立数形结合得思想、分类讨论思想。

情感态度与价值观：通过对勾股定理历史得了解与实例应用，体会勾股定理得文

化价值；通过获得成功得经验与克服困难得经历，增进数学学习得信心、激发学

生得民族自豪感，与爱国情怀。

教学重点：勾股定理得简单计算。

教学难点：勾股定理得灵活运用。

教学方法：创设情景--观察思考----分析讨论―-归纳总结----得出结论

教学准备：班班通、课件、三角尺、彩色粉笔

教学过程：

一、课堂导入：

问题1、什么叫勾股定理？怎样证明？

二、合作探究：

1、议一议：瞧书、讨论归纳解题方法：怎样用勾股定理来求Rt△得边呢

小组讨论、分组发言、教授订正或举例说明

三、交流展示:

例1（补充）在RtZ\ABC,ZC=90°

（1）知a=b=5,求c。⑵已知a=l,c=2,求b。

（2）知c=17,b=8,求a。⑷已知a：b=l：2,c=5,求a。

（5）已知b=15,ZA=30°,求a,c。

分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间得关

⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边与一直角边，求另

一直角边，用勾股定理得便形式。⑷⑸已知一边与两边比，

求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任k

意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边与两/\

边关系，也可以求出未知边，学会见比设参得数学方法，体/\

会由角转化为边得关系得转化思想。/0B

例2（补充）已知直角三角形得两边长分别为5与12,求第

三边。

分析：已知两边中较大边12可能就是直角边，也可能就是斜边，因此应分两种

情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：如图，等边AABC得边长就是6cm。

⑴求等边^ABC得高。

⑵求SAABCO

分析：勾股定理得使用范围就是在直角三角形中，因此注意要

创造直角三角形，作高就是常用得创造直角三角形得辅助线做

法。欲求高CD,可将其置身于Rt^ADC或RtABDC中，

但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求

AD=CD=—AB=3cm,则此题可解。

2

四、归纳小结：

用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边

之间得关系，之后灵活运用勾股定理计算。

五、课堂检测：能力培养与测试17、1勾股定理（1）夯实基础部分

六、布置作业：能力培养与测试17、1勾股定理（1）夯实基础部分

七、板书设计:

17、1勾股定理（2）

命题1：例1

例2小结:

八、教学反思:

课题：17、1勾股定理（3）

教学目标:

知识与技能:1、掌握勾股定理得内容，会用勾股定理解决简单得实际问题。

2、树立数形结合得思想。

过程与方法:1、经历观察一猜想一归纳一验证得数学发现过程,

2、发展合情推理得能力，体会数形结合与由特殊到一般得数学思

想、树立数形结合得思想、分类讨论思想。

情感态度与价值观：通过对勾股定理历史得了解与实例应用，体会勾股定理得文

化价值；通过获得成功得经验与克服困难得经历，增进数学学习得信心、激发学

生得民族自豪感，与爱国情怀。

教学重点：勾股定理得简单计算。勾股定理得应用。

教学难点：勾股定理得灵活运用。实际问题向数学问题得转化。

教学方法：创设情景--观察思考----分析讨论--归纳总结----得出结论

教学准备：班班通、课件、三角尺、彩色粉笔

教学过程：

一课堂导入：

问题1、什么叫勾股定理？怎样证明？

问题2、如何将实际问题转化为数学问题，之后用勾股定理解决实际问题

呢？

得转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问

题。

二、合作探究：

1、议一议：瞧书、讨论归纳解题方法P25例1、例

2、勾股定理在实际得生产生活当中有着广泛得应用。勾股

定理得发现与使用解决了许多生活中得问题，今天我们就来运用勾股定理解决一

些问题，您可以吗？试一试。

三、交流展示：

例1（教材P25）一个门框得尺寸如图，一块长3米、宽2、2米得长方形

薄木板能否从门框内通过？为什么？

分析：⑴在实际问题向数学问题得转化过程中，注意勾股定理得使用条件,

即门框为长方形，四个角都就是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角

形？图中标字母得线段哪条最长？⑶指出薄木板在数

学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？

⑷转化为勾股定理得计算，采用多种方法。⑸注意给学

生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。

明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件得

转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。

例2（教材P25）一架2、6米长得梯子AB斜靠在一竖直得墙A0上，这时

A0为2、4米，如果梯子得顶端A沿强下滑0、5米，那么梯子底端B也外移0、

5米吗？

分析：⑴在AAOB中，已知AB=3,A0=2、5,利用勾股定理计算OB。

（2）在中，已知CD=3,C0=2,利用勾股定理计算0D。

则BD=OD-OB,通过计算可知BDWAC。

⑶进一步让学生探究AC与BD得关系，给AC不同得值，计算BD

四、归纳小结：

1、用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间得关系，

之后灵活运用勾股定理计算。

2、注意条件得转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。

五、课堂检测：能力培养与测试17、1勾股定理（1）夯实基础部分

六、布置作业：能力培养与测试17、1勾股定理（1）夯实基础部分

七、板书设计：17、1勾股定理（3）

勾股定理例1

例2小结：

八、教学反思:

