2023-2024学年北京171中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京171中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知抛物线C的准线方程为y=−1，则抛物线C的标准方程为(

)A.y2=4x B.y2=2x C.2.(x−2)5的展开式中x的系数是A.80 B.−80 C.160 D.−1603.已知函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的图象如图，则对于函数y=f(x)的描述正确的是(

)

A.在(−∞,0)上为减函数 B.在x=0处取得最大值

C.在(4,+∞)上为减函数 D.在x=2处取得最小值4.设随机变量X的概率分布列为X1234P1m11则P(|X−3|=1)=(

)A.712 B.512 C.145.某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有(

)A.13种 B.14种 C.15种 D.16种6.下列求导的运算中，正确的是(

)A.(lnxx)′=1−lnxx2 B.(7.设(1+x)n=a0+A.15x2 B.35x3 C.8.函数f(x)=ex−kx，当x∈(0,+∞)时，f(x)≥0恒成立，则k的取值范围是A.k≤1 B.k≤2 C.k≤e D.k≤9.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线FD，DA.22 B.2 C.310.定义满足方程f′(x)+f(x)=1的解x0叫做函数f(x)的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是(

)A.f(x)=x2−3x B.f(x)=x+1x

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知(1+2x)n的展开式的二项式系数之和为16，则n=

；各项系数之和为

.(用数字作答12.已知双曲线x2−y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M(−3,4)，则双曲线的渐近线方程为13.函数f(x)的定义域为R，f(−1)=2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x+4的解集为

．14.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．15.已知函数f(x)=x2−2x+2t，g(x)=ex−t.给出下列四个结论：

①当t=0时，函数y=f(x)g(x)有最小值；

②∃t∈R，使得函数y=f(x)g(x)在区间[1,+∞)上单调递增；

③∃t∈R，使得函数y=f(x)+g(x)没有最小值；

④∃t∈R，使得方程f(x)+g(x)=0有两个根且两根之和小于2．三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知函数f(x)=x3−x2+ax+b，若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=−x+1．

(1)求a，b的值；

(2)求函数y=f(x)的单调区间和极值；

(3)求函数17.(本小题14分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1．

(Ⅰ)求证：BC1//平面AB1D1；

18.(本小题14分)某超市销售5种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格(元/管)和市场份额(指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重)如下表：牙膏品牌ABCDE销售价格152552035市场份额15%10%25%20%30%(Ⅰ)从这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，估计其销售价格低于25元的概率;(Ⅱ)依市场份额进行分层抽样，随机抽取20管牙膏进行质检，其中A和B共抽取了n管．(ⅰ)求n的值;(ⅱ)从这n管牙膏中随机抽取3管进行氟含量检测.记X为抽到品牌B的牙膏数量，求X的分布列和数学期望．(Ⅲ)品牌F的牙膏下月进入该超市销售，定价25元/管，并占有一定市场份额.原有5个品牌的牙育销售价格不变，所占市场份额之比不变.设本月牙育的平均销售价为每管μ1元，下月牙膏的平均销售价为每管μ2元，比较μ1，μ219.(本小题14分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(2,0)，离心率为22．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设过点T(t,0)的直线l与椭圆E有两个不同的交点A，B(均不与点M20.(本小题15分)

已知函数f(x)=alnx+xex−1，其中a∈R．

(Ⅰ)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)当a>0时，判断f(x)的零点个数，并加以证明；

(Ⅲ)当a<0时，证明：存在实数m，使f(x)≥m21.(本小题15分)

已知项数为k(k∈N∗,k≥3)的有穷数列{an}满足如下两个性质，则称数列{an}具有性质P：

①1≤a1<a2<a3<…<ak；

②对任意的i，j(1≤i≤j≤k)，ajai与ajai至少有一个是数列{an}中的项．

(Ⅰ)分别判断数列1，2，4，16和2，4，8，16是否具有性质参考答案1.C

2.A

3.C

4.B

5.C

6.A

7.D

8.C

9.B

10.D

11.4

81

12.y=±−2

13.(−1,+∞)

14.36

15.①②④

16.解：(1)由题意可知：f(x)=x3−x2+ax+b，则f′(x)=3x2−2x+a，

因为曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=−x+1，

则f′(0)=af(0)=b，即f′(0)=a=−1f(0)=b=1，解得a=−1b=1．

(2)因为f(x)=x3−x2−x+1，f′(x)=3x2−2x−1，

当x∈(−∞,−13)∪(1,+∞)时，f′(x)>0；当x∈(−13,1)时，f′(x)<0；

可知函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−13)和(1,+∞)；函数f(x)的单调递减区间为(−13,1)，

f(x)的极大值为f(−17.(Ⅰ)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，D1C1//AB,D1C1=AB，

所以四边形ABC1D1是平行四边形，

所以AD1/​/BC1，又BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，

故BC 1//平面AB1D1．

(Ⅱ)解：如图所示：以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

故D(0,0,0)，B1(1,2,1)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，AD1=(−1,0,1)，AB1=(0,2,1)，

设平面18.解：(Ⅰ)由题意可知，这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，

估计其销售价格低于25元的概率为0.15+0.25+0.2=0.6；

(Ⅱ)(ⅰ)由题意，品牌A的牙膏抽取了20×15%=3管，

品牌B的牙膏抽取了20×10%=2管，

所以n=3+2=5；

(ⅱ)由题意，X的可能取值为0，1，2，

所以P(X=0)=C20C33C53=1X

0

1

2

P

1

3

3所以E(X)=0×110+1×35+2×310=65；

(Ⅲ)μ1=15×0.15+25×0.1+5×0.25+20×0.2+35×0.3=20.5，

μ2=15×320+a+25×220+a+5×520+a+20×420+a+35×620+a+25×a20+a=410+25a20+a19.解：(1)因为椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(2,0)，离心率为22，

所以a=2，c=b=2，

所以椭圆E的方程x24+y22=1．

(2)设直线l的方程为：x=my+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由x=my+tx2+2y2−4=0，得(m2+2)y2+2mty+t2−4=0，

Δ=(2mt20.解：(Ⅰ)a=0时，f(x)=xex−1，f′(x)=ex(x+1)，

故f(1)=e−1，f′(1)=2e，故切线方程为：y−(e−1)=2e(x−1)，

即2ex−y−e−1=0；

(Ⅱ)存在一个零点，理由：

f′(x)=ax+ex(x+1)，(a>0,x>0)，

显然f′(x)>0恒成立，故f(x)在(0,+∞)上是增函数，

又x→0时，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→+∞，

故存在唯一的零点t>0，使得f(t)=0；

(Ⅲ)f′(x)=ax+ex(x+1)，(a<0,x>0)，

令g(x)=f′(x)=ax+ex(x+1)，

g′(x)=−ax2+ex(x+2)>0，故f′(x)是增函数，

而当x→0时，f′(x)→−∞，x→+∞时，21.解：(Ⅰ)数列1，2，4，16不具有性质P，因为a2=2和a4=16，a4a2=8，a2a4=32，而8，32不在数列{an}中；

2，4，8，16不具有性质P，因为1616=1，16×16=256都不是数列{a