课题：17、2勾股定理得逆定理（1）

教学目标：

知识与技能：1、体会勾股定理得逆定理得出过程，掌握勾股定理得逆定理。

2、探究勾股定理得逆定理得证明方法。

3、理解原命题、逆命题、逆定理得概念及关系。

过程与方法：1、经历观察一猜想一归纳一验证得数学发现过程。

2、发展合情推理得能力，体会数形结合与由特殊到一般得数学思

想、树立数形结合得思想、分类讨论思想

情感态度与价值观：通过对勾股定理得逆定理得证明得探究，.理解原命题、逆

命题、逆定理得概念及关系。体会勾股定理得文化价值；通过获得成功得经验与

克服困难得经历，增进数学学习得信心、激发学生得民族自豪感，与爱国情怀。

教学重点：勾股定理得逆定理，原命题、逆命题、逆定理得概念及关系

教学难点：勾股定理得逆定理得证明方法，

教学方法：创设情景--观察思考----分析讨论―-归纳总结----得出结论

教学准备：班班通、课件、三角尺、彩色粉笔

教学过程：

一课堂导入：

问题1、什么叫勾股定理？如果把命题一得题设与结论互换，会得到什么命

题呢？讨论、交流、得出命题二

二、合作探究：

1、议一议：同学们想一想：命题一命题二有什么关系？瞧书、讨论归

纳p31、、、32

三、交流展示：

2、同学们：原命题，逆命题，逆定理得概念，及它们之间得关系？讨论、

归纳。分小组发言，教师订正

3、同学们：瞧书p32面得内容后，您能证明命题二就是真命题吗？动手操

作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合。得出结论。

勾股7E理7E理：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、

例1(补充)说出下列命题得逆命题，这些命题得逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数得平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上得点到线段两端点得距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对得直角边等于斜边得一半。

分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设与结论调换即可，但

要分清题设与结论，并注意语言得运用。

⑵理顺她们之间得关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，

也可能一真一假，还可能都假。

例2(补充)已知：在AABC中，NA、NB、NC得对边分别就是a、b、c,

a=n2—1,b=2n,c=n2+l(n>l)求证：ZC=90°。

分析：⑴运用勾股定理得逆定理判定一个三角形就是否就是直角三角形得一

般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a，b2与c,得值。③判

断a'+b?与/就是否相等，若相等，则就是直角三角形；若不相等，则不就是直

角三角形。

⑵要证NC=90°,只要证AABC就是直角三角形，并且c边最大。根据勾股

定理得逆定理只要证明a?+b2=c2即可。

⑶由于a2+bJ(n2—1)2+(2n)2=n4+2n2+l,c2=(n2+l)2=n4+2n2+l,

从而a'+bJ",故命题获证。

四、归纳小结：1、命题一命题二2、勾股定理、勾股定理得逆定理

3、原命题，逆命题，逆定理得概念，及它们之间得关系

五、当堂训练：

一、必作题：1.判断题。

⑴在一个三角形中，如果一边上得中线等于这条边得一半，那么这条边所对

得角就是直角。

⑵命题：“在一个三角形中，有一个角就是30°,那么它所对得边就是另一

边得一半。”得逆命题就是真命题。

⑶勾股定理得逆定理就是：如果两条直角边得平方与等于斜边得平方，那么

这个三角形就是直角三角形。

⑷AABC得三边之比就是1：1：41,则^ABC就是直角三角形。

2.△ABC中NA、NB、NC得对边分别就是a、b、c,下列命题中得假命题就

是（）

A.如果NC—NB=NA,则AABC就是直角三角形。

B.如果c?=b2—a2,则AABC就是直角三角形，且NC=90°。

C.如果（c+a）（c-a）=b2,则AABC就是直角三角形。

D.如果NA：ZB：ZC=5：2：3,则AABC就是直角三角形。

二、选做题：

3.下列四条线段不能组成直角三角形得就是（）

A.a=8,b=15,c=17B.a=9,b=12,c=15

C.a=7?,b=V3,c=V2D.a：b：c=2：3：4

4.已知：在AABC中，NA、NB、NC得对边分别就是a、b、c,分别为下列

长度，判断该三角形就是否就是直角三角形？并指出那一个角就是直角？

1、a=y/s,b=2V2,c=-\/~5；2、a=5,b=2^6,c=l。

六、课堂检测：

能力培养与测试17、2勾股定理、勾股定理得逆定理（1）夯实基础部分

七、布置作业：

能力培养与测试17、2勾股定理、勾股定理得逆定理（1）夯实基础部分

八、板书设计：17、2勾股定理得逆定理（1）

命题1：命题2：勾股定理、勾股定理得逆定理

例1例2小结：

教学反思：

课题：17、2勾股定理得逆定理（2）

知识与技能：1、掌握勾股定理得逆定理。

2、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

3、进一步加深性质定理与判定定理之间关系得认识。

过程与方法：1、经历观察一猜想一归纳一验证得数学发现过程，

2、发展合情推理得能力，体会数形结合与由特殊到一般得数学思

想、树立数形结合得思想、分类讨论思想

情感态度与价值观：、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。培养学生利用

方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理得逆定理解决实际问题得意识。

通过获得成功得经验与克服困难得经历，增进数学学习得信心、激发学生得民族

自豪感，与爱国情怀。

教学重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

教学难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

教学方法：创设情景--观察思考一一分析讨论--归纳总结一一得出结论

教学准备：班班通、课件、三角尺、彩色粉笔

教学过程：

一课堂导入：

问题1、什么叫勾股定理？勾股定理得逆定理？怎样灵活应用勾股定理及逆

定理解决实际问题呢？在前面我们以经学习过，今天我们继续学习，灵活应用勾

股定理及逆定理解决实际问题。

二、合作探究：

1、议一议

例1(P32)判断由线段a、b、c组成得三角形就是不就是直角三角形：

1、a=15>b=8>c=17

2、a=13>b=14>c=15

分析：根据勾股定理及逆定理，判断一个三角形就是不就是直角三角形，只

要瞧两条较小边长得平方与就是否等于最大边长得平方。

瞧书p32、讨论归纳理解例1解题方法。了解勾

股数。

三、交流展示:

例2课本(P33例2)

分析：⑴了解方位角，及方位名词;

⑵依题意画出图形;

⑶依题意可得PR=12X1、5=18,PQ=16XK5=24,QR=30；

⑷因为242+182=3()2,PQ2+PR2=QR2,根据勾股定理得逆定理，知NQPR=90

⑸NPRS=NQPR-NQPS=45°。

小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理得逆定理”得意识。

例3（补充）一根30米长得细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边

得长度比较短边长7米，比较长边短1米，请您试判断这个三角形得形状。

分析：⑴若判断三角形得形状，先求三角形得三边长;

⑵设未知数列方程，求出三角形得三边长5、12、13；

⑶根据勾股定理得逆定理，由5，122=132,知三角形为直角三角形。

解略。

例2、例3两题分小组讨论，小组发言，后全班展示

四、归纳小结：1、勾股定理及逆定理

2、养成“已知三边求角，利用勾股定理得逆定理”得意识

3、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

五、当堂训练:

一、必作题：

二、填空

1、小强在操场上向东走80m后，又走了60m,再走100m回到原地。小强在

操场上向东走了80m后，又走60m得方向就是.

2、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数得三角形,则三边长分别为

,此三角形得形状为

六、课堂检测:

能力培养与测试17、2勾股定理、勾股定理得逆定理⑴夯实基础部分

七、布置作业:

能力培养与测试17、2勾股定理、勾股定理得逆定理⑴夯实基础部分

八、板书设计:17、2勾股定理得逆定理（2）

例1例2

例3小结:

教学反思:

课题：第17章勾股定理复习

教学目标:

知识与技能：1、复习勾股定理与勾股定理得逆定理，

2、能进行相应得计算，并能在实际问题中应用。

3.进一步加深性质定理与判定定理之间关系得认识。

过程与方法：1、经历观察一猜想一归纳一验证得数学发现过程，

2、发展合情推理得能力，体会数形结合与由特殊到一般得数学思

想、树立数形结合得思想、分类讨论思想

情感态度与价值观：、灵活应